Процессы авторегрессии спектры

В разд 6 1 говорится о том, что классический анализ Фурье не применим к временным рядам Так, оценка спектра, полученная по формулам анализа Фурье, а именно выборочный спектр, обладает тем нежелательным свойством, что ее дисперсия не уменьщается при увеличении длины временного ряда Поэтому для временных рядов методы гл 2 нужно видоизменить В результате мы приходим в разд 6 2 к такому определению спектра, которое подходит для случайных процессов В этом разделе рассматриваются также спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.255]

Рис 62 Выборочный спектр для реализации процесса авторегрессии второго [c.260]

Рис. 7 8 Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (01 = 1,0, аг = —0,5, Л = 50).

Некоторые примеры Для выяснения вопроса о том, какую информацию содержат спектры, на рис. 6 4 и 6.5 показаны теоретические спектры (спектральные плотности) процессов авторегрессии [c.264]

Спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.275]

Рнс 67 Область устойчивости и классификация спектров для дискретных процессов авторегрессии второго порядка [c.278]

Таким образом, для двух оценок, соответствующих окнам с одинаковой шириной полосы частот, и дисперсия, и смещение приблизительно одни и те же Отсюда следует, что если два спектральных окна имеют приемлемую форму и одну и ту же щирину полосы частот, то соответствующие им выборочные оценки спектра должны быть очень похожи. На рис 7 11 как раз проделано такое сравнение окон Тьюки и Парзена для реализации процесса авторегрессии первого порядка с а1 = —0,9 и Л/=100 Сплошная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при = 32, а крестики — выборочную оценку Парзена при = 45 Аналогично пунктирная линия обозначает выборочную оценку Тьюки при = 8, а сплошные кружки — выборочную оценку Парзена при =12. Согласие при этом столь велико, что можно без опасения утверждать, что при использовании одного из этих окон вместо другого мы не упустили бы ни одной важной особенности спектра Следовательно, эмпирические результаты этого раздела показывают, что важным вопросом в практическом спектральном анализе является выбор ширины полосы частот, а не выбор формы окна Эти вопросы мы обсудим полнее в разд 7 2 4 и 7 2 5 [c.23]

Р и с 71 Сглаженная выборочная оценка нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (<Х1 = 1,0, = —0,5) с помощью окна Бартлетта [c.10]

В этом разделе эмпирически исследуется влияние изменения полосы частот, или, что эквивалентно, точки отсечения на сглаживание выборочной спектральной оценки Временные ряды, которыми мы будем пользоваться, являются реализациями процессов авторегрессии первого и второго порядков с известным спектром Вычисляются средний сглаженный нормированный спектр [c.12]

Рис. 7 2 Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии первого порядка ( I = —0,4)

Рис 73. Сглаженные выборочные сценки нормированного спектра процесса авторегрессии первого порядка (а) = —0,4, N = 400). [c.14]

Рис 7 4 Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии первого порядка (а1 = —0,4, N = 100) [c.15]

Рис 7 7 Средние сглаженные нормированные спектры для процесса авторегрессии второго порядка ( 1 = 1,0, аз = —0,5). [c.18]

Рис 7 9 Сглаженные выборочные оценки нормированного спектра процесса авторегрессии второго порядка (О] = 1,0, з = —0,5, N = 400) [c.20]

Для вычисления средних сглаженных нормированных спектров был использован процесс авторегрессии первого порядка (7 18). Эти спектры соответствовали корреляционным окнам Шв, Ют и ги)р при фиксированных значениях точки отсечения и обозначались Т 1о1, Гт./сг и Г ,/ст . Такие спектры показаны на рис. 7 10 вместе с теоретическим нормированным спектром Г (/)/ог . Все сглаженные спектры получены при значении точки отсечения Ь, равном 12 [c.21]

Малая степень искажения. Рассмотрим сначала на рис. 7 2 график функции Г.УА (/) для процесса авторегрессии первого порядка с СС1 = —0,4 С помощью окна Тьюки можно получить малую степень искажения для частот, меньших 0,375 гц, если взять точку отсечения = 8, т е ширину полосы частот окна 6 = 1,33/8 = = 0,167 гц Истинный спектр имеет широкий пик с центром на частоте / = 0,5 гц, и, чтобы получить сравнимую степень искажения в окрестности / = 0,5 гц, нужно взять точку отсечения I = 16, т е 6 = 0,083 гц [c.27]

Иногда можно стянуть полосу частот настолько, что большинство существенных деталей выявится до того, как мы дойдем до неустойчивости В этом случае, начиная с некоторого момента, не должно происходить существенных изменений в спектре, несмотря на дальнейшее заметное уменьшение полосы частот Такой благоприятный случай показан на рис 7 3, где изображены выборочные спектральные оценки процесса авторегрессии первого порядка. Видно, что при уменьшении полосы частот в 4 раза (что соответствует изменению от 4 до 16) происходят лишь незначительные изменения формы спектра Можно считать, что удовлетворительная выборочная оценка спектра в интервале частот от О до 0,375 гц получается при = 8, однако в окрестности пика требуется большее значение , скажем = 12 [c.32]

Следует отметить, что этот спектр похож на спектр искусственного процесса авторегрессии первого порядка с 1 = —0,4 и Л/ = = 100, показанный на рис 7 4 Очевидно, что полоса частот, соответствующая = 4, слишком широка для того, чтобы выявить какие-нибудь детали в спектре, но изменения при переходе от = 8 к = 16 показывают, чго спектр очень плавный и что нет смысла стягивать окно еще больше Несмотря на то что N мало, можно [c.45]

Рис 89 Теоретический спектр когерентности двумерного процесса авторегрессии (8 1 20). [c.117]

Рис 8 10 Теоретический фазовый спектр двумерного процесса авторегрессии [c.118]

Рис. 9 4, Сглаженные выборочные оценки спектра когерентности двух некоррелированных процессов авторегрессии первого порядка

Рис 9 10 Сглаженные выборочные оценки фазового спектра двумерного процесса авторегрессии (8 1 20) (Л = 100) [c.153]

В разд 11 1 некоторые из понятий, применявшихся в анализе одномерных и двумерных рядов, заново формулируются в терминах теории матриц В частности, дается определение матрицы ковариаций временного ряда и показывается, что спектр тесно связан с ее собственными числами В разд 11 2 вводится многомерная линейная система Линейный многомерный процесс определяется как выход такой системы, когда на ее входы поступают несколько некоррелированных белых шумов Важными частными случаями многомерных линейных процессов являются двумерные процессы авторегрессии и скользящего среднего [c.222]

Гл 5 содержит некоторые элементарные понятия теории случайных процессов, такие, например, как стационарность, автокорреляционная функция и понятие о процессе скользящего среднего — авторегрессий Изложены и проиллюстрированы примерами методы оценки автокорреляционных функций и параметров линейных процессов В гл 6 понятия анализа Фурье и теории случайных процессов объединяются для получения способа описания стационарного случайного процесса с помощью его спектра Показано, как должны быть модифицированы методы анализа Фурье для того, чтобы оценить спектр процесса по реализации конечной длины Затем выводятся выборочные свойства спектральных оценок и вво [c.10]

На рис 6 6 показан процесс авторегрессии второго порядка. Как указывалось в разд. 5.2.4, соответствующий временной ряд является квазипериодическим со средним периодом около 8 сек Корреляционная функция отражает это периодическое поведение, она представляет собой затухающую синусоидальную волну с периодом 8 сек Соответствующий этому случаю спектр имеет пик на частоте /о = 0,125 гц Так как процесс А (/) не является точно периодическим, его спектр не сосредоточен на единственной частоте /о = 0,125 гц, но рассеян по всем частотам в диапазоне —0,5 0,5 гц Впрочем, большая часть мощности сосредото-, чена вблизи частоты /о = 0,125 гц. [c.268]

Б некоторык случаях выясняется, что выборочная оценка спектра не сходится ни в каком смысле к устойчивому значению. Пример такой ситуации изображен на рис 7 8, где показаны выборочные оценки спектра процесса авторегрессии, сосчитанные по /V = 50 членам Выборочная оценка при 1 = 8 сравнительно плавная, однако невозможно понять, вызваны ли существенные изменения в спектре при переходе от = 8 к = 24 неусгойчивостью или же выявлением новых деталей спектра. Поэтому, вероятно, следовало бы считать, что выборочная оценка при 1 = 8 показывает крупные детали спектра, но для выявления более тонких деталей требуются более длинные ряды Заметим, впрочем, что выборочная оценка спектра при = 8 содержит много полезной информации, [c.32]

Два независимых процесса авторегрессии первого порядка (а, = —0,9). Первыми процессами, которые мы рассмотрим, явля-ляются два независимых процесса авторегрессии первого порядка с 1 = —0,9, = 100 Взаимную корреляционную функцию этих процессов мы оценивали в разд 82 1 Теоретический и средний сглаженный спектры когерентности этого двумерного процесса тождественно раины нулю, а теоретический фазовый спектр не определен Поэтому мы не будем сравнивать теоретический п средние сглаженные спектры Основная цель этого примера — сравнить теоретический спектр когерентности, который тождественно равен нулю, с выборочными оценками когерентности для реализаций двух рядов по 100 членов в каждой На рис 9 4 показаны сглаженные выборочные оценки спектра когерентности при I = 4, 8, 16 и 40 [c.147]

Равенство (9 3 22) показывает, что, даже если теоретическии взаим-нь[й спектр равен нулю, средний сглаженный спектр когерентности может быть очень больгним Этим объясняются показанные на рис 9 5 большие значенпя выборочных оценок когерентности для двух независимых процессов авторегрессии первого порядка, обсуждавшихся в разд 8 2 Например, прп L = 40 [c.158]

Параметрические и непараметрические модели. Модель скольд,я-щего среднего — авторегрессии (12 9) является параметрической моделью Чтобы подобрать такую модель, нужно оценить по наблюдаемым данным небольшой набор параметров С другой стороны, описание временного ряда, даваемое автокорреляционной функцией или спектром, является непараметрическим (или многопараметрическим, так как для того, чтобы задать весь процесс, требуется действительно бесконечное число параметров) [c.26]

В этом разделе вычисляются выборочные оценки спектров для искусственных временных рядов. Это сделано для того, чтобы читатель приобрел опыт в интерпретации выборочных спектральных оценок. В разд. 7.1.1 даются формулы, непосредственно пригодные для вычисления на цифровых машинах выборочных сглаженных спектральных оценок, а также приводятся результаты вычислений выборочных характеристик. Затем в разд. 7.1.2 проиллюстрировано влияние изменения точки отсечения корреляционной функции на спектр. Для этого функция rxj (/) сравнивается с Txx(f) и xxif) с Гл (/) в случае, когда процесс является авторегрессией первого или второго порядка. Чтобы подготовить приведенное в разд. 7.2 [c.7]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология