Плотность вероятности перехода

Вычислим теперь функцию (со). Пусть V г, 0) — плотность вероятности перехода между ячейками с шагом г под углом 6 к направлению движения потока. [c.236]

Введенную таким образом вероятность перехода, которую обозначим Р (М, Мо, о), представим в виде Р М, М , о)= =р М, I Мо, о) где р М, 1 М , — плотность вероятности перехода А У — объем окрестности точки М t=tQ- -ht. [c.351]

Плотность вероятности перехода р М, М , имеет смысл доли объема аппарата Ум, занятого дисперсной фазой в окрестности точки М насадочного пространства в момент времени I, т. е. локальной динамической удерживающей способности Н аппарата в окрестности точки М. Весь объем дисперсной фазы, поступающей из точки М , примем равным единице. При этом основное свойство плотности вероятности для нашего случая примет вид [c.351]

Соотношение (7.21), отражающее марковское свойство процесса и известное как функциональное уравнение Колмогорова—Чэпмена, приводит к аналогичному соотношению для плотности вероятности перехода [c.352]

Третий класс уравнений, в котором можно исследовать влияние произвольных времен корреляции, представляет больший интерес. Этот класс состоит из уравнений (14,1.1), в которых У (I) является марковским процессом. Пусть П ( /, 1 Уо, ) — плотность вероятности перехода для этого марковского процесса, а основное кинетическое уравнение для него имеет вид [c.367]

Применение уравнения Колмогорова в виде (1.126) в нашем случае затруднительно, так как оно не отражает статистических характеристик двухфазной системы в целом. Однако на основании статистической теории диффузии было показано [57], что распределение концентрации дисперсных частиц в двухфазных системах описывается тем же законом, что и распределение плотности вероятности перехода. [c.74]

Выражение (1.132) дает вероятность попадания частиц в объем V. Для того чтобы получить содержание дисперсной фазы в точке, необходимо осуществить предельный переход V- Q. В результате получим значение для плотности вероятности перехода частицы из некоторой точки xq в точку X за время (т — то) р х,х Хо, То) = lim (p/F) (1.133) [c.75]

Из совместного рассмотрения (1.131) и (1.133) следует, что распределение объемного содержания дисперсных частиц в двухфазной системе описывается тем же законом, что и распределение плотности вероятности перехода (с точностью до постоянного множителя) [c.75]

Так как это уравнение должно иметь место при произвольном Ф(у), то отсюда для плотности вероятности перехода p v, т Уо, То) вытекает уравнение, известное под названием уравнения Фоккера— Планка [c.143]

Величина К р, д, р, д)т бу т характеризовать плотность вероятности перехода системы за счет столкновений из состояния р, д ) в состояние р, д) за время т. Если молекула не испытывает столкновений с атомами инертного газа, то состояние системы изменяется вдоль фазовой траектории. [c.24]

Уравнение Фоккера — Планка как кинетическое уравнение нашей задачи можно вывести непосредственно из уравнения Смолуховского. Известно, что броуновское движение описывается уравнением Фоккера — Планка для плотности вероятности перехода ю (а о, о> з , t). Величина ге хо, to, х, I) (1х характеризует вероятность перехода из состояния Хд, которое систем а имела в момент о> в состояния, [c.119]

Уравнение Фоккера-Планка, определяющее эволюцию плотности вероятности перехода марковского процесса Х имеет вид [c.69]

Здесь р у, 1/х, 5) - плотность вероятности перехода марковского процесса X, (х его значение в момент времени у - в момент времени 1). [c.70]

Здесь g %, х ) величина, определяющая плотность вероятности перехода единицу времени [c.306]

Вместе с одномерной плотностью вероятности плотность вероятности перехода полностью характеризует процесс X/. Справедливо следующее соотношение [c.97]

Необходимо отчетливо понимать, что в общем случае марковское свойство допускает корреляцию в различные моменты времени и несингулярные марковские процессы обладают ненулевым временем корреляции. В этом смысле марковские процессы образуют простейший нетривиальный класс случайных процессов. Встречающееся время от времени в литературе утверждение о том, что марковские процессы — это случайные процессы без памяти, есть не более чем вольность речи . Лишь в том случае, если условная вероятность рассматривается относительно настоящего состояния, задаваемого случайной величиной Х , память о прошлом не существует по определению. Для несингулярного стационарного марковского процесса плотность вероятности перехода не факторизуется [c.98]

Тем самым показано, что определение в задает локальную дисперсию относительно систематического движения при условии Хз = х. На первый взгляд кажется удивительным, что в определение диффузионного процесса (4.16, 19, 90) входят только первых два (усеченных) дифференциальных момента, а именно Ит/, 5( /(/— ) (Х —Х ) 1X5= л , г=1, 2, плотности вероятности перехода и не содержится никакого упоминания о моментах более высокого порядка. Связано это со следующей особенностью приведенного выше определения оно утверждает, что Xt локально выглядит как процесс Ш + л]О Wfy т. е. как винеровский процесс, систематическая компонента которого имеет гауссовское [c.102]

Докажем утверждение, приведенное в конце разд. 4.2. Для этого мы сначала убедимся в том, что процесс ОУ принадлежит к классу диффузионных процессов, а затем покажем, что только он является стационарным гауссовским процессом. Нетрудно проверить, что процесс ОУ удовлетворяет условиям а , б и в . Плотность вероятности перехода процесса ОУ определяется АО формуле (2.121) [c.103]

Покажем теперь, что класс (стационарных) диффузионных процессов гораздо шире. Действительно, условия а , б и в допускают и негауссовское поведение. Замечательная особенность диффузионных процессов состой в том, что их плотность вероятности перехода, не будучи гауссовской, тем не менее полностью определяется первыми двумя дифференциальными моментами. Для того чтобы доказать это, мы выведем только из условий а , б и в эволюционное уравнение для р[у, / х, 5). Разумеется, общим эволюционным уравнением для плотности вероятности перехода марковского процесса является уравнение Колмогорова —Чепмена (4.8). Однако для нахождения р у,1 х,8) оно малопригодно, так как нелинейно по плотности вероятности перехода. Мы покажем в дальнейшем, что в случае диффузионного процесса уравнение Колмогорова — Чепмена может быть преобразовано в линейное дифференциальное уравнение с частными производными для р(г/, ( х,8). [c.104]

ИЗ которого (так как v y)—произвольная функция) следует, что плотность вероятности перехода диффузионного процесса удовлетворяет уравнению в частных производных [c.107]

Мы предполагаем, что производные плотности вероятности перехода Р(Уу 5) существуют и что операция дифференцирования перестановочна с операцией интегрирования. [c.107]

Если условия (4.16, 19, 20) выполняются равномерно по х,. то плотность вероятности перехода р[у,1 х,8) диффузионного процесса X/ удовлетворяет уравнению [c.108]

Все граничные члены обращаются в нуль, так как функция ь у) тождественно равна нулю вне некоторого ограниченного интервала. Прямое уравнение (4.45) следует из выведенного нами соотношения, если учесть, что v y)—произвольная функция. Этб эволюционное уравнение для р у,1 х,8), как и обратное уравнение Колмогорова, линейно по плотности вероятности перехода в отличие от уравнения Колмогорова — Чепмена, из которого выводятся оба этих уравнения. В математической литературе оно получило название прямого уравнения Колмогорова, так как вариация в нем берется относительно будущего состояния у и временного аргумента 1. В физической литературе за ним закрепилось название уравнение Фоккера—Планка (УФП). ОУК и УФП показывают, что марковский диффузионный процесс действительно полностью определяется двумя первыми дифференциальными моментами ОУК и УФП являются дифференциальными уравнениями в частных производных для плотностей вероятностей перехода с коэффициентами, зависящими от дрейфа и диффузии Следовательно, плотность вероятности перехода как решение ОУК или УФП полностью и однозначно определяется двумя первыми дифференциальными моментами при определенных условиях регулярности на / и Именно это удивительное свойство делает понятие диффузионного процесса столь мощным. [c.109]

Уравнение Фоккера — Планка (УФП), определяющее эволюцию плотности вероятности перехода р у, t Xy 5) ), имеет вид в случае Ито [c.149]

Из явного вида решения (6.86) ясно, что для наших целей наиболее удобен случай 0 = 0 в подклассе моделей, удовлетворяющих этому условию, Wt не входит в экспоненциальную функцию. Иначе говоря, при 0 = 0 гауссовский винеровский процесс претерпевает только линейные преобразования. Следовательно, если Уо — гауссовская или неслучайная постоянная ), то Уt — гауссовский процесс. Так как гауссовский процесс полностью определяется моментами E Уt и E Уt — 6У )(У5 — бУ ) , то с помощью обратного преобразования точные аналитические выражения для плотности вероятности перехода процессов Уt и Xt могут быть найдены в явном виде. [c.187]

Разложение плотности вероятности перехода по собственным функциям [c.189]

Используя разложение (6.120), получаем спектральное представление для плотности вероятности перехода [c.197]

Выражение (6.135) совпадает с формулой (2.121) или (6.93). Это позволяет нам заключить, что разложение (6.134) является корректным спектральным представлением плотности вероятности перехода р у уо) и что собственные значения (6.130) и ортонормированные собственные функции (6.133) дают полное решение задачи на собственные значения для ОУК. Имея в виду масштабные преобразования по времени и параметру пространства состояний, мы можем считать доказанными следующие два утверждения. [c.197]

Следовательно, плотность вероятности перехода представима [c.198]

Из последних двух условий мы заключаем, что любая плотность вероятности перехода, симметричная относительно середины пространства состояний, навсегда сохранит свою симметрию. Первое условие обеспечивает применимость теоремы Эллиотта. Следовательно, спектр во всем классе моделей чисто дискретный. Собственные значения и соответствующие им собственные функции определяются задачей Штурма — Лиувилля, й собственные функции образуют полную систему в пространстве 1(61,62). Из классической теории Штурма — Лиувилля [6.24] известно, что [c.209]

Отсюда следует, что все собственные функции Щт х) симметричны, а все собственные функции ф2т+1 антисимметричны относительно середины х. Это означает, что если система первоначально сосредоточена в середине х, то в разложение плотности вероятности перехода могут входить только четные собственные функции [c.209]

Xt не содержит членов dWt, то в общем случае невозможно получить точные аналитические выражения для стационарного решения УФП, именно (8.45), или для плотности вероятности р (х). Последняя же функция представляет главную цель нашего исследования, поскольку именно она описывает стационарное состояние системы. Сталкиваясь с невозможностью получения общего выражения для стационарного решения (8.45), мы должны прибегнуть к приближенной процедуре для исследования влияния шума, близкого к белому шуму. В нашей задаче имеется очевидный малый параметр — масштабный множитель е, измеряющий степень отклонения шума от белого. Вид оператора Фоккера — Планка предполагает следующее разложение для плотности вероятностей переходов [c.274]

К сожалению, любой класс марковских процессов, удовлетворяющих наложенным нами условиям, при V 3 оказывается пустым предложенное определение логически противоречиво, и уравнение (4.56) не является прямым уравнением марковского процесса. Нетрудно указать пробел в определении и в выводе УФП (4.56) из соотношения (4.55), разумеется, следует, что условие а (4.21) выполняется при б = v + 2 (или V + 1, если V нечетно). Кроме того, из соотношения (4.54) тривиально следует, что условия б и в также выполняются. Это означает, что марковский процесс, определяемый (4.54, 55), является диффузионным и его плотность вероятности перехода удовлетворяет УФП (4.45). Но тогда при V 3, таком, что дифференциальные моменты порядка п> V тождественно равны нулю, все дифференциальные моменты Ап Ху8) тождественно равны нулю при п> 2. Павула [4.5, 6] дал изящное прямое доказательство этого утверждения, используя лишь неравенство Коши—Буняков-ского — Шварца для математических ожиданий. [c.112]

Модель Ферхюльста не принадлежит подклассу 0 = 0 винеровский процесс входит в экспоненциальную функцию. В результате гауссовский процесс претерпевает нелинейное преобразование, и решение (6.86) перестает быть гауссовским процессом. Это значительно затрудняет вычисление плотности вероятности Перехода для У/ и тем самым для Х(. Иначе говоря, решение (6.88) перестает быть удобным отправным пунктом для получения зависящего от времени решения УФП в модели Ферхюльста. Для того чтобы найти решение, приходится использовать различные методы. К этой проблеме мы вернемся в следующем разделе. [c.188]

Тем самым доказано, что модель Хонглера принадлежит подклассу 0 = 0. Как мы уже знаем, плотность вероятности перехода для процесса (6.92) задается выражением [c.189]

СДУ могут быть легко получены в явном виде. К этому классу принадлежит модель Ферхюльста, чего нельзя сказать о более интересной генетической модели. Но даже если зависящее от времени решение СДУ известно в явном виде, вычислить зависящее от времени решение УФП, т. е. плотность вероятности перехода, удается лишь для подкласса моделей, к которому модель Ферхюльста не принадлежит. Таким образом, возникает настоятельная необходимость в более общем подходе к проблеме. Для наших целей достаточно рассмотреть ситуацию, когда стационарная плотность вероятности существует и единственна. Именно с ней мы сталкиваемся, в частности, когда границы либо естественны, либо регулярны с мгновенным отражением (в большинстве приложений встречаются границы именно этих двух типов). Поток вероятности через такие границы равен нулю, т.е. [c.190]

Для большей ясности мы сначала продемонстрируем это яв- пение на точно решаемой модели Хонглера. Из соотношения (6.94) непосредственно видно, что экстремумы плотности вероятности перехода p x,t xo) эволюционируют со временем, как корни уравнения [c.207]

Как хорошо известно, стационарная плотность вероятности, соответствующая уравнению ФП с двумя или более переменными, может быть определена только при ограничительных условиях, известных под названием детального баланса [8.2—4]. Уравнение (8.3) не удовлетворяет условию детального баланса, поскольку диффузионная матрица вырожденна. Мы покажем, однако, что существует класс моделей, который не подчиняется принципу детального баланса, но для которого можно точно получить не только стационарную плотность вероятности, но даже и зависящую от времени плотность вероятностей переходов. Этот класс моделей будет рассмотрен в разд. 8.3. Их изучение послужит первым шагом в понимании поведения систем, находящихся под действием цветного шума. Однако физический смысл этого класса моделей недостаточно ясен. Поэтому, чтобы подойти к общей проблеме и ответить на вопросы, поставленные в начале этой главы, необходимо обратиться к приближенным методам. Это будет проделано в разд. 8.4, 5 и 6 для двух предельных случаев 1) случая квазибелого ш ма (случай флуктуаций, быстрых по сравнению с характерным временем эволюции системы) 2) обратного предельного случая, когда время корреляции шума много больше характеристического времени системы. В разд. 8.7 будет рассмотрен случай нелинейного внешнего шума. [c.264]

Рассмотрим теперь основные черты этой немарковской приближенной процедуры. Для явного нахождения по крайней мере стационарного решения для приближенного оператора эволюции последний должен обладать определенными свойствами. Наиболее удобным был бы случай, когда этот оператор соответствовал оператору типа Фоккера — Планка, т. е. содержал бы производные первого и второго порядка с неотрицательными коэффициентами при дхх- Это представляется удобным по двум причинам. Во-первых, это гарантирует положительность стационарного решения, которое можно тогда интерпретировать как плотность вероятности. Во-вторых, форма этого оператора известна явно, поскольку она задается также формулой (6.15) с подходящими граничными условиями. Оба этих достоинства в общем случае теряются, если в операторе фигурируют производные третьего и более высоких порядков. В таком случае оказывается невозможным не только гарантировать положительность решения, но и получить его в явном виде. Отметим, что оператор эволюции типа Фоккера — Планка совместим с немарковским характером процесса как это отмечалось Ханги и др. [4.4]. Этот оператор описывает временную эволюцию лишь одновременной плотности вероятностей р(х, а не плотности вероятностей переходов. Как подчеркивалось в гл. 4, это свойство, т. е. то, что р(х, 1) подчиняется уравнению типа Фоккера— Планка, не означает, что процесс обязательно обладает какими-либо марковскими свойствами. В последующем мы будем употреблять названия оператор Фоккера — Планка и уравнение Фоккера — Планка только для диффузионных процессов. Добавление же слова типа ( типа оператора. .. ) мы будем производить при обозначении оператора или уравнения эволю- [c.291]

Отметим, что для удобства вычислений время перенормировано, - (/хкорру таким образом, чтобы исходная ширина цветного шума 7=1. Парный процесс Х у С ) является, конечно, диффузионным процессом и плотность вероятности переходов для него определяется из УФП типа (8.45), где теперь [c.300]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология