Группа автоморфизмов

Этот результат уже использовался нами в примерах, рассмотренных в разд. 3, поэтому теперь мы применим его к другому случаю. Балабан [10] рассчитал число неэквивалентных обозначений гомокубанильного катиона (рис. 19), используя несколько сложные аргументы, и получил ответ 45 630 (нет сомнения, что здесь была опечатка, так как 45 360 = 9 /8). Правильный ответ 9 /4 = 90720, поскольку этот граф имеет только четыре автоморфизма. Легче всего это увидеть, если перерисовать граф, как показано на рис. 20, и заметить, что любой автоморфизм должен фиксировать вершину 1. Таким образом, группа автоморфизмов изоморфна той подгруппе группы симметрии кубана, которая фиксирует ребро 29, показанное на рис. 21. Имеются четыре такие операции симметрии идентичность, вращение (29)(36)(47)(58) и отражения (29)(38)(47)(56) и (35)(68). [c.299]

Рис. 1.18. Модели жестких мономеров, представленные тетраэдром и кубом (а). Молекулярный граф (б), изображающий три стереоизомера (в). Соотношение (г) между порядками групп автоморфизмов мономеров и молекул выражает принцип инвариантности (1.24).

Обратно пропорциональная зависимость (1.5) числа РГ(/, д различных способов сборки изомера и порядка его" группы автоморфизмов может быть установлена также другим часто используемым теоретико-графовым способом, основанным на мечении графов. Для этого занумеруем I мономерных звеньев числами от 1 до I, а группы — от 1 до / отдельно для каждого мономера (рис. 1.7). Каждому способу образования определенного I, 9)-изомера из этих мономеров отвечает некоторая нумерация вершин и насечек молекулярного графа. Общее число способов расстановки меток равно Л (/ ), но среди них встречаются одинаковые, которые приводят к [c.157]

I в простейшем случае можно положить энергии всех связей одинаковыми. Тогда суммарная концентрация с(1) молекул заданного состава, пропорциональная сумме обратных порядков групп автоморфизмов ( (1, д)) сведется, согласно (1.21), к перечислению упорядоченных деревьев с заданным распределением типов вершин. Перечислительная п. ф. деревьев с I, вершинами типа V представляется (рис. 1.16) как [c.167]

Для пояснения этого заметим, что группа возможных поворотов стереоизомера г в пространстве, порядок которой мы обозначим через Я , д, г), является подгруппой группы автоморфизмов молекулярного графа [44]. Если его подставить вместо 9 1, д) в формулу (1.5), то получится выражение для суммы концентраций с(1, д, г) по всем стереоизомерам г, изображаемым одним и тем же молекулярным графом (1, д). Сведение этой суммы к виду (1.7) оказывается возможным благодаря математической формулировке принципа инвариантности [1, 43] (рис. 1.18) [c.169]

Здесь v = /v и 52, обозначают порядки групп автоморфизмов мономера v-гo типа соответственно в его графовом и трехмерном представлениях. Например, дйя пентаэритрита (см. рис. 1.17, б, в) /пэ = = 4 и пэ = 4-3, поскольку, помимо четырех способов выбора одной из его функциональных грунн в качестве вершины тетраэдра, при каждом из этих способов возможны три поворота основания на угол 120 . [c.169]

Рас. Ill.e. Представители простейших топологий с изображенными эффективными группами на примере четырехфункционального (/ = 4) мономера и порядки их групп автоморфизмов. [c.222]

В разд. 1.4 было показано, что с помощью формул, связывающих число упорядоченных деревьев с порядками их групп автоморфизмов, суммирование по всем молекулам сводится к сумме ио типам мономерных звеньев (1.22), т. е. в нашем случае по типам (г, t, 1) циклов. Это напоминает переход от связных диаграмм к их неприводимым частям, называемым блоками [47], в известной в теории неидеальных газов 2-й теореме Майера [168, 169]. Действительно, при вариационном дифференцировании ПФ Ч (III.24) в качестве корня, расположенного в точке г, выбираются последовательно все узлы молекулярного графа, а по координатам остальных вершин производится интегрирование. Каждый из узлов принадлежит определенному циклу г, t, I), изображение которого становится корнем листовой композиции. Поскольку в вершину заданного типа могут стягиваться циклы, топологически по-разно-му связанные со своими соседями (рис. III.7), то одна и та же листовая композиция изображает, вообще говоря, различные изомеры, каждый из которых входит в сумму (III.24) со своим мно- [c.223]

ИХ графические аналоги, изображенные на рис. 111.12, а, б, в соответственно. Гомеоморфные графы, имея одинаковую топологию (г, I), различаются между собой только вектором 1, т. е. числом бифункциональных вершин (звеньев с двумя прореагировавшими группами) в сс-м ребре (см. разд. П1.5). Прибавление каждой такой вершины в линейную цепочку, заменяющую ребро элементарного представителя (см. рис. 1П.5 1П.12), увеличивает порядок его группы автоморфизмов в (/ — 2) раз за счет перестановки появляющихся при этом висячих вершин. Степень п множителя Р.МЬ) в формуле (111.38) увеличивается на единицу, а в функции Хгп при такой процедуре вместо произведения одной из б-функций б(Гц —г ), отвечающей связи на счетчик 5е(г ) этой [c.235]

III.99) — (III.101) и определению Хгц, с учетом разницы в [(/—2) ] раз между порядками групп автоморфизмов (гЯ) и (rtO) вклад циклов топологии (г, t) размера п будет [c.245]

Говорят, что перестановка вершин графа принадлежит к его группе симметрии (или группе автоморфизмов), если перестановочная матрица Р этой перестановки удовлетворяет соотношению [c.281]

ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ НЕКОТОРЫХ ХИМИЧЕСКИХ ГРАФОВ [c.288]

Многие из обсуждаемых в химической литературе реакционных графов являются примерами графов, которые ряд специалистов по теории групп называют суборбитальными графами. Рассматривая их в этом аспекте, мы можем получить некоторую информацию о группах автоморфизмов графов. [c.288]

В настоящей статье мы покажем, что многие реакционные графы являются примерами графов, называемых некоторыми специалистами по теории групп суборбитальными графами (а другими авторами — орбитальными или окрашенными графами), и это позволит нам сделать вывод, что группа автоморфизмов имеет по крайней мере конечную размерность. Перед тем как перейти к описанию суборбитальных графов, мы рассмотрим некоторые результаты из литературы по теории графов (см. разд. 2) и затем ряд примеров реакционных графов, для которых довольно легко получить группу автоморфизмов (разд. 3)а [c.288]

Группы автоморфизмов химических графов [c.291]

Конечный продукт псевдовращения Берри — бипирамида с помеченными верщинами, в которой прежние аксиальные метки поменяли свои положения с двумя прежними экваториальными метками. Это и будет нащим правилом перегруппировки. Группа автоморфизмов бипирамиды (известная химикам как и математикам как X j или расширенная группа треугольника [2, 2, 3]) содержит 12 элементов. Следовательно, реакционный граф имеет 5 /12 = 10 верщин. Удачная нумерация вершин часто оказывается весьма полезной для понимания структуры графа. В данном случае мы рассматриваем действие группы полной симметрии на бипирамиду, включая отражения (поэтому мы рассматриваем энантиомеры как эквивалентные), а значит, нам необходимо лишь указать, какие два из пяти лигандов являются аксиальными для того, чтобы полностью описать изомер. Легко видеть, что реакционный граф Г в данном случае является как раз графом Петерсена, помеченным так, как показано на рис. 5, причем вершина ij соответствует изомеру с аксиальными лигандами и L . Поскольку граф Петерсена — это дополнение линейного графа L(K ), из теоремы (разд. 2) следует, что aut Г изоморфен aut и является симметрической группой S5. [c.293]

В каждом из ранее приведенных примеров применяемые нами обозначения для вершин реакционного графа имели три преимущества очень просто были связаны с исходным помеченным графом, давали простое правило для построения реакционного графа и содействовали определению группы автоморфизмов реакционного графа. Рассмотрим теперь другой пример из приведенных Балабаном [c.296]

В каждом из примеров 1—4 группой автоморфизмов реакционного графа является симметрическая группа, где п — число меток в исходном графе. Это не всегда так, хотя, как мы объясним в разд. 4, группа автоморфизмов всегда будет содержать. Однако [c.297]

Нами показано, что некоторые реакционные графы, встречающиеся в химической литературе, являются примерами графов, известных специалистам по теории групп как суборбитальные графы. В настоящей статье мы ограничились рассмотрением особых типов реакционных графов — графов, в которых перегруппировки исходного графа приводят к изоморфному графу (вырожденные перегруппировки), и нами всегда допускалось, что на исходный граф действует группа полной симметрии. Основываясь на общих свойствах суборбитальных графов, мы пришли к выводу, что группа автоморфизмов такого реакционного графа всегда содержит симметрическую группу, и рассмотрели условия, при которых реакционный граф является связным. Вероятно, существуют другие результаты исследований суборбитальных графов, которые могли бы быть приме- [c.302]

Измеримые реализации групп автоморфизмов и 11Н гральные представления положительных операторов // Сиб. мат. журн.— 1987. 28, № 1.— С. 52—60. [c.661]

Чтобы найти концентрацию с 1) всех молекул степени поли-мерпзации I, т. е. ММР, необходимо просуммировать слагаемые (1.7) со всеми возможными q. Возникающее при этом суммирование обратных порядков групп автоморфизмов можно свести к известной задаче перечисления корневых упорядоченных деревьев. [c.158]

Здесь ff i обозначает порядок группы автоморфизмов нестянутого молекулярного графа -го изомера, а в знаменателе фигурной скобки стоит порядок группы автоморфизмов изолированного цикла. Сомножители 2, ге и [(/ 2) ]" отвечают соответственно зеркальному отражению цикла, его поворотам и перестановкам не образовавших циклических связей функциональных групп каждого из п звеньев цикла. Далее соотношение (1.21) приводит к перечислению упорядоченных деревьев заданного состава. После перенормировки перечислительной п, ф. (1.22) таких деревьев мы приходим к вероятностной п. ф. распределения молекул по числу в них циклов различного размера, которая может быть интерпретирована с точки зрения ветвящихся процессов [48, 49]. Само распределение впервые было найдено в работе [50] прямым комбинаторным вычислением чпсла способов сборки молекул с заданным вектором циклов. Такой метод, в отличие от только что описанного, более утомителен и труднее поддается обобщению на случай многокомпонентных систем. [c.172]

Это соотношение одпозначпо связывает числа с ( /, ,) некорневых /с-ад с вероятностями Р С/, , соответствующих им упорядоченных последовательностей. Величины О (к, д), 0 к, д), а к, д), являются топологическими характеристиками /с-ады (С/, ,), в то время как множитель, , б (одинаковый для всех классов эквивалентности с равными степенями корня) отражает индивидуальность конфигурационной структуры набора макромолекул конкретного полимерного образца. Числа О к, д), В к, д) для последовательностей малого размера достаточно просто определить простым перебором, а для больших к можно воспользоваться результатом работы [154], в которой описывается строение группы автоморфизмов дерева и фактически содержится алгоритм вычисления ее порядка. [c.203]

Суммирование здесь проводится по всем молекулярным графам, которые изображаются одной и той же листовой композицией, имеющей rrir,t,i вершин типа (г, t, 1). Порядок группы автоморфизмов 9 т, q ) этой листовой композиции выражается формулой (1.21) через число отвечающих ей корневых упорядоченных деревьев. Такпм образом задача построения пространственной меры циклических молекул сводится к перечислению деревьев со многими типами вершин. [c.224]

Особого рассмотрения требует суммирование простых цикло1 (г=1), поскольку порядок 9(1, тг) = 2ге[(/—2) ]" группы автоморфизмов такого цикла, состоящего пз п звеньев, содержит множитель п. Это ирнводит к тому, что Фурье-образ суммы функциопаль-пого ряда в случае г = 1 будет иметь вид [c.236]

Из рассмотренного выше очевидно, что мера сложности структуры зависит как от способа, согласно которому множество А было получено из структуры, так и от используемого для разбиения соотношения эквивалентности. Для данной химической структуры классы эквивалентности, полученные при разбиении множества вершин графов со стертыми атомами водорода, будут отличаться от непересекающихся подмножеств, полученных из множества вершин целого (без удаления атомов водорода) молекулярного графа. Ра-шевский [29], Трукко [30] и Мовшович [31] рассчитали информационное содержание графов со стертыми атомами водорода, в которых топологически эквивалентные вершины (т. е. вершины, составляющие орбиты группы автоморфизмов) размещались в одном и том же подмножестве. Кайер [32] рассчитал информационное содержание целого молекулярного графа, в котором множество его вершин было разбито на классы эквивалентности на основе операций симметрии и экспериментальных данных спектроскопии ЯМР. Эквивалентность вершин на основании геометрической группы симметрии, порядок расстояний в матрице расстояний и распределение связок ( onne tions), определенных как число пар смежных ребер, также использовались авторами в качестве критериев для определения соотношения эквивалентности на множестве вершин [3, 33, 34]. [c.211]

Реакционные графы, введенные впервые в 1966 г. Балабаном и сотр. [1], упоминаются во многих статьях. Позднее был проявлен интерес, в особенности в работах Рандича [2—6], к нахождению их групп автоморфизмов. В общем случае определение группы автоморфизмов — трудная задача. Рандичем получен алгоритм, который, по-видимому, полезен для нахождения числа автоморфизмов, а Мак-Кеем [7] представлен алгоритм для нахождения группы автоморфизмов в виде набора менее чем п генераторов, где п — число верщин графа. Утверждается, что последний алгоритм достаточно экономичен по расходу времени и пределы его применимости простираются до графов с более чем тысячью вершинами. [c.288]

Полный граф имеет п вершин, каждая пара которых соедйне-на ребром граф показан на рис. 2. Ясно, что группой автоморфизмов графа является симметрическая группа S всех перестановок множества (1, 2,. .., п. [c.289]

Граф Г , содержит 15 цепей длины 4, и гомоморфизм стягивает каждую такую цепь в ребро в графе Петерсена (рис. 15). Гомоморфизм был определен Рандичем [4], но, поскольку им были просто пронумерованы вершины от 1 до 30 и в графе Петерсена — от 1 до 10, он представил соответствие в виде таблицы, и в результате простота стягивания оказалась в его статье до некоторой степени скрытой. Наше обозначение позволяет нам увидеть, что каждый элемент группы 5, индуцирует автоморфизм графа с 30 вершинами (поскольку каждая операция 6 5 переставляет вершины /1]к и сохраняет смежность, как определено выше правилами I и 2), но мы не можем сразу же прийти к выводу об отсутствии иных автоморфизмов. Тем не менее Рандич [4], применив свой алгоритм к этому графу, пришел к выводу, что порядок группы автоморфизмов равен 120, и, поскольку это также порядок 8 , следовательно, полной группой автоморфизмов является 5 . [c.296]

S , если и только если некоторая перестановка g множества вершин N переводит множество ребер Е з множество ребер Е такие перестановки g являются как раз изоморфизмами Е F, поэтому орбита flf, содержащая является классом изоморфизма , состоящим из всех графов F = Е. (Другими словами, F = Е, если FuE становятся идечтичнь[ми, когда метки вершин не учитываются.) Приняв F = Е, видим, что стабилизатор Е в является как раз группой автоморфизмов aut Е, состоящей из всех изоморфизмов Е с самим собой. Применяя теорему об орбитальном стабилизаторе, мы в таком случае получаем, что 1/1 aut fl = /laut fl. [c.299]

Для примера рассмотрим сросток и два характеризующих его графа (см. рис. 2). Треугольник является А графом наблюдаемого сростка. Пунктиром показан А-граф сростка, отличающегося от наблюдаемого лишь отсутствием искривления нитевидных кристаллов. Трактуя группы автоморфизмов этих графов как группы специального вида неизометрической симметрии — топологической симметрии и применяя принцип диссиммет-рии П. Кюри, приходим к следующему заключению. [c.17]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология