Графы изоморфные

Этот результат уже использовался нами в примерах, рассмотренных в разд. 3, поэтому теперь мы применим его к другому случаю. Балабан [10] рассчитал число неэквивалентных обозначений гомокубанильного катиона (рис. 19), используя несколько сложные аргументы, и получил ответ 45 630 (нет сомнения, что здесь была опечатка, так как 45 360 = 9 /8). Правильный ответ 9 /4 = 90720, поскольку этот граф имеет только четыре автоморфизма. Легче всего это увидеть, если перерисовать граф, как показано на рис. 20, и заметить, что любой автоморфизм должен фиксировать вершину 1. Таким образом, группа автоморфизмов изоморфна той подгруппе группы симметрии кубана, которая фиксирует ребро 29, показанное на рис. 21. Имеются четыре такие операции симметрии идентичность, вращение (29)(36)(47)(58) и отражения (29)(38)(47)(56) и (35)(68). [c.299]

Рпс. IV-6. Исходный граф (а) и изоморфный ему граф (б). [c.118]

Особый интерес для химиков представляют изоморфизм и кодирование графов [10]. Говорят, что два графа G и 02 изоморфны (зто записывается как С, = О2), если существует такое взаимно однозначное отображение вершин графа О на вершины графа О , при котором сохраняется смежность, т. е. две вершины являются смежными в графе О,, если и только если соответствующие вершины в графе О2 также являются смежными [12]. По сути, изоморфные графы — это идентичные графы, но изображенные по-разному. В случае небольших графов для определения изоморфных графов достаточным оказывается визуальное рассмотрение двумерных диаграмм этот метод непригоден для практического применения в случае графов с большим числом вершин. Альтернативно графы могут быть представлены матрицами, такими, как матрица смежности, матрица расстояний, матрица инцидентности и т. д. Но в этом случае возможно столько же матриц, сколько существует возможных способов нумерации вершин графа. Следовательно, для того чтобы установить, являются ли два графа О а С с п вер- шинами изоморфными или же нет, необходимо осуществить х я операций. Молекулярные структуры являются графами особого вида, и основная проблема химической документации состоит в присвоении каждой вершине кода, такого, что два графа О, и О2 имеют одинаковый код, если и только если О = О. . Очевидно, что элегантное решение проблемы кодирования явится в равной мере и хорошим решением проблемы изоморфизма. В настоящее время приемлемое решение неизвестно, хотя предложены различные системы номенклатуры химических соединений . Был проведен де- [c.207]

Графы изоморфны, если, независимо от их вида, они имеют одинаковую структуру, т. е. те же вершины и те же инцидентные им ребра. Естественно, что графы, изображающие цикло-гексан в конфигурациях кресла и ванны , изоморфны. Циклы, имеющие на данном графе только общие вершины, но не общие ребра, называются блоками. Цикломатическое число (Д) показывает наименьшее число ребер, которые должны быть удалены от связного графа, чтобы он превратился в дерево (т. е. не осталось ни одного цикла) [c.172]

Рис. 1.1. Различные способы описания структуры молекулы метана. а — располон ение ядер атомов в пространстве б — молекулярный гpaфg ( H4) в — молеиулярная топологическая форма г — графы, изоморфные (СНО — атомы углерода О — атомы водорода.

Линии графа, соединяющие заданные точки, обычно называют ветвями. Ветви соединяют вершины графа. Обычно граф можно изображать по-разному заменять прямолинейные ветви на криволинейные, располагать произвольно вершины его на плоскости. Графы, имеющ ие принципиально одно и то же строение, называются изоморфными. Если ветви графа пересекаются только в вершинах, такой граф называется плоским. Графы химических реакций обычно плоские. [c.285]

I узлов дерева, то общее число упорядоченных деревьев, получающихся из помеченного молекулярного графа, равно i/[(/—1) ]. После уничтожения меток некоторые деревья становятся неразличимыми (изоморфными), причем число повторений каждого дерева опять совпадает с ( , q). В результате получаем формулу для [c.158]

Дерево-связный неориентированный граф, ие содержащий циклов или контуров (рис. 1,6). Остовный подграф нек-рого графа-его подмножество, содержащее все вершины и лишь определенные ребра. Остовное дерево нек-рого графа-его остовный подграф, представляющий собой дерево. Графы иаз. изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между совокупностями их вершин и ребер (дуг). [c.610]

В качестве другого примера мы покажем, как таким путем получить реакционный граф Г (см. рис. 14). Используем в качестве а граф Е, показанный на рис. 1, и пусть G будет группой Sj, действующей на класс изоморфизма ii = П .. Тогда ii . содержит граф F (рис. 23), изоморфный Е при перестановке g = (12)(35) е Sj (среди других) или, что эквивалентно, при 1,2-сдвиге. При стабилизаторе точки G = aut Е четырехэлементная группа F отображается в графы, показанные на рис. 24. Таким образом, F лежит на G -орбите размерности 4, поэтому, если Г — соответствующий суборбитальный граф [с орбитой множества ребер Д группы S , содержащей Е, F)], Г имеет внешнюю валентность 4. Теперь перестановка [c.300]

Нами показано, что некоторые реакционные графы, встречающиеся в химической литературе, являются примерами графов, известных специалистам по теории групп как суборбитальные графы. В настоящей статье мы ограничились рассмотрением особых типов реакционных графов — графов, в которых перегруппировки исходного графа приводят к изоморфному графу (вырожденные перегруппировки), и нами всегда допускалось, что на исходный граф действует группа полной симметрии. Основываясь на общих свойствах суборбитальных графов, мы пришли к выводу, что группа автоморфизмов такого реакционного графа всегда содержит симметрическую группу, и рассмотрели условия, при которых реакционный граф является связным. Вероятно, существуют другие результаты исследований суборбитальных графов, которые могли бы быть приме- [c.302]

Если мы исследуем более сложную реакцию, например перегруппировку Демьянова [5—7], в которой участвуют четыре углеродных центра и которая часто рассматривается как проходящая через так называемые неклассические катионные интермедиаты [5, 8], то получаем четырехмерную реакционную решетку (рис. 4). Эта реакционная решетка изоморфна булевой решетке Р(4) диаграмма последней имеет вид четырехмерного куба, атомами теоретической структуры которого являются динамические графы Од, Ор и О вместе со статическим графом 5. Он содержит три булевы подрешетки с тремя атомами (рис. 5), включая статический граф 5 эти подрешетки могут быть отнесены к трем формально раздельным химическим реакциям [c.448]

Если в булевой подрешетке содержатся два изоморфных графа D , то такая решетка может рассматриваться как описание реакционной системы. [c.452]

Из данных для атомного количества катионов находим соответственное число атомов катионов (графа 7). По этим числам можно составить структурную формулу анализированного силиката с учетом возможных изоморфных замещений. При этом прежде всего должны учитываться возможности небольшого изоморфного замещения магнием кальция и кальцием — натрия, что показано в формуле (А) изогнутыми стрелками. Ниже этой формулы указаны наиболее вероятные изоморфные замещения тех элементов, которые обнаружены в результате анализа. [c.348]

В графе 2 перечислены минералы, встречающиеся в ассоциации с данным минералом в горных породах, в скобках указаны важнейшие изоморфные примеси (РЗ — редкие земли ). [c.116]

При данном числе мономерных звеньев / молекулы могут различаться их пространственной конфигурацией, а соответствующие им молекулярные графы будут иметь различную топологическую структуру. Пронумеруем все изомеры с I звеньями индексом ] и обозначим Wij число способов, которыми можно образовать каждый (/ )-изомер из I различных мономерных звеньев. Тогда величина Wi из формулы (2.32) равна сумме Wц по всем значениям /. Для определения с помощью теории графов необходимо ввести некоторый параметр, характеризующий топологическую структуру соответствующего молекулярного графа. Такой величиной для каждого (/ )-изомера будет число его изоморфов G,y. Два графа называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное отображение одного на другой, при котором сохраняется смежность и раскраска вершин. Другими словами, при таком отображении каждая вершина одного графа переходит в одну из вершин того же цвета другого графа, причем, две смежные вершины вместе с соединяющим их ребром переходят в пару смежных вершин тех же цветов и ребро между ними. Например, при изоморфном отображении любой узел (мономерное звено) вместе с висячими вершинами (функциональными группами) переходят в такое же образование. На рис. 2.2 изображены все изоморфы молекулярного графа с тремя трехфункциональными узлами. При этом все узлы и висячие вершины пронумерованы, так что каждому изоморфу соответствует определенный выбор нумерации. Следует подчеркнуть, что изоморфы являются пронумерованными графами. Из рис. 2.2 видно, что каждая вершина при изоморфном отображении может меняться местами лишь с некоторыми из остальных вершин, например вершина 1 — со 2, 3 и 4-й, а И1 — ни с одной. В соответствии с этим, все вершины графа можно разбить на группы, называемые его классами эквивалентности. Граф, изображенный на рис. 2.2, имеет 4 таких класса (1, 2, 3, 4), (5), (I, II), (III). [c.53]

Пятерная взаимная система из 9 солей с одним соединением. Для графа ЦХ, U) (рис. 11.24, а), изоморфного диаграмме составов пятерной взаимной системы А, В, С X, Y, Z с комплексным соединением AZ-BZ произведение имеет следующий вид [c.55]

Примером неориентированных изоморфных графов могут служить графы, изображенные на рис. IV-6, а, б. Обязательным условием пзоморфности ориентированных графов является одинаковая ориентация всех дуг. Получение графа, изоморфного некоторому исходному графу, можно наглядно представить, изобразив этот исходный граф на упругой поверхности, например на листе резины. Какой бы деформации без разрушения не подвергалась поверхность листа резины, изображенный на ней граф не претерпит топологических изменений. Каждый вновь образующийся граф при данной деформации листа резины будет изоморфен исходному графу, хотя геометрические фигуры, изображающие графы, при этом существенно отличаются друг от друга. [c.118]

Теперь рассмотрим помеченные (пронумерованные) графы, в которых каждой из п вершин приписывается отличное от других целое чпсло от 1 до п. Ясно, что непомеченный граф может быть пронумерован п способами, но при этом некоторые из них могут совпадать. Так, из 4 = 24 возможных способов нумерации графа (рпс. П.З) различных оказывается всего шесть, а каждый из остальных 18 способов совпадает с одним пз этпх шести. Например, способ нумерации (1, 4, 3, 2) ничем не отличается от первого среди указанных на рис. П.З способа (1, 2, 3, 4), поскольку оба соответствующих пм помеченных графа могут быть совмещены путем поворота вокруг ребра, соединяющего вершипы 1 и 3. Следовательно, эти два графа являются одинаковыми. Два (помеченных) графа считаются одинаковыми и называются изоморфными, если существует взаимооднозначное отображение множества вершин одного графа на множество вершин другого, при котором сохраняется смежность вершин (и распределение пометок па них). Приведем все возможные изоморфные графы (изоморфы) соответствующего помеченного графа (1, 2, 3, 4) (рис. П.4). Каждый из остальных пяти помеченных графов на рис. П.З имеет такое же количество изоморфов (5 = 4). Поэтому полное число нумераций п = 24 получается путем умножения числа изоморфов = 4 графа одной про- [c.302]

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности, разбивающим множество всех му.тьтиграфов на классы эквивалентности, которые можно рассматривать как абстрактные мультиграфы. Изоморфные мультиграфы представляют собой один и тот же абстрактный мультиграф. В настоящее время в связи с отсутствием стандарта на машинное представление [84] существует многс способов ввода в ЭВМ структурных формул и их топологическиг графов. К наиболее перспективным способам ввода относятся а) ввод структурных формул с помощью оптических считывающие устройств в) ввод с помощью стандартных дисплеев в) ввод с по мощью специализированных устройств типа граф [85]. Струк турную, формулу при этом рассматривают в виде взвешенного гра фа, т. е. как функцию, заданную на вершинах и ребрах графе Весом вершины при этом служит символ химического элемент или радикала, а весом ребра — кратность химической связи. [c.96]

Из приведенного примера видно, что вид матрицы зависит от порядка нумерации вершин и определяет граф G (если отвлечься от конкретной природы его элементов) с точностью до перестановок параллельных ребер между собой, т. е. гораздо жестче , чем с точностью до изоморфизма. Для установления изоморфизма двух графов Gil Н с iV-вершииами необходимо осуш,ествить у. Л" операций [66] G ъН изоморфны тогда и только тогда, когда их вершины можно занумеровать так, что соответствующие матрицы смежности будут равны. [c.98]

Лемма 3. Для любого графа и и+ всегда найдется граф Нк, а и и такой, что контуры и имеют одно и то же ножество вершин, а дополнения к ним в графах Ни, а и гг+ и Яй, р и гг изоморфны. В самом деле, для графа Ни, а и гг+ таким етляется граф, получаемый измепенпем ориентации дуг контура Ни, и гг па обратную, т. е. заменой С р на Сие,а. [c.91]

В тех случаях, когда возникает необходимость различать вершины или ребра графов по каким-либо внутренним признакам, их раскрашивают в разные цвета. Для изоморфности раскрашенных графов необходимо существование такого взаимооднозначного отображения одного графа на другой, нри котором сохраняется смежность вершпн, инцидентность вершин и ребер, а также раскраска этпх элементов. Двудольным называется граф, вершины которого можно раскрасить двумя цветами так, чтобы каждое ребро соединяло вершины разных цветов. [c.303]

Отметим, что 1) эти операции определены лишь для множества ребер графов, 2) все объединения и пересечения множеств ребер являются подмножествами множества, содержащего все множества ребер, и 3) обе операции рефлексивны. Вследствие этого множество всех множеств ребер этих графов образует топологию, которая, в частности, изоморфна дискретной тополсЛ-ии множества, состоящего из трех элементов, т. е. множества мощности из трех чисел Р(3) соответственно. [c.446]

Решетки всех трех типов перициклических реакций содержат одну и ту же динамическую подрешетку д (рис. 3) эта подрешетка является булевой, и ее диаграмма изоморфна диаграмме квадрата (двумерный куб). Если динамическая подрешетка представляется такой диаграммой, то реакция может быть описана в рамках X-модели [2, 3] с помошью одного независимого параметра X, который непрерывно преобразует графы О и Ор, являющиеся дополнениями графа О, один в другой. [c.448]

Любая реакция, включающая в качестве реакционных партнеров только реагенты и продукты, может быть описана с помощью системы графов Ар,М,5,О,0 ,0ртл , множества ребер которых образуют булеву решетку, изоморфную Р(3), — так называемую реакционную решетку [6, 7, 9]. Динамический аспект представляется динамической булевой подрешеткой, состоящей из множеств ребер О, Ор тл Поскольку максимальная размерность динамических элементов равна единице (Д акс = 1)> такая подрешетка может быть интерпретирована механистически в рамках классической структурной теории. Ввиду циклической структуры О соответствующие реакции называются перицикличе-скими . [c.459]

Рис. 1 Молекулярные графы н деревья а, б-мультиграфы соотв. этилена и формальдегида в-мол. изомеров пеитана (деревья 4, 5 изоморфны дереву 2).

Минералом (от лат. ш1пега — руда) называется природное образование, приблизительно однородное по химическому составу, кристаллической структуре и свойствам, образованное на поверхности или в глубинах Земли или других небесных тел. В природе найдено свыше 2500 видов минералов, и процесс их открытия продолжается. Для каждого минерала (минерального вида) наиболее характерным признаком является его кристаллическая решетка. Модификации минералов одинакового состава (например, алмаз С — графит С или кальцит СаСОз — арагонит СаСОз), но имеющие различные кристаллические решетки, относят к различным видам, в то время как изоморфные ряды ми- [c.20]

Нахождение в природе. Молибден и вольфрам относятся к малораспространенным элементам в земной коре содержание молибдена составляет 3-10- вольфрама Ы0 %. Основными минералами молибдена являются молибденит, или молибденовый блеск МоЗа (сульфид молибдена), по внешнему виду напоминающий графит молибденит часто содержит в виде изоморфной примеси рений (10 —10 %) повеллит СаМо04 (молибдат кальция) нередко часть молибдена ( — 10%) в повеллите замещена вольфрамом Са(Мо, W)04, Меньшее значение имеют минералы вульфенит РЬМо04 (молибдат свинца) и молибдит лгРезОз-г/МоОз-геНзО. Молибден содержится также в медных и медно-свинцовых рудах (до 0,01%), которые используются для его извлечения при комплексной переработке сырья. [c.164]

Результаты опытов по очистке гидрофосфата натрия от изоморфной примеси гидроарсената натрия кристаллизацией их водного раствора в колонне с теплоизолированной секцией разделения, в колонне с двумя кристаллизаторами и плавителями и в колонне с охлаждаемой внутренней трубкой, представлены в табл. 1. В графе 1 табл. 1 показана высота, которую проходят кристаллы до растворения, в графе 6 — фактор разделения, достигаемый на этом участке. Вычисленные по уравнению (2) величины потоков вновь образующихся кристаллов приведены в графе 8. [c.52]

Один из безытерационных методов решения уравнений балансов сложных ХТС основан на понятии потокового графа ХТС, изоморфного исследуемой системе и являющегося некоторой моделью технологических потоков системы. [c.440]

Поскольку графы состояний для всех шести рассматриваемых СУХТП изоморфны, определим общие формулы для расчета показателей надежности нерезервированных СУХТП. [c.64]

Для графа Ь X, II), изоморфного диаграмме состава пятерной взаимной системы А, В X, У, 2, Т с двумя комплексными соединениямии 2 (рис. 11.17), произведение имеет вид [c.50]

Обычно считают, что термин полиморфизм был впервые применен Митчерлихом в его работе по изоморфным сульфатам закисного железа, кобальта, никеля, магния, меди, цинка и марганца. Однако очевидно, что идея полиморфизма к этому времени была не новой, так как Хемфри 3,эви еще в 1809 г. показал, что алмаз и графит являются углеродом и что оба они различаются только расположением углеродных атомов в твердой фазе. В действительности первым, кто обратил внимание на полиморфизм, был Клапрот, обнаруживший (1788 г.), что карбонат кальция кристаллизуется как в форме кальцита, так и в форме арагонита. [c.422]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология