Процессы авторегрессии выборочные оценки

Процесс авторегрессии второго порядка. Выборочные оценки максимального правдоподобия можно получить, дифференцируя (5 4 3) по ц,, 1 и 2 и приравнивая эти производные нулю Это приводит к уравнениям [c.233]

Выборочные оценки среднего правдоподобия для процесса авторегрессии первого порядка. Для иллюстрации рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка с нулевым средним значением [c.236]

Выборочные оценки среднего правдоподобия для процесса авторегрессии второго порядка. Рассмотрим процесс второго порядка- [c.239]

В этом разделе рассматривается задача определения порядка т процесса авторегрессии Простой метод основан на том, что если в подбираемой модели (5 4 1) взято недостаточное число членов, то выборочная оценка дисперсии будет завышена за счет тех членов, которые еще не включены в модель Лишь когда правильное число членов включено в модель, получается правильная оценка [c.240]

В разд 6 1 говорится о том, что классический анализ Фурье не применим к временным рядам Так, оценка спектра, полученная по формулам анализа Фурье, а именно выборочный спектр, обладает тем нежелательным свойством, что ее дисперсия не уменьщается при увеличении длины временного ряда Поэтому для временных рядов методы гл 2 нужно видоизменить В результате мы приходим в разд 6 2 к такому определению спектра, которое подходит для случайных процессов В этом разделе рассматриваются также спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.255]

Р и с 71 Сглаженная выборочная оценка нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (<Х1 = 1,0, = —0,5) с помощью окна Бартлетта [c.10]

В этом разделе эмпирически исследуется влияние изменения полосы частот, или, что эквивалентно, точки отсечения на сглаживание выборочной спектральной оценки Временные ряды, которыми мы будем пользоваться, являются реализациями процессов авторегрессии первого и второго порядков с известным спектром Вычисляются средний сглаженный нормированный спектр [c.12]

Рис 7 4 Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии первого порядка (а1 = —0,4, N = 100) [c.15]

Рис. 7 8 Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (01 = 1,0, аг = —0,5, Л = 50).

Рис 7 9 Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (О] = 1,0, з = —0,5, N = 400) [c.20]

Таким образом, для двух оценок, соответствующих окнам с одинаковой шириной полосы частот, и дисперсия, и смещение приблизительно одни и те же Отсюда следует, что если два спектральных окна имеют приемлемую форму и одну и ту же щирину полосы частот, то соответствующие им выборочные оценки спектра должны быть очень похожи. На рис 7 11 как раз проделано такое сравнение окон Тьюки и Парзена для реализации процесса авторегрессии первого порядка с а1 = —0,9 и Л/=100 Сплошная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при = 32, а крестики — выборочную оценку Парзена при = 45 Аналогично пунктирная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при = 8, а сплошные кружки — выборочную оценку Парзена при =12. Согласие при этом столь велико, что можно без опасения утверждать, что при использовании одного из этих окон вместо другого мы не упустили бы ни одной важной особенности спектра Следовательно, эмпирические результаты этого раздела показывают, что важным вопросом в практическом спектральном анализе является выбор ширины полосы частот, а не выбор формы окна Эти вопросы мы обсудим полнее в разд 7 2 4 и 7 2 5 [c.23]

Иногда можно стянуть полосу частот настолько, что большинство существенных деталей выявится до того, как мы дойдем до неустойчивости В этом случае, начиная с некоторого момента, не должно происходить существенных изменений в спектре, несмотря на дальнейшее заметное уменьшение полосы частот Такой благоприятный случай показан на рис 7 3, где изображены выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого порядка. Видно, что при уменьшении полосы частот в 4 раза (что соответствует изменению от 4 до 16) происходят лишь незначительные изменения формы спектра Можно считать, что удовлетворительная выборочная оценка спектра в интервале частот от О до 0,375 гц получается при = 8, однако в окрестности пика требуется большее значение , скажем = 12 [c.32]

Выборочные оценки корреляций для процесса авторегрессии второго порядка [c.76]

Пример Чтобы проиллюстрировать этот эффект, мы вычислили выборочную взаимную корреляционную функцию (fe) для реализаций двух независимых процессов авторегрессии первого порядка с параметрами oi = i = —0,9 при N = 100 Эта выборочная оценка получена при использовании дискретного выборочного аналога функции (8 2 2), а именно [c.95]

Рис. 9 4, Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некоррелированных процессов авторегрессии первого порядка

Рис 9 10 Сглаженные выборочные оценки фазового спектра двумерного процесса авторегрессии (8 1 20) (Л = 100) [c.153]

Гл 5 содержит некоторые элементарные понятия теории случайных процессов, такие, например, как стационарность, автокорреляционная функция и понятие о процессе скользящего среднего — авторегрессий Изложены и проиллюстрированы примерами методы оценки автокорреляционных функций и параметров линейных процессов В гл 6 понятия анализа Фурье и теории случайных процессов объединяются для получения способа описания стационарного случайного процесса с помощью его спектра Показано, как должны быть модифицированы методы анализа Фурье для того, чтобы оценить спектр процесса по реализации конечной длины Затем выводятся выборочные свойства спектральных оценок и вво [c.10]

В этом разделе вычисляются выборочные оценки спектров для искусственных временных рядов. Это сделано для того, чтобы читатель приобрел опыт в интерпретации выборочных спектральных оценок. В разд. 7.1.1 даются формулы, непосредственно пригодные для вычисления на цифровых машинах выборочных сглаженных спектральных оценок, а также приводятся результаты вычислений выборочных характеристик. Затем в разд. 7.1.2 проиллюстрировано влияние изменения точки отсечения корреляционной функции на спектр. Для этого функция rxj (/) сравнивается с Txx(f) и xxif) с Гл (/) в случае, когда процесс является авторегрессией первого или второго порядка. Чтобы подготовить приведенное в разд. 7.2 [c.7]

Б некоторык случаях выясняется, что выборочная оценка спектра не сходится ни в каком смысле к устойчивому значению. Пример такой ситуации изображен на рис 7 8, где показаны выборочные оценки спектра процесса авторегрессии, сосчитанные по /V = 50 членам Выборочная оценка при 1 = 8 сравнительно плавная, однако невозможно понять, вызваны ли существенные изменения в спектре при переходе от = 8 к = 24 неусгойчивостью или же выявлением новых деталей спектра. Поэтому, вероятно, следовало бы считать, что выборочная оценка при 1 = 8 показывает крупные детали спектра, но для выявления более тонких деталей требуются более длинные ряды Заметим, впрочем, что выборочная оценка спектра при = 8 содержит много полезной информации, [c.32]

Обычно ситуация представляет собой нечто среднее между случаями 1 и 2 Рассмотрим, например, показанные на рис 7 4 выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого порядка с = —0,4 и /V = 100 Отметим, что при = 16 появляются вполне определенные пики на частотах / = 0,22 гц и / = = 0,44 гц Не зная структуры этого процесса, возможно, было бы соблазнительно принять эти пики за действительные, поскольку выборочная оценка имеет приблизительно 17 степеней свободы Эти пики становятся еще более определенными при = 32, так что имеется некоторое сомнение относительно того, когда следует остановить процесс стягивания окна Аналогичные замечания справедливы и для выборочных оценок, показаннь1х на рис 7 6 [c.32]

Два независимых процесса авторегрессии первого порядка (а, = —0,9). Первыми процессами, которые мы рассмотрим, явля-ляются два независимых процесса авторегрессии первого порядка с 1 = —0,9, = 100 Взаимную корреляционную функцию этих процессов мы оценивали в разд 82 1 Теоретический и средний сглаженный спектры когерентности этого двумерного процесса тождественно раины нулю, а теоретический фазовый спектр не определен Поэтому мы не будем сравнивать теоретический п средние сглаженные спектры Основная цель этого примера — сравнить теоретический спектр когерентности, который тождественно равен нулю, с выборочными оценками когерентности для реализаций двух рядов по 100 членов в каждой На рис 9 4 показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности при I = 4, 8, 16 и 40 [c.147]

Равенство (9 3 22) показывает, что, даже если теоретическии взаим-нь[й спектр равен нулю, средний сглаженный спектр когерентности может быть очень больгним Этим объясняются показанные на рис 9 5 большие значенпя выборочных оценок когерентности для двух независимых процессов авторегрессии первого порядка, обсуждавшихся в разд 8 2 Например, прп L = 40 [c.158]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология