Процессы авторегрессии

Процессы скользящего среднего конечного порядка полезны во многих областях, например при прогнозе поведения эконометрических систем и систем управления Однако наиболее полезны они в сочетании с процессами авторегрессии, которые будут введены в следующем разделе. Из (5 2 17) получаем, что ковариационная функция процесса скользящего среднего конечного порядка (5.2 23) равна нулю при k> I. Рассмотрим, например, процесс скользящего среднего второго порядка [c.199]

Дискретный процесс первого порядка. Дискретный процесс авторегрессии первого порядка получается из чисто случайного процесса Zi с помощью уравнения [c.200]

Используя (5 2.17), получаем отсюда, что корреляционная функция процесса авторегрессии Xt равна [c.200]

Рис 5 8 Выборки процессов авторегрессии первого порядка и их теоретические корреляционные функции, а) а = -Ю,9, б) а = —0,9. [c.201]

Процесс авторегрессии первого порядка иногда называют марковским процессом первого порядка Это обусловлено тем, что случайная величина при фиксированной 1 не зависит от предшествующих величин Х1-2, А (-з и т. д Из (5.2 26) видно, что если 2( — нормальный процесс со средним значением О и [c.201]

Непрерывные процессы второго порядка. Непрерывный процесс авторегрессии второго порядка можно записать в виде [c.202]

Дискретные процессы второго порядка. Для дискретного времени процесс авторегрессии второго порядка имеет вид [c.202]

На рис. 5 9 показан ряд из 40 членов, полученный по схеме дискретного процесса авторегрессии второго порядка (5 2 31) при 1=1,0 и 2 = —0,5 Видно, что ряд имеет определенную периоди- [c.202]

Рис 5 9 Выборка процесса авторегрессии второго порядка и теоретическая корреляционная функция [c.203]

Из-за большого разнообразия корреляционных функций, порождаемых процессами авторегрессии, они находят широкое применение в качестве моделей для анализа стационарных временных рядов. Задача оценивания параметров процессов авторегрессии будет обсуждена в разд. 5.4. [c.204]

Этот раздел содержит краткую сводку наиболее важных свойств процессов авторегрессии и скользящего среднего Общий процесс авторегрессии порядка т для дискретного времени порождается чисто случайным процессом 2 с помощью разностного уравнения [c.205]

Для непрерывного времени общий процесс авторегрессии определяется как выход линейного фильтра, на вход которого подается белый щум, а соотнощение между входом и выходом определяется дифференциальным уравнением [c.205]

Устойчивость, или стационарность. 1) Дискретный процесс. Дискретный процесс авторегрессии Xt является стационарным, если корни характеристического уравнения [c.205]

Непрерывный процесс Непрерывный процесс авторегрессии X t) будет стационарным, если корни характеристического уравнения [c.205]

Пример Корреляционная функция дискретного процесса авторегрессии второго порядка удовлетворяет рекуррентному уравнению [c.207]

Свойство дискретизации по времени. Если значения непрерывного процесса авторегрессии (5 2 40) измерять через равные промежутки времени А, то получится дискретный процесс [c.207]

Общие смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего. Более общим образом можно определить смешанный дискретный процесс авторегрессии — скользящего среднего в виде [c.208]

Пример Рассмотрим непрерывный процесс авторегрессии первого порядка, у которого (и) = функция обсуждалась в разд 5 2 4). Подставляя эту ухх и) в (5.320), получаем [c.218]

Рис 513 Теоретическая и выборочные корреляционные функции для процесса авторегрессии второго порядка [c.227]

В этом разделе мы применим методы гл 4 к оцениванию параметров процессов авторегрессии и скользящего среднего, введенных в разд 5 2 Предположим, например, что требуется подобрать авторегрессионную модель [c.230]

Процесс авторегрессии первого порядка. Дифференцирование суммы квадратов [c.231]

Процесс авторегрессии второго порядка. Выборочные оценки максимального правдоподобия можно получить, дифференцируя (5 4 3) по ц,, 1 и 2 и приравнивая эти производные нулю Это приводит к уравнениям [c.233]

Общий процесс авторегрессии. Действуя так же, как и выще, уравнения правдоподобия можно приближенно записать в виде [c.235]

Рис 515 Линии уровня суммы квадратов для процесса авторегрессии второго порядка, подобранного к данным о партиях продукта, изображенным на рис 5 2 [c.235]

Выборочные оценки среднего правдоподобия для процесса авторегрессии первого порядка. Для иллюстрации рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка с нулевым средним значением [c.236]

Рис 5 16 Маргинальная функция правдоподобия для процесса авторегрессии [c.238]

Выборочные оценки среднего правдоподобия для процесса авторегрессии второго порядка. Рассмотрим процесс второго порядка- [c.239]

Определение порядка процесса авторегрессии [c.240]

В этом разделе рассматривается задача определения порядка т процесса авторегрессии Простой метод основан на том, что если в подбираемой модели (5 4 1) взято недостаточное число членов, то выборочная оценка дисперсии будет завышена за счет тех членов, которые еще не включены в модель Лишь когда правильное число членов включено в модель, получается правильная оценка [c.240]

Оценивание параметров смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего [c.247]

В разд 6 1 говорится о том, что классический анализ Фурье не применим к временным рядам Так, оценка спектра, полученная по формулам анализа Фурье, а именно выборочный спектр, обладает тем нежелательным свойством, что ее дисперсия не уменьщается при увеличении длины временного ряда Поэтому для временных рядов методы гл 2 нужно видоизменить В результате мы приходим в разд 6 2 к такому определению спектра, которое подходит для случайных процессов В этом разделе рассматриваются также спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.255]

Рис 62 Выборочный спектр для реализации процесса авторегрессии второго [c.260]

Некоторые примеры Для выяснения вопроса о том, какую информацию содержат спектры, на рис. 6 4 и 6.5 показаны теоретические спектры (спектральные плотности) процессов авторегрессии [c.264]

В этой главе мы рассмотрик основные понятия теории временных рядов Наиболее важными среди них являются понятия случайного процесса, стационарного процесс , линейного стационарного процесса и ковариационной функции стационарного процесса. В разд 5 1 показано, что для описания статистической природы наблюденного временрого ряда нужно рассматривать его как элемент абстрактного мг жества функции, называемого случайным процессом Простейшие, типом случайного процесса является линейный процесс, котс ыч можно получить в результате линейной операции над чисто случайным процессом Большое практическое значение имеют два частных случая линейного процесса процесс авторегрессии и процесс скользящего среднего В разд 5 2 показано, что стационарный случайный процесс общего типа удобно описывать с помощью его ковариационной функции, в то время как линейный сгационарный процесс лучше всего описывается его параметрами. В разд 5 3 рассматривается оценивание ковариационной функции по наблюдаемому временному ряду, а в разд 5 4 — оценивание параметров процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.175]

ГИ среднеквадратичные ощибки показаны на рис. 5 12 вместе с ди-(ерсиями для непрерывного процесса авторегрессии первого по-1дка с ЯГ = 2,5 Мы видим, что среднеквадратичная ошибка для (ц) устойчиво держится выще, чем для Схх(и) (этот резуль- [c.219]