Понятие вероятности. Случайные величины

Понятие вероятности. Случайные величины [c.9]

ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ [c.9]

Рис. 12.1-10. Иллюстрация понятий уровня значимости и ошибок первого и второго рода. Предположим, что X — случайная величина, распределенная по нормальному закону с дисперсией Отсюда X N( ,0 /п). Величина Т = (X — То)/(<т/>/п) распределена как N(0,1), если верна гипотеза Но, и как N(6,1), если верна Нх. Величина а равна вероятности Р[Т с) того события, что значение Т больше или равно некоторой критической величине с в предположении, что нуль-гипотеза Но верна. Эту гипотезу следует отвергнуть (на уровне значимости а), если с (здесь 1 — реализация тестовой статистики Т).

Теория вероятностей развивалась, чтобы предсказывать до проведения эксперимента вероятность того, что случайная величина X лежит между двумя значениями xi и хг По мере развития теории неизбежно стали появляться также и некоторые виды статистических выводов Статистические выводы имеют дело с задачек, являющейся обратной по отношению к задаче теории вероятностей, а именно как использовать данные х, хг, х после эксперимента для того, чтобы сделать выводы о свойствах случайной величины X Предположим, например, что в результате 15 бросаний монеты мы получили 12 гербов и требуется узнать, совместим ли этот результат с предположением о симметричности монеты Классическое решение этой задачи представляет собой пример одного из ранних способов получения выводов, известного теперь под названием критерия значимости Решение использует исключительно вероятностные понятия и состоит в вычислении вероятности получения 12 или более гербов при допущении гипотезы, что монета симметрична Если эта вероятность мала, то она может рассматриваться как веский признак того, что предположение о симметричности монеты ложно, если вероятность велика, то этот результат не противоречит гипотезе о том, что монета симметрична. В упомянутом выше примере вероятность получить 12 или более гербов в 15 бросаниях в предположении, что монета симметрична, равна 0,018, из чего можно заключить, что монета несимметрична [c.116]

От такой характеристики мы ничего не получим, ибо исходный состав и каждый выход будут оцениваться одним и тем же числом. Понятие вероятности случайной величины не подходит для сформулированной нами задачи исследования. [c.306]

Наибольшее распространение получили методы первой группы. При этом используется понятие момента, заимствованное из теории вероятностей, согласно которой функция (кривая) распределения случайной величины может быть охарактеризована числовыми характеристиками (различными моментами). [c.56]

Согласно положениям математической статистики случайная величина — это такая переменная, которая принимает различные значения в зависимости от случайных событий. Она определяется областью ее изменения, вероятностью, с которой значения случайной величины попадают в какой-либо интервал области ее изменения, и частотой, с которой она принимает те или иные значения, В табл. 7.3 перечислены математические понятия, характеризующие случайные величины, и дана интерпретация результатов химического анализа в соответствии с данными определениями. [c.133]

Рассмотренный пример дает первое представление о понятии вероятность случайных событий . Мы рассмотрим это понятие подробнее и покажем, что величины, характеризующие случайные погрешности, как и случайные события, законченный смысл имеют только в том случае, если они сопровождаются соответствующими значениями вероятностей. [c.24]

Центральным понятием математической статистики является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная величина, принимающая различные значения в зависимости от случая. Подчеркнем, что случайная величина не есть число, скорее ее следует интерпретировать как функцию, функцию случая. Чем определяется случайная величина Во-первых, областью ее изменения. Однако этого еще недостаточно нужно еще указать вероятности, с которыми значения случайной величины попадают в тот или иной интервал а д < 6 из области ее изменения . [c.64]

Вернемся теперь к последней части определения случайной величины, где говорится о вероятностях ее отдельных значений. Каким образом можно задать эти вероятности, т. е. по существу саму случайную величину Самый простой способ — привести числовую сводку (таблицу) всех значений случайной величины рядом с соответствующими им величинами вероятностей. Способ этот, во-первых, достаточно громоздок, а во-вторых, требует для своей реализации специальных определений величин вероятности, что далеко не всегда оказывается простым делом. Вместе с тем существует немало случаев, когда величины вероятностей изменяются относительно самих значений случайной величины закономерным образом, т. е. существует некоторая зависимость между вероятностью случайной величины принять то или иное значение (или ряд значений) и самой случайной величиной (или интервалом ее возможных значений). В связи с этим в математической статистике широко используются понятия закона и функций распределения. Рассмотрим в качестве примера так называемое биномиальное распределение, с помощью которого решается широкий круг практических вопросов. [c.53]

К началу обработки результатов химического анализа методами математической статистики систематические погрешности должны быть выявлены и устранены или переведены в разряд случайных. При этом данные анализа — случайные величины с определенным распределением вероятности. Прежде чем рассматривать оценку случайных погрешностей, остановимся на двух понятиях генеральная совокупность — гипотетическая совокупность всех мыслимых результатов от -да до + выборочная совокупность (выборка) — реальное число (л) результатов, которое имеет исследователь. [c.42]

Размер ячеек в неупорядоченном зернистом слое может быть различным, случаен и способ их соединения между собой следовательно, и скорости потока в разных ячейках будут различными. Усредняя скорость потока на масштабе отдельной ячейки, мы можем ввести понятие средней локальной скорости (или локальной скорости потока), равной отношению характерного размера ячейки к среднему времени пребывания потока в данной ячейке. Локальная скорость потока является случайной величиной, принимающей различные значения в разных областях слоя. Если, однако, зернистый слой статистически однороден, то вероятность обнаружить то ийи иное значение локальной скорости не зависит от пространственного положения ячейки. Помимо того, в статистически однородном слое локальные скорости потока в соседних ячейках являются (с хорошей степенью точности) статистически независимыми. [c.217]

Впервые вопрос о зависимых случайных величинах был поставлен в статье Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга , опубликованной в 1906 г. В ней А. А. Марков доказывает, что одно из важнейших положений теории вероятностей — предельная теорема Чебышева — справедливо и для зависимых случайных величин. Но это было только началом. В дальнейших своих работах выдающийся математик, по существу, закладывает основы теории марковских цепей. Так, им уже тогда были сформулированы понятия простых и сложных, однородных н неоднородных цепей, рассмотрены возможности их применения, например, в лингвистике. Читая труды А. А. Маркова, нельзя не восхищаться своеобразной красотой и даже изяществом их изложения. Четкость и лаконичность, строгость и выразительность, логичность и завершенность — таковы их характерные черты. В научных суждениях — объективность и принципиальность. Нельзя не привести здесь одну цитату из его статьи по теории вероятностей Теорема, которую доказывает Чебышев в упомянутом мемуаре, давно считается верной, но установлена она при помощи крайне нестрогих приемов. Я не говорю доказана, так как нестрогих доказательств не признаю, если не усматриваю возможности сделать их строгими . [c.11]

В частном случае равномерно распределенной дискретной случайной величины, принимающей п значений с вероятностями р, =Р2=. .. =рп— п, математическое ожидание совпадает с обыденным понятием среднего арифметического значения [c.816]

Наиболее распространенный вид детерминированных процессов— это периодические процессы, разлагаемые на гармонические составляющие. Для описания одной такой составляющей не требуется вероятностных понятий, поскольку ее точное значение в любой момент времени вычисляется по формуле x t) = =Хзт (2л/ +0). Но если начальная фаза 0 — равномерно распределенная на (—я, я) случайная величина, то этот гармонический процесс случайный и, как показано в работе [2.1], его плотность вероятности имеет вид [c.46]

Однако приведенная характеристика случайных величин только со стороны набора возможных значений далеко недостаточна. Понятие случайной величины неразрывно связано с понятием распределения. Для полной характеристики случайной величины наряду с ее возможными значениями следует указать, как часто она эти значения принимает. Иными словами, необходимо указать вероятность отдельных значений (для дискретных случайных величин) или вероятность принять значение, лежащее внутри того или иного интервала (этот способ в равной мере применим для дискретных и непрерывных случайных величин). [c.64]

Строгий расчет границ доверительного интервала случайной величины возможен лишь в предположении, что эта величина подчиняется некоторому известному закону распределения. Закон распределения случайной величины - одно из фундаментальных понятий теории вероятностей. Он характеризует относительную долю (частоту, вероятность появления) тех или иных значений случайной величины при ее многократном воспроизведении. Математическим выражением закона распределения случайной величины служит ее функция распределения (функция плотности вероятности) р х). Папример, функция распределения, изображенная на рис. 3, означает, что для соответствующей ей случайной величины X наиболее часто встречаются значения вблизи х=10, а большие и меньшие значения встречаются тем реже, чем дальше они отстоят от 10. [c.10]

Первая важнейшая числовая характеристика определяет среднее значение случайной величины. Ее называют математическим ожиданием, или иногда просто средним значением. Математическое ожидание М(и), как нетрудно показать, является обобщением понятия среднее арифметическое. Оно получается сложением всех возможных значений случайной величины (от —оо до +оо), причем каждое значение умножается на соответствующую ему вероятность. Для дискретной величины [c.52]

Эта глава содержит краткое описание тех понятий теории вероятностей, которые необходимы для понимания задач с временными рядами. Разд 3.1 иллюстрирует подход, с помощью которого статистик описывает физические явления, пользуясь выборочным пространством, случайной величиной и распределением вероятностей. В разд. 3.2 рассматриваются способы приближения распределения вероятностей с помощью его первых моментов Наконец, в разд. 3 3 обсуждаются выборочные распределения некоторых полезных функций от случайных величин, таких как среднее значение и дисперсия [c.78]

Основными понятиями, необходимыми для описания примера с контролем качества, являются вероятность и распределение вероятностей Вероятность равна отношению числа событий, в которых случайная величина X принимает значение х, к общему числу событий она записывается рх х) Множество чисел рх х.), х = 0, 1, [c.81]

Расчет распределения времени пребывания частиц потока основан на статистическом понятии моментов и связан с распределением плотности вероятностей. Основные свойства распределения случайной величины можно описать несколькими числовыми характеристиками, которые определяют наиболее существенные особенности распределения. Такой системой характеристик являются моменты распределения случайной величины, которые систематизируются по трем признакам по порядку Р момента по началу отсчета случайной величины по виду случайной величины. [c.67]

В вопросах статистической кинетики основную роль играет понятие цепи Маркова. Под цепью Маркова (дискретной) в теории вероятности понимают следующее. Предположим, что кристалл может находиться в одном из состояний, которые характеризуются объемом VI, г>2,. ., и обозначены номерами 1, 2, 3,. .. и т. д. Предположим также, что состояние его можно наблюдать через определенные промежутки времени, например, каждую минуту, в моменты т=0, 1, 2,. .. и т. д. С течением времени могут происходить переходы из одного состояния в другое. Ряд состояний, принимаемых системой с течением времени, представляет собой цепь Маркова, если вероятность того, что при т-м наблюдении система находится в к-и состоянии (у ), полностью определена заданием состояния (например, ог) системы для одного из предшествующих наблюдений в момент То <С т. Эта вероятность может быть записана в виде р(то Уг/т Юк), ее можно назвать вероятностью перехода из состояния VI в состояние Vk за время между то и т. Из сказанного вытекает, что эта вероятность перехода не зависит от того, в каких состояниях система была до момента то. Вероятность /(у, т)с1у найти значение случайной величины V в бесконечно малом интервале от у до у(1о в момент времени т нами была определена ранее. [c.140]

Понятие о моментах распределения. Статическая теория полимеризации [7, 8] исходит из предположения о возможност анали-за ММР по особого рода средним молекулярным массам М// и Мг, называемым соответственно среднемассовой, среднечисленной и 2-той. Важной характеристикой ММР являются различные соотношения средних молекулярных масс. Анализируя эти соотношения, можно получить интересные данные о механизме полимеризации и его особенностях. Для анализа вводятся понятия моментов, обычно применяемые в статистике и теории вероятностей для оценки распределения случайных величин. При этом, естественно, могут быть использованы различные моменты распределения — начальные и центральные, нормированные и ненормированные и т. д. [c.18]

Основным понятием теории вероятностей является вероятностное пространство—упорядоченная тройка ( 2, , Р), состоящая из пространства элементарных событий й, поля событий и вероятностной меры Р. В определении случайной величины участвуют только первые два элемента вероятностной тройки. [c.42]

КИМ образом, вероятность определена для подмножества Х В) пространства элементарных событий й. Это проливает дополнительный свет на требование (2.8). Рассмотрим вещественнозначную функцию 2 не наделенную свойством (2.8). Тогда существует событие 8 , такое, что 2" (В ) . Иначе говоря, измерительный прибор 2 зафиксировал событие, для которого невозможно определить вероятность, так как оно не соответствует никакому событию в основном пространстве элементарных событий так как 2 (В ) , вероятность Р(Е-ЦВ )) не определена. Ясно, что такого рода ситуация нежелательна 2 не является надлежаще измеримой величиной. Приведенный пример подтверждает, что требование (2.8) абсолютно необходимо для разумного понятия случайной величины. В противном случае было бы невозможно построить жизнеспособную теорию. [c.49]

Приведенный нами пример подтверждает, что самое непосредственное обобщение детерминированных понятий на стохастический случай дает наилучшие результаты. Качественное изменение стационарного состояния однозначно отражается на экстремумах плотности вероятности. Единственным исключением является переход от вырожденной к подлинно случайной величине. В этом случае наилучшим индикатором перехода служит дисперсия. Во избежание возможных недоразумений подчеркнем, что мы не сосредотачиваем все внимание на экстремумах плотности вероятности рз(х), т. е. на наиболее вероятных значениях. В частности, мы отнюдь не утверждаем, что максимумы определяют стационарное распределение вероятности. Внешний шум имеет макроскопическую природу и не мал по сравнению с внутренними флуктуациями, что, естественно, приводит к расширению переходной зоны и уширению пиков, но не исключает возможность экспериментального наблюдения. Ввиду важности [c.162]

Обратимся поэтому к другой характеристике случайной величины— мера неопределенности, введенной Хартли в 1929 г. Смысл этого понятия заключается в следующем. Пусть некоторая случайная величина Хг имеет к равновероятных исходов. Тогда, согласно определению вероятности, [c.306]

Методика аналитического осреднения в алгоритмах, учитывающих рассеяние и неоднородность среды, неразрывно связана с понятием статистических весов и неред-и) имеет название моделирование с использованием статистических весов . Посколыд термин статистические весы будет использоваться ниже, поясним его сущность на нашем примере. Из выражения (5.84) видно, что случайная величина ц удовлетворяет неравенствам О < т] 1. Физически это можно интерпретировать как допущение того, что фотон в процессе испытания всегда выживает. В этом случае удобнее оперировать такой модельной частицей, как пучок (или пакет) фотонов. При рассмотрении, траектории таюго пучка выделяют долю поглощенных фотонов в некотором слое и долю фотонов, не испытывающих столкновения, т.е. выживших. Обычно долю выживших фотонов и называют статистическим весом пучка, а вероятность поглощения его в следующем слое с другой оптической плотностью вычисления определяют уже относительно этого нового веса. Так как доля поглощенных фотонов пучка в каждом слое есть величина вероятная, то ясен статистический (вероятностный) характер используемых весов, которые в общем случае рассчитываются по формуле [c.407]

Данная модель процесса обнаружения боевых единиц может служить лишь базой для создания алгоритмов имитационного комплекса. В модели не содержится сведений о том, какие конкретные параметры обнаруживаемых объектов становятся известны в каждом акте обнаружения. При создании алгоритмов системы необходимо дополнительно ввести информационные массивы, содержащие характеристики, описывающие конкретные типы величин, их значения, т. е. содержательно представить информацию об обнаруживаемом объекте и способ ее вычисления. Папример, можно предложить алгоритм, по которому на каждом шаге вычислительного эксперимента разыгрывается значение случайной величины — вероятности обнаружения и в случае наступления такого события в информационные массивы единиц, ведущих разведку, записываются все фазовые характеристики обнаруженных объектов. Можно усложнить модель, вводя понятие степени достоверности обнаружения с написанием соответствующих алгоритмов. [c.139]

Для задания случайной величины необходимо знать не только те значения, которые может принимать эта случайная величина, но и вероятность этих значений. Для того чтобы задавать их, в теорию вероятностей вводят понятие функции распределения случайной величины [Гнеденко, 1965]. [c.54]

Вводя понятие функции распределения можно объединить рассмотреше случайных величин дискретного и непрерывного типов. Функцией распределения случайной величины X (любого типа) называется вероятность события X < X, где х — любое число, обозначаемое F x). Таким образом, по определению F(x) = = Р(Х<х). [c.683]

О том, пользовались ли взгляды Лорана и Дюма успехом, можно судить не только по руководству Гмелина — один пример может быть случайным — но, например, и по отношению к ним русских химиков [12]. Зинин в 1846 г. (докторская диссертация) писал Если б были известны вид и величина атомов вещества, зависимость сил, которыми они одарены, от расстояния, вида и величины атомов, то, может быть, мы вычислили бы все подробности явлений взаимного действия тел друг на друга—дали бы определенную численную меру этих явлений. Теперь наблюдения определят эти подробности, и мы, зная их, составим частные законы явлений, но общее объяснение, вероятно, не изменится . Гесс в Основаниях чистой химии уже в 1837 г. указывает на аналогию между законами замещения и изоморфизма в неорганической химии. Ту же точку зрения высказывает Воскресенский в докторской диссертации в 1839 г. В седьмом издании упомянутого руководства (1849 г.) Гесс, связывая понятия химического типа и расположения атомов, пишет [c.16]

Тема случайных ошибок включает несколько специальных терминов. Первым понятием является распределение вероятности, которое служит мерой различных вероятностей свершения определенных событий. На языке так называемой теории ошибок это есть распределение переменной (обычно обозначаемой через д ). Таким образом, в серии условно идентичных экспериментов могут получиться п результатов со значением Хи пг результатов со значением Х2, щ результатов со значением Хх и т.д. Распределение представляет собой график или гистограмму, показываюш,ую зависимость п от х. Следует определить несколько важных величин, связанных с распределением. Под средним обычно принимают [c.159]

В частности, для применения основных положений теории надежности следует знать основы теории вероятностей понятие о случайных событиях и величинах, их характеристиках, законы распределения случайных величин. При экспериментальном определении численных характеристик надежности необходимо знать правила статистической обработки данных, т. е. владеть основами математической статистики. На предприятии можно успешно применять а1шарат теории массового обслуживания, математической логики, системотехники, статистического моделирования и т. д. [c.678]

В заключение надо сказать, что само понятие случайный процесс появилось в науке сравнительно недавно. Если считать, что возраст теории вероятностей составляет сейчас примерно три с половиной столетия, то теории случайных процессов всего лищь полвека Появление и исследование случайных процессов было вызвано необходимостью описания процессов, в которых случайные величины изменяются во времени — динамикой случайных величин. С помощью таких моделей было рещено множество важных научных и практических задач. [c.30]

Этому вряд ли приходится удивляться, если, помимо того что индуцированный шумом переход в модели Ферхюльста не может быть непосредственно отождествлен с критической точкой, мы учтем то, о чем говорилось в разд. 6.3. Как подчеркивалось там, состояние системы описывается случайной переменной Хг. Именно с этой фундаментальной величиной, а не с моментами, даже не всегда характеризуюпдими случайную величину, необходимо иметь дело. Распространенное мнение о том, будто моменты полностью характеризуют случайную величину, восходит к анализу систем с внутренними флуктуациями, которые макроскопически малы. Некритическое распространение понятий, развитых для описания малых ситуаций, на ситуации с внешним шумом чревато опасностью и препятствует подлинному пониманию всего круга явлений, связанных с внешним шумом. Если в системе имеются флуктуации, то единственным надежным отправным пунктом служит то тривиальное обстоятельство, что состояние системы описывается случайной величиной. В разд. 6.3 мы показали, что стационарный случай удается строго обосновать, опираясь на этот твердо установленный факт. Переход происходит при условии, если случайная величина — индикатор состояния системы, а не какая-то производная от нее величина (например, моменты) претерпевает качественное изменение. Это качественное изменение функциональной зависимости для отображения, действующего из пространства элементарных событий в пространство состояний, в силу принятого нами соглашения (2.15) эквивалентно качественному изменению в распределении вероятности. Как лучше отследить такое качественное изменение — вопрос, представляющий несомненный практический интерес. В разд. 6.3 мы показали, что по аналогии с детерминированным случаем это лучше всего делать, исследуя поведение экстремумов стационарной плотности вероятности рзМ. (Единственным исключением является переход от вырожденной к подлинно случайной величин е,, при котором в качестве наиболее подходящего параметра выступает дисперсия. Мы видели также, что экстремумы имеют особый физический смысл. Их можно отождествить с макроскопическими фазами системы и использовать для задания параметра порядка перехода (как было показано в разд. 6.5). Короче говоря, для того чтобы уста новить, наблюдается ли критическое замедление в индуцированных шумом критических точках, нам необходимо исследовать динамику случайной. личины X , т. е. релаксацию одной функциональной зависимости к другой По причинам, подробно изложенным в разд. 6.3 и повторенным выше, это удобнее всего делать, прослеживая динамику экстремумов. Неудивительно поэтому, что, как будет показано ниже, критическое замедление [c.206]

Основными понятиями, необходимыми для описания примера контролем качества, являются вероятность и распределение ее- оятностей. Вероятность равна отношению числа событий, в кото-ых случайная величина X принимает значение х, к общему числу обытий она записывается рх (х). Множество чисел рх х), х = 0, I,, ..., 100, является распределением вероятностей. Каждая из веро-тностей является неотрицательной величиной, и их сумма равна цинице. Оценку рх (х) можно получить из наблюденных отношений х/и, определенных в (3.1.2). При увеличении полного числа про-е яемых транзисторов N отношения Пх/Л дают все лучшие и лучше оценки вероятностей рх (х). [c.81]

В случае непрерывной АЭ смысл некоторых приведенных выше характеристик меняется и могут быть введены дополнительные характеристики процесса. Поскольку теперь теряется смысл понятия амплитуды импульса, суммарная АЭ и скорость счета АЭ определяются числом выбросов случайного процесса за уровень дискриминации, т.е. числом превышений регистри -руемой величиной (напряжением, током) установленного уровня дискриминации <7д. Соответственно вместо амплитудного распределения должна использоваться плотность вероятности АЭ w (А), определяющая долю времени наблюдения, в течение которого значение регистрируемой величины находится в ин -тервале значений вблизи А в соответствии с формулой (8.2). [c.166]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология