Выборочный спектр

В разд 6 1 говорится о том, что классический анализ Фурье не применим к временным рядам Так, оценка спектра, полученная по формулам анализа Фурье, а именно выборочный спектр, обладает тем нежелательным свойством, что ее дисперсия не уменьщается при увеличении длины временного ряда Поэтому для временных рядов методы гл 2 нужно видоизменить В результате мы приходим в разд 6 2 к такому определению спектра, которое подходит для случайных процессов В этом разделе рассматриваются также спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.255]

В разд 6 3 показано, что с помощью сглаживания выборочного спектра можно получить улучшенную оценку спектра Чем сильнее сглаживание, тем меньше дисперсия этой оценки, однако при этом возрастает смещение, или систематическое искажение Поэтому нужно выбирать некоторый компромисс между смещением и дисперсией [c.255]

Выборочный спектр белого шума [c.258]

Чтобы проиллюстрировать результат применения анализа Фурье к случайному процессу, был взят ряд из 400 случайных нормальных чисел (гауссовский белый шум) Выборочный спектр Сгг 1) вычислялся для четырех рядов, состоящих из первых 50, 100, 200 и 400 членов соответственно На рис 6 1 приведены значения выборочных спектров Сгг (), сосчитанные по формуле (6 17), на частотах / = 0,02, 0,04,, , 0,50 гц для случаев N = 50 и = 100 при Д = = 1 сек. На рисунке изображен также теоретический спектр, который, как показано в разд 6 2 3, равен константе в интервале -42 <42 [c.258]

В табл 6 1 представлены характеристики, полученные из выборочных спектров, сосчитанных по 50, 100, 200 и 400 членам Поскольку теоретический спектр равен константе, флуктуации Сгг(/) можно охарактеризовать, сосчитав среднее значение, дисперсию и среднеквадратичную ошибку величин С,г ) при изменении частоты Видно, что для каждого из рядов среднее значение близко к единице— теоретическому спектру Следовательно, значения Сгг(/) группируются около некоторой центральной величины Однако, как видно из табл 6 1, дисперсии не уменьшаются с ростом N, что говорит о том, что выборочные оценки спектра, сосчитанные по 100, 200 или 400 членам, не лучше оценки, сосчитанной по 50 членам [c.258]

Поведение выборочных спектров белого шума по мере возрастания длины записи [c.258]

Чтобы показать, что выборочный спектр не сходится в каком-либо статистическом смысле и для процессов, отличных от белого [c.259]

Рис 6 1 Выборочные спектры для первой половины (Л = 50) и для всей реализации (N=100) дискретного нормального белого шума [c.259]

Рис 62 Выборочный спектр для реализации процесса авторегрессии второго [c.260]

Прежде чем дать более точное определение спектра стационарного случайного процесса, мы выведем фундаментальное соотношение, связывающее выборочный спектр и выборочную ковариационную функцию [c.261]

Из определения выборочного спектра (6 1 6) мы имеем [c.261]

Следовательно, выборочный спектр, или выборочная спектральная плотность, является преобразованием Фурье от выборочной ковариационной функции Обратное по отношению к (6 19) преобрази вание Фурье можно записать в виде [c.261]

Рис 63 Преобразование координат для выборочного спектра Для дискретного времени выборочный спектр равен [c.262]

Вероятностные свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума [c.279]

Введение. Табл. 6 1 наводит на мысль о том, что оценка, соответствующая выборочному спектру, [c.279]

Х -свойство оценки, соответствующей выборочному спектру Так [c.280]

Пользуясь этими результатами, можно объяснить флуктуирующее поведение выборочного спектра на рис. 6 1. В разд 6.2 3 было показано, что спектр чисто случайного процесса равен константе [c.281]

Следовательно, для гармонических частот оценка, соответствующая выборочному спектру, является несмещенной в случае, если шум белый. Это объясняет близость средних значений в табл. 6.1 к их теоретическим значениям. [c.281]

Приведенный в разд 5 3 5 критерий для проверки того, что шум белый, полезен тогда, когда подозревают наличие локальных корреляций , т е когда есть подозрение, что соседние точки временного ряда коррелированы Иногда требуется обнаружить отклонения от белого шума, вызванные периодическими эффектами Так, например, после подбора модели для экономического временного ряда, содержащего сезонные вариации, несоответствие модели могло бы выразиться в периодичности остаточных ошибок В таком случае более подходящим является частотный критерий, основанный на выборочном спектре Один такой критерий приведен ниже его надо рассматривать как дополнение к критерию разд 5 3 5, основанному на корреляционной функции [c.283]

Выборочный спектр на гармонических частотах для выборки белого шума [c.285]

Общие результаты о выборочных спектрах для белого шума [c.287]

Моменты оценок, соответствующих выборочному спектру, для белого шума. Для дискретного времени эти более общие результаты имеют вид [c.287]

Способ сглаживания Бартлетта. Один прием, который можно использовать для получения спектральных оценок, имеющих дисперсию, меньшую, чем у Сгг ), был предложен Бартлеттом [5]. Предположим, что вместо вычисления Сгг(/) по реализации белого шума длины Л = 400, как это делалось в разд 6 1 2, эта реализация разбивается на й = 8 рядов длины Л /й = 50 и выборочный спектр 11 (/). г=1, 2,, 8, вычисляется для каждого ряда длины 50. Среднее значение этих восьми выборочных спектров на частоте / равно [c.289]

Рис 6 10 Выборочный спектр и сглаженная выборочная оценка спектра для но )- [c.290]

Корреляционные и спектральные окна. Из (6.2.1) математическое ожидание оценки, соответствующей выборочному спектру, равно [c.290]

Следовательно, разделение записи длины Т па к частей длины М = — Т1к каждая и построение сглаженной спектральной оценки (6 3.23) эквивалентно сглаживанию выборочного спектра с помощью окна [c.292]

В способе, излагаемом здесь, мы воспользуемся тем фактом (см. (52 6)), что любой случайный процесс (X(i) со спектром Ухх(П можно представить в виде белого шума Z (г ), пропущенного через линейный фильтр Воспользовавшись этим фактом и формулами разд 6 3.3 для ковариаций оценок, соответствующих выборочному спектру, в случае белого шума, мы сможем вывести выражения для аналогичных ковариаций, но в случае произвольного случайного процесса. Затем уже несложно получить выражения для ковариаций сглаженных спектральных оценок [c.300]

Ковариация оценок, соответствующих выборочному спектру. [c.300]

В таком случае оценку, соответствующую выборочному спектру [c.300]

Однако при анализе записей конечной длины спектр часто предпочтительней, чем автоковариационная функция. Во-первых, оценки спектра на соседних частотах приближенно независимы, и поэтому выборочный спектр обычно легче интерпретировать, чем выборочную автоковариационную функцию И во-вторых, что важнее, во многих физических задачах спектр представляет непосредственный [c.22]

Отметим, что функция СххЦ) определена на непрерывном интервале частот —оо / оо. Она называется выборочным спектром, или выборочной спектральной плотностью ) Для дискретного случая выборочный спектр равен [c.257]

В оригинале sample spe trum Более точно было бы называть функцию xx(i) выборочной спектральной плотностью, однако ради краткости мы будем использовать и термин выборочный спектр там, где это не приводит к неясности Для дискретного времени выборочный спектр (6 1 7) часто называют периодограммой — Прим перев [c.257]

Этими результатами мы воспользуемся в разд. 6 32 при выводе критерия для проверки гипотезы о том, что щум является бельщ. В разд. 6.3.3 дается краткое изложение более общих результатов, относящихся к вероятностным свойствам оценок, соответствующих выборочным спектрам. Эти результаты получены для произвольных частот и для процессов, не являющихся белым гауссовским щумом Доказательства приведены в приложении П9 1. [c.280]

Предположим, что выборочный спектр СггЦ) сосчитан для гармонических частот 1к = к1ЫА, к = 0, 1,. .N/2. Рассмотрим тогда оценки /(/й)спектральной функции [c.284]

В разд. 6 3.1 выведены выражения для среднего значения и ковариаций о-ценки, соответствующей выборочному спектру, на гармонических частотах и = к1МА в предположении, что Zt — гауссовский процесс В приложении П9.1 выведены более общие результаты, применимые для любых частот и для негауссовских процессов [c.287]

Х -свойства оценок, соответствующих выборочному спектру, для случая белого шума. В разд 6 3 1 было показано, что если Zt является гауссовским белым шумом, то 2 zz(f)IAo имеет х -распреде- [c.288]

Таким образом, для достаточно больших Т смещение несглажен-ного выборочного спектра будет малым. [c.291]

Один общий класс сглаженных спектральных оценок. Описаный выше способ сглаживания Бартлетта показывает, что большую дисперсию оценки, соответствующей выборочному спектру, можно уменьшить, вводя корреляционное окно (6 3.27). Это наводит на [c.293]

Таким образом, оценка, соответствующая выборочному спектру, для процесса X ( ) приближенно равна соответствующей оценке для белого шума, умноженной на квадрат модуля частотной характеристики фильтра Поскольку 2Сгг распределена приближенно [c.301]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология