Задача с краевыми условиями, сод

Начало координат - в точке входа газа в слой катализатора. Эта задача - краевая (условия заданы на разных границах слоя). Ее можно решать методом пристрелки , подбирая Т = Т так, чтобы при заданном Тк было выполнено граничное условие при х = из (4.100). Оказалось, что можно найти таких три значения Г = Г1 при х = 0. Характерные распределения температуры и степени превращения представлены на рис. 4.28. В высокотемпературном режиме температура внутри слоя может достигать весьма больших значений, хотя на выходе из слоя Г будет соответствовать адиабатическому разогреву. [c.230]

Помимо свойств поверхности Е, разделяющей течение на два участка, следует определить свойства течения на концах трубы. В зависимости от рода подлежащей исследованию задачи краевые условия приобретают тот или иной вид. В одном случае это будут обычные акустические условия, в другом— условия, характеризующие идеализированные свойства сонла Лаваля или аналогичных устройств. [c.20]

Для решения этой новой задачи краевое условие (5.6) следует заменить новым условием. Основываясь на приведенных ранее рассуждениях, можно полагать, что это условие будет описываться уравнением Нернста. Однако в нем выступает концентрация формы Red. Поэтому в данном случае нужно решить систему уравнений уравнение (5.3) и аналогичное уравнение для формы Red. В результате решения обоих дифференциальных уравнений можно получить функции q (x, t) и Red (Х, /), которые описывают зависимость концентраций Ох и Red от времени и расстояния до электрода. [c.116]

Рассмотренные выше вычислительные затруднения в получении окончательного решения при отыскании экстремалей функционала (У,48) в значительной степени возрастают при решении вариационных задач с функционалами от нескольких функций (У,117), особенно при наличии ограничений (У,118) или (У,121), когда решение задачи сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. [c.220]

Такая задача сводится к решению трехмерного уравнения Лапласа для давления (см. 1 этой главы) с соответствующими краевыми условиями и не имеет простого аналитического решения. Для получения простой расчетной формулы для дебита может быть использован следующий приближенный прием. Будем моделировать горизонтальную скважину в горизонтальном (А-А) и вертикальном (В В) сечениях, соответственно а) линейным стоком длины 21 с постоянной плотностью Я = й/(21) (б-общий объемный расход жидкости в стоке) или б) точечным стоком радиуса г , расположенным посередине между двумя плоскостями. [c.127]

Полагается, что капля начинает двигаться из состояния покоя. Тогда в начальный момент времени скорость жидкости внутри и вне капли равна нулю. Краевые условия такие же, как и в стационарной задаче Адамара. Поскольку в уравнении (1.94) переменные по времени разделяются, то и для капли решение осуществляется с помощью методов операционного исчисления. [c.27]

Если [i( , т), с( , т)]-решение рассматриваемой задачи, то при любом значении а О величины [s(a , ах), с(а , ах)] тоже являются решением этой задачи. В этом легко убедиться прямой подстановкой в систему уравнений и краевые условия. Задача (10.11), (10.12), (10.19), (10.20), описывающая реальный физический процесс, имеет единственное решение. Поэтому для любого а О выполняются следующие равенства [c.308]

Уравнения, описывающие химический процесс в реакторе, учитывают только наиболее принципиальные особенности, присущие множеству родственных, но отличающихся одно от другого явлений. При этом независимо от вида дифференциального уравнения его решение (при условии, если оно существует) в общем случае должно удовлетворять всем явлениям данного класса. Другими словами, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них отражает именно ту связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению. Это решение и будет представлять собой не только решение данного уравнения, но и решение данной задачи, связанной с конкретным процессом. Математически отыскание указанного однозначного решения сводится к нахождению решения уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые в большинстве случаев определяются физико-химической сущностью задачи. Дополнительные условия обычно принято называть граничными (краевыми) и начальными условиями. [c.8]

Нахождение граничных и начальных условий представляет весьма сложный вопрос, так как далеко не всегда ясно, как должны быть построены эти условия и какие сведения они должны выражать. Обычно они определяются из опыта и, следовательно, не могут быть найдены абсолютно точно. Поэтому при решении задачи всегда неизбежна некоторая погрешность, обусловленная погрешностью начальных и краевых условий. К отысканию последних необходимо относиться внимательно, так как правильный выбор их в значительной мере определяет единственность и достоверность результатов решения уравнений математического описания. [c.10]

Краевые условия (8.15), (8.16) соответствуют случаю, когда требуется определить степень извлечения для заданной высоты колонны Н. Численное решение краевой задачи требует значительного машинного времени. Меньшее время требуется для расчета высоты противоточной колонны, соответствующей заданной степени извлечения (охлаждения) [c.302]

Будем считать, что эта система имеет решение, притом единственное. Наиболее часто такое решение находят численными методами, которые сводят краевую задачу к задаче с граничными условиями на одном конце (задача Коши). Если, например, к—р граничных условий заданы при х = а, ар условий — при X = Ь (фиксированные условия), то, выбрав р произвольных условий при X = а, будем решать задачу с условиями при а = а (при этом р условий при X = Ь яе используются). Произвольные условия при X = а меняют таким образом, чтобы рассчитываемые У (Ь) удовлетворяли отброшенным фиксированным условиям. [c.148]

Первые к условий заданы при х = Хд, а остальные п — к условий — при X = Ху. Несмотря на наличие полного набора граничных условий для всех уравнений, эта система уравнений уже не может быть решена прямым применением формул Эйлера или Рунге — Кутта. Задачи, в которых граничные условия для дифференциальных уравнений заданы в двух точках, называются двухточечными краевыми задачами. К краевым задачам относятся также многоточечные краевые задачи, когда условия для неизвестных функций заданы в системе точек х = х , х = vn. д., и задачи с дифференциальными уравнениями порядка выше первого, в которых условия на решение или его производные задаются в раз- [c.379]

Уравнения (1.76)—(1.79) напоминают традиционные уравнения конвективного тепло- и массопереноса, однако существенно отличаются от них по своей структуре. Обычно уравнения конвективного теплопереноса и конвективной многокомпонентной диффузии записываются раздельно по фазам, а перенос тепла и массы через границу раздела фаз учитывается заданием соответствующих граничных условий на межфазной поверхности. Заметим, что постановка такой краевой задачи в условиях дисперсной среды обычно представляет сложную проблему. [c.66]

В приближенных методах решения краевых задач (например, в сеточных и вариационных методах) геометрическая информация учитывается соответственно либо в виде числовых массивов, либо с помощью построения координатных последовательностей базисных функций, удовлетворяющих краевым условиям. Однако, как упоминалось выше, серьезным препятствием на пути широкого применения классических вариационных методов являются трудности в выборе координатных последовательностей, когда сложность области сочетается со сложностью граничных условий. Наряду с методом конечных элементов эффективный способ преодоления указанных трудностей состоит в использовании так называемых Я-функций [37—42]. [c.12]

Для практики проектирования пенных теплообменников наиболее важен случай охлаждения газа, не насыщенного водяными парами, при его высокой начальной температуре, так как в производственных процессах температура охлаждаемых газов, как правило, выше 100 °С. С целью получения более полных данных для моделирования и проектирования пенных теплообменников было предпринято исследование охлаждения воздуха водой в пенном аппарате при высокой начальной температуре воздуха (200, 300 и 400 С) и малом содержании водяного пара в охлаждаемом воздухе [165]. Определение общего вида кинетических уравнений выполнено автором теоретически с применением теории подобия, на основе предшествующих работ по гидродинамике пенного слоя и теплообмену при пенном режиме (см., например, [178, 234, 307)], а также дифференциальных уравнений распространения тепла, уравнений теплообмена на границе раздела и соответствующих краевых условий. С учетом конкретной задачи исследования получены в общем виде следующие аналитические зависимости [c.101]

Расчет сопряженного процесса. Как было отмечено выше, задача вычисления производных (V,8) при применении обоих подходов к расчету схем сводится к расчету сопряженного процесса, правда, с разными краевыми условиями. Различие в краевых условиях значительно влияет на характер решения. В самом деле, при первом подходе, задав для Х) (/ = 1,. . ., g ) к = 1, [c.209]

Во втором случае условия (У,22) будут определять некоторые из значений для Ж-го блока сопряженного процесса, а условия (У.26) — некоторые из значений для его первого блока. Фактически в данном случае требуется решить систему разностных уравнений (У,14), (У,15) с краевыми условиями. Ясно, что эта задача более трудоемка, чем задача Коши, которую приходится решать в первом случае. [c.210]

Оптимальная задача с краевыми условиями. В этом случае требуется найти минимум величины (IV,130) при условии, что величины где 1 = 1,. . ., п, удовлетворяют р соотношениям [c.127]

Таким образом, в данном случае оптимальная задача свелась к решению системы дифференциальных уравнений (IV, 167) —(IV, 169) с краевыми условиями, заданными для переменных x t) в точке t = t [см. равенство (IV,138)j и для переменных o,. (i) в точке t = [см. условие (IV, 170)]. Ряд методов решения краевых задач рассмотрен ниже (стр. 187). [c.142]

Отметим, что если га = 1 (задача со свободным правым концом), то ( 1) = О (I = 2,.. . , п). Тогда с учетом условия (VII,8), а также того, что я)) ( ) — ненулевая вектор-функция, ( 1) > 0. В этом случае для t) обычно задают следующие краевые условия [c.181]

При краевых условиях другого вида условия трансверсальности соответствующим образом видоизменяются. Впрочем, в данном случае вследствие увеличения размерности системы (VI 1,1) задачу обычно можно свести к задаче с краевыми условиями (VII,13). [c.181]

Случай краевых условий на левом конце вида ( 11,13) приводит к таким же соотношениям с заменой па р. Другим возможным случаем является задача со свободным 1, в которой появляется дополнительное условие [c.181]

Принцип максимума дает возможность свести оптимальную задачу к краевой задаче для систел (УП,1) и (VH,6) нри краевых условиях (VII,12) — (VII,14). [c.187]

Задача 2 найти такую функцию Т (i), удовлетворяющую условию (VI,26), чтобы величина х (t) приняла максимальное значение и в точке t = t удовлетворялось краевое условие [c.116]

Разберем вначале задачу 1. Краевые условия имеют вид [c.117]

Рассмотрим теперь задачу 2. Она решалась с использованием множителей Лагранжа для сведения задачи с закрепленным правым концом к задаче со свободным правым концом (см. стр. 112). Краевые условия в данном случае имеют вид гр ( ) = Я и 11 2 (<) = О гд X — множитель Лагранжа. [c.117]

При таком подходе краевое условие задачи выполняется уже при а = а" и в дальнейшем все время поддерживается вплоть до момента а = 0. [c.129]

Помимо свойств поверхности Z, разделяющей течешхе па два участка, следует определить свойства течения на концах трубы. В завпстгмости от рода подлежащей иссле-довапшо задачи краевые условия приобретают тот или иной [c.20]

Приложение (6.39) или (6.40) к решению конкретных задач предполагает возможность установления характера диффузионного процесса и формулирования краевых условий. Ниже кратко рассматривается решение (6.39) применительно к двум проблемам, имеющим важное практическое значение. В обоих случаях используется одна и та же модель системы, в которой протекает линейная диффузия — полубесконечиая труба, ограниченная с левой стороны, но не источником вещества, как гри выводе уравнения (6.39), а его поглотителем. Труба в начальный момент целиком заполнена раствором некоторого вещества с концептрацией Со. Задача сводится к тому, чтобы выяснить, как изменяется концентрация во времени и ио длине трубы (по оси х). Начальные и краевые условия формулируются в следующем виде. [c.147]

Рещения системы (9.66) представляют наибольщий интерес с точки зрения приложений. Эта система уравнений описывает вытеснение неоднородной жидкости из полубесконечного пласта ( 0) при нагнетании в него другой жидкости, которая может находиться в одно-, двух-и трехфазном состояниях. Простейший вариант начально-краевых условий для системы (9.66) состоит в задании кусочно-постоянных значений насыщенностей. Если состав закачиваемой жидкости считать неизменным во времени, то задача о вытеснении сведется к решешпо системы (9.66) при условиях [c.287]

Обычно функции ф/ (/) В1>(бирают таким образом, чтобы они удовлетворяли краевым условиям исходной вариационной задачи. Наиболее часто в качестве функций 1I7 (/) применяют различные полиномы от /. При подстаиоБке ряда (V, 16.3) в выражение для функционала (V,]62) иоследн]]11 может рассматриваться как обычная функция /V переменных Uj (j - 1,. . ., N) [c.221]

Концентрация хемосорбента на поверхности капли уменьшается со временем от единицы до нуля, достигаемого в момент времени Тх. Начиная с этого момента, вступают в силу граничные условия (6.86), (6.87). Таким образом, обшее решение задачи сводится к последовательному решению двух задач сначала ддя временного интервала 0< <г<Т] решаются уравнения (6.84), (6.85) при условии, что на поверхности поток хемосорбента задан выражением (6.90), а затем для т>т, решается система уравнений (6.89), (6.90) с условиями согласования на фронте реакции и рассмотренными выше начальными и краевыми условиями. Значение т, определяется при решении первой задачи из условия [c.279]

Поскольку при описании процессов дифференциальными уравнениями второго и более высоких порядков граничные условия могут быть заданы в разных точках (так называемая краевая задача), численные методы для этих случаев должны быть модифицированы. Например, химический процесс в зерне пористого катализатора радиусом Л, описываемый уравнением О С = = f С), обычно характеризуют краевыми условиями для концентрации у внешней поверхности С (Н)х=н = в центре зерна д,С1д.х)х о = 0. Поскольку одно уравнение к-то порядка можно заменить эквивалентной системой к уравнений первого порядка [например, приведенное уравнение второго порядка можно заменить системой <1С1йх = у, В д.у1д,х = / (С)1, рассмотрим систему [c.147]

Вырожденная задача может возникнуть и при /, линейно зависящей от х Действительно, в этом случае уравнение (VI-42) второго порядка вырождается в уравнение первого порядка, так как дНКдх ) = О- Поэтому решение уравнения (VI-42) не может обеспечить выполнения одного из двух заданных краевых условий X (тц) или X (т ). В этих случаях можно найти решение в классе разрывных функций, используя принцип максимума Понтрягина. [c.213]

Возможность н целесообразность введения сложной переменной у выясняется следующим образом [32]. Если после перехода в уравнении диффузии и краевых условиях к переменной у время t выпадает из постановки задачи, то с является функцией только у. Последнее означает, что радиус любой изоконцентрационной поверхности, являющейся сферой, увеличивается пропорционально корню квадратному из времени. Согласно (3.48) поверхность кристалла— изоконцентрационная поверхность, следовательно, а(/) [c.261]

Специфика операторных элементов (К, Р, D, V, Сц, См, Су) требует учета граничных условий. Численное решение краевых задач предполагает переход от операторных элементов к конечноразностным аппроксимационным соотношениям или применение метода конечных элементов. В терминах диаграмм связи это эквивалентно переходу от локальных диаграмм с инфинитезималь-ными операторными элементами к диаграммным сетям, построенным из элементов с сосредоточенными параметрами. При этом учет граничных условий сводится к заданию условий для параметров тех элементов диаграммной сети, которые представляют границы области интегрирования краевой задачи. Формализация записи краевых условий на пограничных элементах диаграммной сети аналогична формализации записи начальных условий. [c.91]

Как указывалось выше, большинство уравнений математического описания представляют собой дифференциальные уравнения с краевыми условиями, заданными на разных границах слоя катализатора. Вообш,е говоря, решать такие уравнения можно как начальные задачи, подбирая ряд условий на одной границе, чтобы в результате расчета выполнить их на другой. Однако подбор краевых условий ( пристрелка ) связан с значительным числом решений одной задачи и поэтому не всегда целесообразен. Кроме того, описанный метод из-за возможной неустойчивости не всегда позволяет получить решение. Более эффективным методом решения стационарной краевой задачи является переход к сложной нестационарной. Оказывается, что при усложнении исходной системы уравнений нахождение решения в стационарном режиме значительно упрощается. В этом случае трудности, связанные с заданием краевых условий, отпадают, поскольку анализируется переходный процесс одновременно во всем слое катализатора из начального состояния в конечное стационарное, определяемое заданной исходной системой уравнений. При помощи рассмотренного метода удается создать общий подход к использованию численных методов, применение которых не зависит от числа уравнений, входящих в математическое описание встречающихся видов граничных условий, кинетических закономерностей процесса и знания приближенного решения. Помимо этого достигаются простота осуществления алгоритма на вычислительной машине, ограничение объема перерабатываемой информации, быстрая сходимость расчетов и т. п. Решение нестационарных задач дает также возможность рассчитывать переходные режимы и влияние различных возмущений на течение процессов. [c.486]

Из результатов работы [Ц], как сообщил автор, пользуясь существенпо дивергентным видом уравнений (7), можно доказать корректность адачи (7) —(9) в малом для начальных данных и"(л ) из С(0). Так же можно доказать аналог теоремы 1 для общих краевых условий, удовлетворяющих условию дополнительности. При конкретизации функций р<(и), Ьц и) и параметров задачи можно рассматривать й неотрицательные начальные данные и (л ) О, а при на,личии априорной оценки решений в С(Й) и расщепленности системы (7) но старшим производным можно доказать разрешимость в целом . Для иллюстрации сказанного мы ограничимся примером, который будет приведен ниже. Более подробно с использованием теорем сравнения для расщепленных параболических систем и разрешимостью в це-лодг можно познакомиться в [12, 13]. [c.106]

В силу теоремы 1 решения задачи (7) —(9), построеннйе-по начальным данным и , не зависящим от пространственных координат, будут совпадать с решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих кинетику химиче скнх реакций (1). Поэтому результаты теорем 2, 3, 4 содержат как частный случай соответствующие результаты из работ [2, 14—16]. Аналоги теорем 3, 4 также доказываются в случае краевых условий вида [c.113]

Краевые гидродинамические условия условие прилипания и непротека-ния на твердых стенках, отложениях и инкрустациях заданный профиль скорости на входе в реактор и мягкие условия на выходе из него (нулевые первые производные). Для концентрации и телшературы могут быть поставлены краевые условия первого, второго или третьего рода, что определяется спецификой поставленной задачи. Для численного исследования турбулентных режимов течения возможна реализация к-е модели. [c.39]

Практика решения задач описанным методом показала, что интервал [О, а 1 часто целесообразно разбить на подьштервалы [О, а."] и [а", а ] при 0[c.129]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология