Реакционные графы

Реакционный граф g определяется семейством С в качестве -множества вершин [127, 131] [c.103]

Многие из обсуждаемых в химической литературе реакционных графов являются примерами графов, которые ряд специалистов по теории групп называют суборбитальными графами. Рассматривая их в этом аспекте, мы можем получить некоторую информацию о группах автоморфизмов графов. [c.288]

В настоящей статье мы покажем, что многие реакционные графы являются примерами графов, называемых некоторыми специалистами по теории групп суборбитальными графами (а другими авторами — орбитальными или окрашенными графами), и это позволит нам сделать вывод, что группа автоморфизмов имеет по крайней мере конечную размерность. Перед тем как перейти к описанию суборбитальных графов, мы рассмотрим некоторые результаты из литературы по теории графов (см. разд. 2) и затем ряд примеров реакционных графов, для которых довольно легко получить группу автоморфизмов (разд. 3)а [c.288]

Конечный продукт псевдовращения Берри — бипирамида с помеченными верщинами, в которой прежние аксиальные метки поменяли свои положения с двумя прежними экваториальными метками. Это и будет нащим правилом перегруппировки. Группа автоморфизмов бипирамиды (известная химикам как и математикам как X j или расширенная группа треугольника [2, 2, 3]) содержит 12 элементов. Следовательно, реакционный граф имеет 5 /12 = 10 верщин. Удачная нумерация вершин часто оказывается весьма полезной для понимания структуры графа. В данном случае мы рассматриваем действие группы полной симметрии на бипирамиду, включая отражения (поэтому мы рассматриваем энантиомеры как эквивалентные), а значит, нам необходимо лишь указать, какие два из пяти лигандов являются аксиальными для того, чтобы полностью описать изомер. Легко видеть, что реакционный граф Г в данном случае является как раз графом Петерсена, помеченным так, как показано на рис. 5, причем вершина ij соответствует изомеру с аксиальными лигандами и L . Поскольку граф Петерсена — это дополнение линейного графа L(K ), из теоремы (разд. 2) следует, что aut Г изоморфен aut и является симметрической группой S5. [c.293]

В каждом из ранее приведенных примеров применяемые нами обозначения для вершин реакционного графа имели три преимущества очень просто были связаны с исходным помеченным графом, давали простое правило для построения реакционного графа и содействовали определению группы автоморфизмов реакционного графа. Рассмотрим теперь другой пример из приведенных Балабаном [c.296]

На рис. 18 показан реакционный граф в одной из его форм, изображенных Балабаном, но с обозначениями, предложенными Ллойдом [12]. Эти обозначения нелегко соотнести с исходными обозначениями для октаэдра, но правило построена реакционного графа точно такое же, как и для графа Петерсена, за исключением того, что пары символов /у выбираются теперь из ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 вместо (1, 2, 3, 4, 5). Действительно, на рис. 18 показан именно граф [c.297]

В каждом из примеров 1—4 группой автоморфизмов реакционного графа является симметрическая группа, где п — число меток в исходном графе. Это не всегда так, хотя, как мы объясним в разд. 4, группа автоморфизмов всегда будет содержать. Однако [c.297]

В качестве другого примера мы покажем, как таким путем получить реакционный граф Г (см. рис. 14). Используем в качестве а граф Е, показанный на рис. 1, и пусть G будет группой Sj, действующей на класс изоморфизма ii = П .. Тогда ii . содержит граф F (рис. 23), изоморфный Е при перестановке g = (12)(35) е Sj (среди других) или, что эквивалентно, при 1,2-сдвиге. При стабилизаторе точки G = aut Е четырехэлементная группа F отображается в графы, показанные на рис. 24. Таким образом, F лежит на G -орбите размерности 4, поэтому, если Г — соответствующий суборбитальный граф [с орбитой множества ребер Д группы S , содержащей Е, F)], Г имеет внешнюю валентность 4. Теперь перестановка [c.300]

В более общем случае мы можем принять G = S . Эта группа действует на класс изоморфизма данного графа Е с п вершинами. Выбирая перегруппированный граф F = Е, мы получаем суборбитальный граф Г (направленный или ненаправленный) с множеством вершин это реакционный граф, соответствующий преобразованию Е F, VI, согласно общим свойствам суборбитальных графов, описанных выше, aut Г содержит группу S , так что Г транзитивен по верщинам и ребрам. [c.301]

Представляет интерес один вопрос при каких обстоятельствах реакционный граф является связным Мы не можем дать полный ответ на этот вопрос, но в литературе имеются результаты, дающие некоторую информацию. [c.301]

В нашем случае имеем G =. Эта группа действует на fi = fi при G = aut E, следовательно, все реакционные графы Г- (/ Ф 0) будут связными, если и только если aut Е — максимальная подгруппа группы S . Если Е — граф, изображенный на рис. 1, то aut фиксирует вершину 1, поэтому aut < S < (где < означает соответствующую подгруппу данной группы) и aut Е не является максимальной подгруппой, из чего следует, что Е имеет по крайней мере один реакционный граф Г, (/ Ф 0), который не является связным. Мы уже отмечали это, поскольку реакционный граф для 1,3-сдвигов (разд. 3, пример 5) не был связным. Тем не менее существует много графов Е, для которых aut — максимальная подгруппа группы S , следовательно. Г, — связный граф для всех / Ф 0 например, если Е — линейный граф Z.(A, ), где т — нечетное число и равно по меньшей мере 7, то aut (= S, ) — максимальная подгруппа группы S , где п = ( /1)т т — 1) [14, 15]. Аналогично если — полный двудольный граф то aut — [c.302]

Нами показано, что некоторые реакционные графы, встречающиеся в химической литературе, являются примерами графов, известных специалистам по теории групп как суборбитальные графы. В настоящей статье мы ограничились рассмотрением особых типов реакционных графов — графов, в которых перегруппировки исходного графа приводят к изоморфному графу (вырожденные перегруппировки), и нами всегда допускалось, что на исходный граф действует группа полной симметрии. Основываясь на общих свойствах суборбитальных графов, мы пришли к выводу, что группа автоморфизмов такого реакционного графа всегда содержит симметрическую группу, и рассмотрели условия, при которых реакционный граф является связным. Вероятно, существуют другие результаты исследований суборбитальных графов, которые могли бы быть приме- [c.302]

Исследование этого вопроса мы начнем с понятия молекулярного реакционного графа [1—4], и в частности бинарных отношений, определенных для этого графа, т. е. объединения U, пересечения [c.445]

Для Д(М) = 1 существуют три возможных реакционных графа, допускающие три различные интерпретации химического термина молекула или вещество (рис. 7). [c.452]

Граф (0, 1) имеет огромное значение для анализа реакщюнных механизмов и для планирования синтеза, так как является простейшим графом, включающим все стабильные молекулы (Х , = 0) и все структуры переходных состояний (X = 1). Отметим, что при спещ1-альном выборе Х = - 1 и X = л получают исходный реакционный граф g [c.103]

Реакционные графы, введенные впервые в 1966 г. Балабаном и сотр. [1], упоминаются во многих статьях. Позднее был проявлен интерес, в особенности в работах Рандича [2—6], к нахождению их групп автоморфизмов. В общем случае определение группы автоморфизмов — трудная задача. Рандичем получен алгоритм, который, по-видимому, полезен для нахождения числа автоморфизмов, а Мак-Кеем [7] представлен алгоритм для нахождения группы автоморфизмов в виде набора менее чем п генераторов, где п — число верщин графа. Утверждается, что последний алгоритм достаточно экономичен по расходу времени и пределы его применимости простираются до графов с более чем тысячью вершинами. [c.288]

Ниже мы приведем несколько примеров реакционных графов. В каждом случае мы начинаем с небольшого, графа В, который имеет п вершин, помеченных 1,2,. .., (а в одном случае граф В имеет также несколько дополнительных непомеченных вершин). Сушест-вует также правило перегруппировки, согласно которому мы можем применять некоторые перестановки к меткам вершин. Две нумерации графа В считаются эквивалентными, если автоморфизм графа В превращает одну нумерацию в другую. (В более общем случае мы, возможно, захотим рассмотреть эквивалентность для соответствующей подгруппы aut В.) Для данного правила перегруппировки реакционный граф В — это граф Г, вершины которого соответствуют различным неэквивалентным нумерациям графа Вив котором имеется направленное ребро, связывающее вершину а с вершиной , если и только если вершина может быть получена из а при применении правила перегруппировки только один раз. Фактически во всех рассматриваемых нами примерах перегруппировки обратимы, так что вместо пар направленных ребер <> мы будем использовать ненаправленные ребра — . Поскольку мы имеем п различных меток, легко рассчитать число вершин графа Г оно равно п / злх1 В , где Х обозначает число элементов в множестве X. На первый взгляд можно предположить существование простой взаимосвязи между aut В и aut Г однако это не так. Как мы увидим, aut Г часто является группой 5 всех перестановок множества N = (1,2,. ..,я],ив разд. 3 мы покажем, что aut Г всегда содержит S. [c.291]

Для графа, изображенного на рис. 13, Балабан использовал обозначение 1,45, указывающее вершину типа ф и вершины типа . Рандич [4] стал бы использовать обозначение 1I23I45 (в действительности он использовал буквы а Ьс с1е, а не цифры), но мы предпочтем обозначение 1123, которое указывает вершины типа фи типа . Сдвиг, показанный на рис. 13, превращает 1123 в 2115, но существуют три других возможных выбора ребер для сдвига, приво-,дящих соответственно к 2114, 3114 и 3115. В нашем обозначении правило соединения вершин в реакционном графе следующее ]к соединена с /1т/7, если и только если 1) все вершины ], к, т ч п различны и 2) среди /, j, к, I, т п существует только четыре различных символа. [c.295]

Правило 1 является как раз тем, с которым мы встретились в примерах 1 и 2, и, таким образом, мы можем предположить существование связи между графом Петерсена и реакционным графом гомотетраэдранильного катиона. Последний граф имеет 5 /4 = 30 вершин и показан на рис. 14. Отображая каждую вершину ]к графа, показанного на рис. 14, в вершину Jk графа, изображенного на рис. 5, мы устанавливаем гомоморфизм между двумя этими графами. [c.295]

РИС. 1. Взаимно однозначное отображение реакционных графов на дискретную топологию множества мощности Р(М) сМ = 1, 2, 3 . Чтобы различать ребра5 и О, используются соответственно жирные и тонкие линии. [c.447]

РИС. II. Горизонтальная сумма двух немеханистических , но булевых реакционных решеток, как показано на рис. 4, образующих ортодополнительное ч.у.м. В этом случае сочленение осуществляется у графов статического графа 5, динамического графа ), молекулярного реакционного графа М и графа Ф , в котором ребра отсутствуют. Они являются общими для обеих булевых подрешеток. [c.455]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология