Стационарные состояния линейных систем

Уравнение состояния линейной стационарной динамической системы и-го порядка может быть представлено в виде (рассматривается случай, когда х 1)=у (()) [c.314]

Мембрана, как и любая открытая система вблизи равновесия, при неизменных внешних условиях стремится к устойчивому стационарному состоянию, которое характеризуется минимальным положительным значением производимой энтропии. Диссипативная функция Ч , определяемая соотношением типа (1.9), обладает свойством потенциала, т. е. минимальна в стационарном состоянии, которое устойчиво и однозначно, если. сохраняется линейность связей между потоками и силами, положенная в основу феноменологических уравнений (1.7) и соотношения Онзагера (1.8). [c.26]

Выше было показано, что вблизи термодинамического равновесия в системе невозможны периодические процессы. Следовательно, на фазовых диаграммах устойчивое стационарное состояние в системах, находящихся в области линейной термодинамики, характеризуется особой точкой, для которой эволюция системы при незначительном отклонении из этой точки обязательно приведет систему снова в эту же точку (рис. 17.2 демонстрирует возвращение системы в точку с прежней скоростью диссипации энергии). [c.367]

В линейном приближении для отклонений от стационарного состояния получается система уравнений [c.164]

Теорема Пригожина разрешила важнейший для термодинамики линейных необратимых процессов вопрос о точной характеристике стационарного состояния открытой системы, что резко расширило область применения этого раздела термодинамики. [c.26]

Возникающее эволюционное движение системы в силу условия Р О должно идти в сторону уменьшения отклонения от стационарного состояния, т. е. система стремится к стационарному состоянию с минимальным производством энтропии (фиг. 8.2) существуют как бы некоторые силы, возвращающие систему к стационарному состоянию. Стационарные состояния линейной системы всегда устойчивы к отклонениям, т. е. в линейной области принципиально невозможны неустойчивые стационарные состояния. Из вышеприведенного вывода следует, что в окрестности линейного стационарного состояния невозможно и осциллирующее движение системы. [c.189]

Чтобы ответить на вопрос об устойчивости стационарного режима химического процесса, необходимо, таким образом исследовать переходные процессы в реакторе, которые описываются системой нестационарных уравнений материального и теплового баланса. Уравнения эти нелинейны и даже в простейших случаях не могут быть решены аналитически. Задачу, однако, можно существенно упростить, учитывая то, что для анализа устойчивости достаточно исследовать лишь малые отклонения от стационарного состояния. Поэтому нелинейные кинетические функции, входящие в уравнения материального и теплового балансов, можно разложить в ряд Тейлора в окрестности стационарного режима и, пренебрегая высшими членами разложения, представить их в виде линейных функций отклонения переменных от их стационарных значений. В результате получаем гораздо более простую систему линейных уравнений, правильно описывающую переходные процессы в области, достаточно близкой к стационарному состоянию. Эту линейную систему в ряде случаев удается решить или исследовать аналитически, определив тем самым общие условия устойчивости процесса. [c.324]

Релаксационные методы исследования кинетики химических реакций основаны на том принципе, что при быстром внешнем воздействии на систему (изменение температуры, давления, электрического поля) время, которое нужно системе для достижения нового равновесного (или стационарного) состояния, зависит от скорости химической реакции (или иногда от скорости диффузии реагентов). Переход системы к новым равновесным (или стационарным) концентрациям реагентов называют химической релаксацией [39, 40]. Если отклонение от равновесия, вызванное внешним воздействием, невелико, кинетика релаксации будет весьма простой (ее удается описать с помош,ью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами). [c.206]

Эта функция резко возрастает с температурой, проходит через максимум и затем падает до нуля, так как концентрация уменьшается с повышением температуры. Поэтому график функции (И, 37) будет иметь вид, представленный на рис. П-2. Если на тот же рисунок нанести линейную функцию Q/f, становится очевидным, что Qjf = = Qo может определять одно или более стационарных состояний в точках пересечения в зависимости от параметров системы, которые описывают положение линий теплоотвода при различном их наклоне [c.32]

При рассмотрении решения (VII, 7а) становится ясно, что устойчивость системы зависит от знака Так как уравнение (VII, 76) показывает, что все собственные значения являются действительными и отрицательными числами, стационарное состояние должно быть устойчивым независимо от выбранных начальных условий. Это следует из линейности системы (простой и довольно определенный случай). [c.157]

Как отмечалось, в области линейной неравновесной термодинамики стремление системы к стационарному состоянию характеризуется монотонным уменьщением скорости производства энтропии (или, что эквивалентно, скорости диссипации энергии) в результате внутренних необратимых процессов dP < 0. [c.354]

Долгое время полагали, что для более сложных химических реакций, когда состояние системы описывается более чем двумя внутренними переменными, функцию, аналогичную кинетическому потенциалу, сконструировать вдали от равновесия уже невозможно. Однако недавно было найдено, что и в этом случае для открытой системы с химическими реакциями во многих случаях можно найти достаточно простой функционал, также достигающий своего минимума в стационарном состоянии, т.е. являющийся по определению функцией Ляпунова и играющий ту же роль, что и кинетический потенциал. Например, такой функционал легко находится для систем с произвольным набором химических превращений, которые линейны по промежуточным продуктам—ин- [c.359]

Таким образом, для многих типичных химически реакционноспособных систем, которые функционируют вдали от равновесия, можно найти близкие аналоги функционалам Рэлея—Онзагера, используемым в линейной неравновесной термодинамике. Важно, что физический смысл положительно определенных функций Ляпунова (18.7), (18.12)—(18.15) и им подобных может быть легко интерпретирован как диссипация энергии в соответствующих электротехнических эквивалентах реакционной системы. Важно также, что стационарные состояния соответствующих реакционноспособных систем обязательно устойчивые, гак же как и стационарные состояния любой из динамических систем, функционирующих в области линейной неравновесной термодинамики. Существенно, однако, что в обсуждаемых случаях справедливость [c.366]

Однако и в условиях существенной удаленности от термодинамического равновесия стационарное состояние катализатора может быть устойчиво, что является, например, следствием существования положительно определенной функции Ляпунова Ф, описывающей поведение этой системы (см. разд. 18.4). В частности, всегда устойчивыми являются стационарные состояния каталитических систем с произвольным набором мономолекулярных превращений каталитических интермедиатов — промежуточных комплексов реагент — активный центр катализатора — или с любым иным набором превращений этих интермедиатов, линейным по концентрации (термодинамическому напору). [c.380]

Теорема Пригожина состоит в следующем если изучаемая система удовлетворяет четырем указанным выше требованиям термодинамики необратимых процессов, если все коэффициенты Lik в линейных кинетических уравнениях постоянны, то при поддержании постоянных значений Р на границах системы в стационарном состоянии возникновение энтропии а оказывается минимальным. [c.292]

Понятие управляемости систем было сформулировано Р. Э. Калманом. Согласно этому понятию линейная система является полностью управляемой тогда и только тогда, когда она может быть переведена из любого начального состояния х (io), определяемого в произвольный момент времени io. в любое конечное состояние X ( ) за конечное время t — to- Следует обратить внимание на то, что для перевода линейной системы из любого состояния в начало координат фазового пространства за бесконечное время достаточно асимптотической устойчивости системы в целом, т. е. во всем фазовом пространстве. Таким образом, для управляемости линейной системы необходимо выполнение дополнительного условия, которое дается теоремой Р. Э. Калмана линейная стационарная непрерывная система [c.228]

При анализе экспериментальных кинетических зависимостей коррозии установлено, что наиболее часто встречаются зависимости, кривые которых показаны на рис, 1. После начальных изменений процесс стабилизируется и характеризуется примерно линейной зависимостью скорости коррозии от времени (точка А определяет достижение стационарного состояния в данной коррозионной системе). [c.14]

Антифазная структура спектра ЭПР спин-коррелированных РП (см. рис. 4) также может быть наглядно представлена в терминах неравновесной заселенности спиновых уровней спин-коррелированных РП. Подробнее этот вопрос будет обсуждаться в следующей лекции в связи с изучением спектров ЭПР состояний с разделенными зарядами в реакционном центре фотосинтеза. Для объяснения упомянутых выше осцилляций интенсивности линий ЭПР спин-коррелированных РП уже оказывается недостаточно привлекать неравновесные населенности спиновых уровней энергии. Для этого надо учитывать квантовую когерентность в состоянии спинов РП. Мы еще вернемся к вопросу о спиновой когерентности в РП. Пока только поясним кратко, о чем идет речь. Пусть система может находиться в двух стационарных состояниях и ср . Система может тогда находиться и в состоянии линейной суперпозиции (р= + В этом состоянии с , к = 1, 2 дает вероятность найти систему в А -ом стационарном состоянии. Величина характеризует когерентность состояния. Те, кто знакомы с методом молекулярных орбиталей в теории электронного строения, могут заметить, что можно провести аналогию между квантовой когерентностью в суперпозиционных квантовых состояниях и порядком связи в методе молекулярных орбиталей, выбранных в виде линейной суперпозиции атомных орбиталей. [c.95]

Согласно квантовой механике система может находиться в состоянии линейной суперпозиции стационарных состояний [c.136]

Тогда как в обычных условиях флуктуация вызывает реакцию системы, которая возвращает ее в невозмущенное состояние, в точке образования новой структуры, напротив, флуктуации растут. Эта идея и лежит в основе классической теории устойчивости, основанной на анализе нормальных мод (см., например, работу [28]). При этом рассматриваются малые возмущения стационарного состояния, которые удовлетворяют линейным динамическим уравнениям. Временная зависимость каждого нормального колебания имеет вид ехр (о/, где (о — вообще говоря, комплексная величина (йг + гшь Тогда условие устойчивости означает, что для каждой нормальной моды [c.10]

Поведение систем в нелинейной области имеет ряд принципиальных отличий в сравнении с областью, где действуют линейные соотношения. Во-первых, в системе перестают быть справедливыми соотношения взаимности Онсагера, появляется анизотропия св-в, даже еслн в равновесном состоянии система изотропна. Во-вторых, в то время как равновесные состояния и стационарные состояния вблизи равновесия описываются в терминах экстремумов нек-рых термодинамич. потенциалов, то в областях, сильно удаленных от равновесия, таких потенциалов найти не удается. В-третьих, если вблизи равновесия описание систем в термодинамике проводится через статистич. средине физ. величины, а флуктуации характеризуют спонтанные отклонения от средних, то вдали от равновесия уже флуктуации определяют значения средних. [c.539]

Возвращение отклонившейся линейной системы в стационарное состояние, близкое к равновесному, происходит экспоненциально, без осцилляций [c.322]

Рассмотрим системы, удаленные от равновесия. Встречаются ситуации трех типов. Во-первых, предположение о локальном равновесии может быть недействительным, т. е. соотношения Онзагера Ьц = Ь,, не выполняются. Во-вторых, локальное равновесие может сохраняться, но свойства системы непрерывно изменяются по мере отклонения от равновесия. В этом случае система сохраняет ряд свойств линейных систем, в частности, остается справедливой теорема о минимуме продукции энтропии в стационарном состоянии. И, наконец, в третьем случае возникает динамический порядок, новые типы организации вещества в пространстве и времени, присущие только открытым, далеким от равновесия системам, именуемым диссипативными системами. [c.327]

Если 0<0, но , 2 — 2 1 = О, т. е. /) = —(а,+ 62) то Х,1 = =0, 2 = а, + Ъг. Один из корней равен нулю. Для линейной системы (15.17) получается не особая точка, но прямая, соответствующая стационарным состояниям, в которую упираются остальные интегральные прямые, направление движения по ним зависит от знака Хз. [c.491]

Это — условие стабильности стационарного состояния. Оно выполняется вблизи состояния равновесия в линейном приближении неравновесной термодинамики. В этом случае система, выведенная из стационарного состояния, возвращается к нему без осцилляций. [c.28]

Решить уравнение Шредингера — значит найти удовлетворяющую ему волновую функцию (г (или амплитуду вероятности), описывающую стационарное состояние системы. Но уравнение (3.7) как дифференциальное линейное уравнение второго порядка в частных производных имеет бесчисленное множество решений. Из них интерес представляют лишь такие решения, для которых найденные значения (плотносюя вероятности) не противоречат физическим представлениям. Поэтому к решениям уравнения (3.7) предъявляют следующие требования. Волг новая функция должна быть конечна, однозначна и непрерьшна. Требование конечности означает, что нигде у и ее квадрат т. е. плотность вероятности, не могут стать бесконечно большими. Однозначность функции означает, что вероятность найти частицу в данном единичном объеме всегда строго определенная, большая или малая, либо равная нулю, но одна. Непрерьтность функции т)/ означает, что нет такого элемента объема, где нельзя определить вероятность нахождения частицы. Эти физические осмысленные требования назьшают требованиями регулярности. [c.13]

Геометрическая иллюстрация достаточных условий единственности стационарного состояния дана на рис. 1.4 для случая двух независимых веществ х, х2) и баланса С = Х +Ж2. Прямая 1 отвечает множеству стационарных состояний линейной системы. Кривые 2 и 3 соответствуют условиям (1.4.11) и (1.4.12). Последнее, в частности означает, что проекция градиента кривой стационарных состояний grad х на вектор нормали т балансной гиперплоскости Y1 = С положитель- [c.80]

Для анализа устойчивости стационарных состояний нелинейной системы линеаризуем ее вблизи точек стацтонарности с помощью соотношений с = с + с , = где с, —значения концентрации и й-го момента плотности функции распределения соответствующие стационарному состоянию системы с", л/—отклонения этих величии от стационарных значений, которые в линейном приближении полагаются малыми. Опуская члены порядка малости больще единицы, получаем систему линейных дифференциальных уравнений [2—4] [c.332]

Нелинейная система уравнений (4.34) для каждого механизма зародышеобразования была линеаризована около стационарного состояния [ о, 1, 2> з]=П>0 1,0 1,0 1,0], и полученная система линейных уравнений использовалась для исследования устойчивости стационарного состояния [20]. Так, на рис. 4.4 указаны границы устойчивости для механизма зародыщеобразования, описываемого соотношением (4.27), когда скорость вторичного зародышеобразования зависит от частоты столкновений кристаллов. Заштрихованная область характеризует зону устойчивости в системе поряд- [c.338]

Вопросы качественной теории уравнений химической кинетики подвергнуты рассмотрению в монографии [194]. В ней исследованы условип множественности стационарных состояний в открытых системах и показано, что необходимым условием существования нескольких решений системы уравнений квазистационарности является наличие в механизме процесса стадии взаимодействип различных промежуточных веществ. В [194] делается попытка выделения структур, ответственных за появление критических эффектов для классических уравнений химической кинетики. Важным свойством структурированных форм является то, что они наглядно представляют, как "собирается"сложный механизм из элементарных стадий. Для линейных механизмов получены структурированные формы стационарных кинетических уравнений. На этой основе могут быть выяснены связи характеристик механизма процесса и наблюдаемых кинетических зависимостей. Показано, что знание механизма процесса и констант равновесия позволяет построить ограничения на нестационарное кинетическое поведение системы, причем эти ограничения оказываются существенно более сильными, чем обычные термодинамические. [c.236]

В определенных случаях нескольким собственным функциям, т. е. нескольким стационарным состояниям, отвечает одно и то же значение энергии. Такие стационарные состояния называют вырожденными состояниями. Число линейно независимых собственных функций у, которым отвечает одно и то же собственное значение Е, называют степенью вырождения. Выражение трехкратное вырождение означает, что данному Е отвечают три собственные функции. У), Уз и Уз аналогично употребляют термины двукратное вырождение и т. п. Чем выше симметрия поля, в котором находится частица (системг , и чем выше симметрия системы, тем чаще встречаются вырожденные состояния и тем выше степень вырождения. [c.14]

В линейных системах, для которых справедливы формулы (6.1), (6.2), стационарному неравновесному состоянию отвечает минимальное значение производства энтропии. В области линейности производство энтропии играет такую же роль, как и термодинамические потенциалы в равновесной термодинамике. Возникновение упорядоченности в стационарном состоянии невозможно, причем в этом состоянии даже любой вид упорядоченности, который можно создать, задав соответствующие начальные условия, раз-рущается. [c.327]

Для решения вопроса, является ли стационарное состояние устойчивым, надо произвести в системе небольшое возмущение — немного изменить величины Хо и Уо, добавив к ним члены, зависящие от времени t, так что A = Xo+ i( f) и У=Уо+У1(/), причем Xq>X и Уо У1. Подстановка возмущенных значений СиУвкине-тические уравнения приводит к линейной системе дифференциальных уравнений, частные решения которой имеют вид функций, содержащих время в показателе, где и — коэффициенты [c.330]

Мы получим общую формулу для автбкорреляционной функции флуктуаций (в приближении линейного шума) для устойчивого стационарного состояния. Отсюда следует, что можно выписать спектр флуктуаций для произвольной системы, не решая никаких специальных уравнений. Этот факт является основой обычной теории шума. [c.247]

Важные результаты получены в линейной теории при исследовании стационарных состояний. Под стаодо-нарным состоянием в Т.н.п. понимается такое состояние системы, к-рое не меняется во времени, но при к-ром, однако, наблюдаются макроскопич. потоки. Условия возникновения стационарных состояний различны для прерывных и непрерывных систем. Для первых возможно задание и поддержание постоянными внеш. сил, для вторых-лишь задание не зависящих от времени граничных условий. Установлено (И. Пригожин, 1947), что стационарные состояния в прерывных системах при данных внеш. силах, препятствующих достижению равновесного состояния, характеризуются минимумом локального произ-ва энтропии ст (теорема Пригожина). В случае непрерывных систем стационарному состоянию отвечает минимум глобального произ-ва энтро1ши Р (принцип миним. произ-ва энтропии) [c.538]

Предстациоиарная кинетика. При быстром смешении р-ров фермента и субстрата в интервале времен 10 -10 с можно наблюдать переходные процессы, предшествующие образованию устойчивого стационарного состояния. В атом предстационарном режиме при использовании большого избытка субстрата ([S]o [E]q) система дифференц. ур-ний, описывающая кинетику процессов, линейна. Решение данного типа системы линейных дифференц. ур-ний дается суммой экспоненциальных членов. Так, для кинетич. схемы, представленной выше, кинетика накопления продукта имеет ввд [c.82]

Как мы увидим дальше, динамический порядок, возникновение динамических структур и их упорядоченное поведение во времени возможны лишь вдали от равновесия. Линейная неравновесная термодинамика, кратко изложенная в этой главе, справедлива лишь вблизи равновесия. Ее основные положения выражаются соотношениями (9.51) и (9.80). Первое описывает сопряжение различных кинетических процессов вследствие отличия недиагональных коэффициентов Ьц 1 ]) от нуля, второе есть математическое выражение теоремы Пригожина о минимуме производства энтропии в стационарном состоянии. Несомненно, что в биологической открыто11 системе реализуются сопряженные процессы. Поэтому общая феноменологическая теория Онзагера — Пригожина позволяет объяснить важные биологические явления. Вопрос о применимости теоремы Пригожина к биологическим системам более сложен. Как мы видели, продукция энтропии а минимальна лишь в тех стационарных состояниях биологических систем, которые близки к равновесию. Эти системы описываются линейными соотношениями (9.51). Но в физике линейная зависимость реакций системы от воздействия, вызвавшего эту реакцию, есть всегда лишь первое приближение, справедливое для малых воздействий. В нашем случае малость означает малое удаление от равновесия. Для рассмотрения биологических систем и их динамической упорядоченности необходимо выйти за пределы линейной термодинамики. [c.327]

Линейная неравновесная термодинамика, развитая Приго-жиным [20] (см. также [22—24]), дает общее объяснение анти-энтропийности биологических процессов, раскрывая возможность существования открытой системы в стационарном, но неравновесном состоянии.. Исследования ряда биофизических явлений, в частности мембранного транспорта, показывают, что соотношения Онзагера (1,29) зачастую в них выполняются [25]. Однако линейная неравновесная термодинамика заведомо неприменима к рассмотрению онтогенеза и филогенеза, к процессам возникновения организованных структур из неорганизованных, к периодическим процесса . Биология требует нелинейной термодинамики. В биологии мы встречаемся с ситуациями, далекими от равновесия, в которых стационарные состояния могут быть неустойчивыми, т. е. условие (1,43) может не соблюдаться. [c.28]

Объединяя кинетические уравнения, соответствующие описанному выше механизму, с классическими гидродинамическими граничными условиями (3), (9) и (10), из линейного анализа возмуцеаий получаем, что для чисто химической системы имеются многочисленные стационарные состояния, разделенные проыежуто ми неустойчивыми состояниями. При некоторых значениях величин, характеризующих прилоквннце воздействия, выведенная из равновесия система претерпевает фазовые переходы мевду устойчивыми стационарны-т состояниями, что может вызвать возникновение конвективного движения в слое. После перехода через порог неустойчивости сис- [c.67]