Производящие функции моментов

Производящая функция моментов гамма-распределения равняется [c.91]

Это уравнение трудно использовать, так как оно содержит конечные разности. По этой причине удобно перейти от А, X, F к новым переменным х, связанным с производящей функцией моментов (9 А, t) соотношением [c.104]

Для удобства изложим здесь некоторые фундаментальные свойства производящей функции моментов. Полагая в формуле (8.15) i A, х, 1, получим [c.104]

Метод исследования аналогичен методу, примененному в гл. 8. Для приведенной производящей функции моментов (8.19) может быть получено уравнение в частных производных. Из него после некоторых преобразований имеем [128] [c.223]

Она также является производящей функцией моментов в том смысле, что коэффициенты ее разложения в ряд Тейлора по к являются моментами [c.15]

Можно продолжить это рассуждение, вычисляя высшие моменты, и таким путем вычислить полную характеристическую функцию U. Но тот же самый результат можно получить намного более простым способом, если сначала ввести производящий функционал для В гл. 1 было показано, как использование производящей функции моментов упрощает обращение с моментами и кумулянтами Сейчас мы введем аналогичную технику для / . Однако вместо вспомогательной переменной k нам теперь понадобится вспомогательная функция, или пробная функция v t), а вместо производящей функции у нас будет тогда функционал, т. е. величина, зависящая от всех v, взятых для — оо < / < оо (их обозначают квадратными скобками). Производящий функционал для / имеет вид [c.45]

С точки зрения теории вероятности, Qff — некоторая производящая функция моментов и, с другой стороны, некоторая вероятность. Так как она представляет собой, как ясно из (1.9в), свертку, описанная процедура является видоизменением метода характеристических функций или производящих функций моментов для доказательства предельных теорем (см. Математическое приложение). [c.21]

Обобщению (3.37) — (3.38) максвелловской функции релаксации можно придать вероятностный смысл, если принять во внимание (см. Математическое приложение, 3), что производящая функция моментов сама но себе является некоторой вероятностью (и, следовательно, мерой). Для максвелловской функции релаксации параметр т можно считать временем, за которое максвелловский механизм возвращается в равновесное состояние после мгновенной единичной деформации. В соответствии с этим принято считать [c.119]

Здесь суммирование по к заменено интегрированием по т. Неубывающая функция Р (т) характеризует распределение максвелловских механизмов по временам релаксации вместе с их интенсивностями , представленными первоначально множителями а. Формула (3.43) и определяет как раз частный случай производящей функции моментов безгранично делимого распределения, В частности, если 11) (1) — производящая функция моментов для распределения класса (см. Математическое приложение, 2), то для любого а (при О С а<С 1) [c.121]

В связи со свойством (3.44) максвелловского механизма уместно поставить задачу отыскания других механизмов, обладающих аналогичными свойствами. Ответ дают известные теоремы об устойчивых распределениях (см. Математическое приложение, 2). Производящая функция моментов для устойчивого (в узком смысле) распределения обладает следующим свойством для любых и 2, в нашем случае имеющих размерность обратного времени, существует такое з, что [c.122]

Иначе говоря, какими бы ни были устойчивые механизмы, их всегда можно рассматривать как один механизм с теми же свойствами, за исключением, быть может, времени релаксации. При этом предполагается, что речь идет о распределениях, обладающих производящей функцией моментов. Соответствующая функция релаксации [c.122]

Производящие функции моментов [c.143]

Иногда наряду с характеристическими функциями рассматривают производящие функции моментов. Определим производящую функцию моментов как двустороннее преобразование Лапласа функции распределения [c.143]

Чтобы избежать множителя (—1) , производящую функцию моментов обычно определяют с положительным знаком при 8. Мы будем пользоваться обеими формами из контекста всегда ясно, [c.143]

Производящие функции моментов сами по себе являются некоторыми вероятностями. Чтобы пояснить это, рассмотрим специальное распределение, называемое экспоненциальным. [c.144]

Пусть теперь некоторая совокупность элементов характеризуется распределением N (х), так что число элементов, у которых параметр X заключен между х я х- - (1х, равно М (х) йх. Пусть независимо от случайной величины, описываемой функцией распределения N (х), происходят некоторые катастрофы , промежутки между которыми распределены по экспоненциальному закону (24) с параметром 5. Тогда производящая функция моментов для N х) [c.145]

Изложенная здесь интерпретация производящей функции моментов взята из [66]. Сходные рассуждения содержатся в [66, 67]. [c.145]

Таким образом, свободная энергия есть величина, центрирующая энергию так, чтобы вероятность, представляемая производящей функцией моментов (31), была равна единице. [c.146]

Разумеется, одного указания на то, что статистическая сумма является производящей функцией моментов, недостаточно для того, чтобы решать конкретные задачи, сводящиеся по существу к вычислению Г (Е). В обычной постановке эту функцию требуется вычислить по заданному гамильтониану, собственные значения которого неизвестны, и значительная часть статистической механики посвящена технике такого вычисления. [c.147]

Замечания об аналогии между статистической суммой и производящей функцией моментов имеются у Бартлетта [68]. [c.147]

В гл. 1 было показано, как использование производящей функции моментов упрощает обращение с моментами и кумулянтами Сейчас мы введем аналогичную технику для / . Однако вместо вспомогательной переменной k нам теперь понадобится вспомогательная функция, или пробная функция v t), а вместо производящей функции у нас будет тогда функционал, т. е. величина, зависящая от всех v, взятых для — оо < / < оо (их обозначают квадратными скобками). Производящий функционал для / имеет вид [c.45]

Из этой записи видно, что logL является производящим функционалом функции g , так же как кумулянты генерировались логарифмом производящей функции моментов. Естественно, с помощью [c.53]

Для функций распределения, производящие функции моментов которых имеют вид (23) одностороннего преобразования Лапласа, производящие функции моментов можно получать из характеристических функций путем замены их аргумента на я (подробнее см. [64]). Теоремы о характеристических функциях при этом почти досррвно переносятся на производящие функции моментов. [c.143]

Из этой записи видно, что logL является производящим функционалом функции так же как кумулянты генерировались логарифмом производящей функции моментов. Естественно, с помощью 2.5.7) можно дать определение и затем доказать, что они удовлетворяют соотношениям (2.5.1). [c.53]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология