Пробная функция

Таким образом, оптимальной для основного состояния атома водорода среди пробных функций вида е (их называют функциями Слэтера) является [c.71]

Знак равенства имеет место только, если ф(х) = Фо(,х). Для возбужденных состояний соотношение (1.105) остается справедливым, если потребовать, чтобы пробная функция ф(х) не только принадлежала классу функций интегрируемых с квадратом модуля, но и подчинялась дополнительным условиям ортогональности к волновым функциям всех энергетически более глубоких состояний. [c.42]

Функционал энергии с пробной функцией Фо можно вычислить по формуле [c.70]

Одномерные задачи. Начнем с краевых задач для уравнения (1.153). Введем в рассмотрение множество (пространство) пробных функций У, удовлетворяющих условиям (1.154), один раз дифференцируемых, причем таких, что все встречающиеся пиже интегралы конечны. Умножив уравнение [c.158]

Умножая первое из уравнений системы (4.70) на первую компоненту пробной функции V е F, второе — на вторую, третье — на третью, складывая результаты и интегрируя сумму по области Q, используя при этом формулу Грина (4.76) и краевое условие (4.71), придем к вариационному уравнению [c.168]

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближенного численного интегрирования дифференциальных уравнений движения сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функций, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей). При использовании этого метода непрерывная область или тело подразделяется на конечное число подобластей (рис. 16.5). Каждый элемент может иметь свой собственный размер и свою форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам тела Этот метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при ко тором используется сетка с ячейками одинакового размера, описы ваемыми теми же координатами, что и тело. Точки пересечения кри вых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треуголь ную, прямоугольную или четырехугольную форму (см. рис. 16.5) при решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая изменение определяемого параметра. Выбранные аппроксимирующие функции называются пробными функциями или пространственными изменяемыми моделями. [c.596]

Предположим, что распределение давлений в пределах каждого элемента описывается линейной пробной функцией [c.599]

Это вычисление можно проделать для любой из рассматриваемых функ ций. Тем самым каждой функции ф(х) определенного вида можно сопоставить вещественное число IV [ / ]. В таком случае считают, что на пробных функциях (или функциях сравнения) ф(х) задан функционал W[ф]. В рассматриваемом случае функционал й) называют функционалом энергии. [c.42]

В общем случае при расчете возбужденных состояний вариационным методом возникают серьезные трудности. Строго говоря, нельзя построить пробную функцию, так как точные собственные функции Н неизвестны. Волновые функции для энергетически более низких состояний могут быть известны лишь приближенно, да и то не всегда, так как число таких состояний может быть очень большим (и даже бесконечным). Тем не менее часто удается получить полезные приближения и к волновым функциям возбужденных состояний. [c.167]

Уравнение (П. 18) является общим решением уравнения (П. 16). Конкретное его решение состоит в нахождении значений и Са и далее по приближенного значения энергии Е+. Искомую Ч/ -функцию выбирают с помощью вариационного метода. В вариационном методе испытываются путем подстановки в выражение энергетической функции пробные функции с одним или несколькими вариационными параметрами с, Сх, Са, например, функции вида = е " (см. 3 этой главы) или = С] + Са г . где 1, 2 — независимые друг от друга и известные функции. Пробные функции должны обладать всеми свойствами волновых Ч я, ,т-функций, т. е. должны зависеть от координат, быть непрерывными, конечными, однозначными и обращаться в нуль на бесконечном расстоянии. Если эти условия нормирования соблюдаются, то приближенное значение энергии будет функцией параметров с, с , с . Следовательно, надо подобрать такие значения с, Су, Со, при которых получается наименьшая из всех возможных величина энергии . При этих значениях параметров получается также наилучшая приближенная волновая функция (в нашем случае Тч-). Применение вариационного метода к рассматриваемой задаче показывает, что [c.23]

Заметим, что выражение для функционала энергии становится проще, если потребовать, чтобы пробная функция ф(х) подчинялась дополнительному условию нормировки [c.42]

Таким образом, зная функционал, можно получить уравнение для функции, на которой он достигает экстремума, и обратно, имея некоторое дифференциальное уравнение для функции и рассматривая его как уравнение Эйлера вариационной задачи, можно построить соответствующий функционал. При этом появляются дополнительные возможности для приближенного решения задачи. Например, можно сузить класс пробных функций, ограничившись функциями определенного вида с параметрами. Подбирая значения этих параметров из условия экстремума функционала, найдем и приближение к искомой функции, и приближение к искомой величине — значению функционала. При этом если погрешность в функции будет порядка Д, то погрешность в значении функционала будет порядка Д , так как вследствие (1.106) вариация функционала не будет содержать линейных слагаемых по б/. [c.43]

Условия стационарности Е относительно вариаций с/ (с учетом нормировки пробной функции) дают те же самые уравнения, что и теория возмущений [c.167]

Пробная функция может быть угадана, что маловероятно, либо построена на основе химической интуиции или определенных умозаключений. Затем ее можно улучшать, добиваясь все более низких значений Е. Чем ниже будет Е, чем ближе она подходит к истинному значению Е , тем ближе (/ р к истинной функции Задача сводится, таким образом, X нахождению минимального значения энергии, т. е. к нахождению минимума интеграла [c.84]

В этом выражении мы не учитываем кинетическую энергию ядер при этом ядерные координаты мы считаем заданными параметрами. Пренебрегая взаимодействием электронов, пробную функцию для расчетов вариационным методом можно взять в виде [c.40]

Другой способ приближенного расчета химического сдвига основан на вариационном принципе. Выбираем пробную функцию,. вид которой уточняется при удовлетворении условия вариационного принципа. В данном случае пробная функция [c.123]

Приближенную функцию, подставляемую в (1.55), называют обычно пробной волновой функцией. Чем лучше пробная волновая функция аппроксимирует точную, тем ближе значение энергии, полученное с помощью этой пробной функции, к истинному значению. Для придания гибкости пробной функции в нее удобно ввести неизвестные варьируемые параметры С, С1,. .., с . Величины С], Сг,. .., [c.20]

Линейная комбинация функций и Тг была использована Гейтлером и Лондоном в качестве пробной функции для расчета молекулы водорода [c.101]

Возьмем далее вместо функции Ч ") , являющейся точным решением уравнения Шредингера, некую npo-извольную (или, как ее еще называют, пробную) функцию Ф. Впрочем, Ф не вполне произвольна, предполагается, что она зависит от тех же переменных й удовлетворяет тем же условиям, что и функции (в частности, ф полагается нормированной на 1). Тогда пробную функцию Ф можно разложить в ряд по собственным функциям гамильтониана Й [c.68]

Ясно, что среди пробных функций Ф наилучшим приближением к Ч о будет такая, которая отвечает абсолютному минимуму функционала энергии Г1Ф]. Не останавливаясь на возникающих здесь математиче-ски проблемах, перейдем к"рассмотрению конкретного примера. , [c.69]

Допустим, что пробная функция Ф содержит не- которые числовые параметры. Тогда задача состоит в том, чтобы найти те их знaчeния,J(oтopыe обеспечат, минимум [Ф]. Например, в качестве пробной функции основного (1 ) состояния атома водорода можно выбрать функцию вида Фо = Ае-<. [c.69]

Пробная функция для удобства записана в так называемых аюмных единицах [c.69]

Отсюда видно, что эффективность вариационного метода зависит от выбора пробных функций. Часто используют иную модификацию этого метода, когда искомую функцию представляют в виде линейной комбинации некоторого (конечного ) числа линейнонезависимых функций (х ) (1= 1, 2,. .., Ы), не обязательно ортонормированных [c.71]

Если известно точное выражение для ф, энергия системы может быть рассчитана по (17.2) или (17.3). Однако обычно неизвестны ни ф, ни Е либо неизвестна г(). Тогда для отыскания ф и пользуемся вариационным принципом подставив в (17.2) или (17.3) вместо истинной функции приближенную к ней так называемую пробную функцию Фпробн> получим отвечающее ей значение Е. Оно обязательно будет не ниже (в алгебраическом смысле) значения энергии основного состояния системы [c.53]

Вид функции I(t) определяется экспериментально легко, но никакого удобного аналитического метода, который позволял бы находить функцию fit) по экспериментально измеряемым функциям F(t) и I t), не существует. На практике подбирают пробные функции f t), по которым, зиая I t), восстанавливают пробные функции F t) или применяя для этого численное интегрирование, или поль- уясь программой для ЭВМ. Если характеристической функцией гибели промежуточного продукта является экспонента, то для экспериментального определения кинетики затухания можно воспользоваться методом моментов (см. гл. IV). Если все три функции F t), f t) и I (t) аппроксимируются экспонентами, то для расчета истинной константы можно пользоваться следующим простым приближенным соотношением [c.189]

Здесь в каждый момент времени г в качестве пробных функций V выбираются дифференцируемые функции переменной х (возможные перемещения), удовлетворяющие граничным условиям (4.90), после чего реализуется та же процедура, что и выше уравнение (4.89) умножается па г (а ) и результат интегрируется по отрезку (О, /) в итоге получается следующее вариациоппое уравнение [c.169]

Сопоставление это1 о результата с точным решением [уравнение (9.3-11) ] показывает, что разница между двумя методами решения незначительна. Эта разница зависит от выбора пробной функции, и в данном случае результаты различаются на 8 %. [c.263]

Для того чтобы выяснить, как можно воспользоваться экстремальностью функционала, рассмотрим какой-нибудь функционал W f, опре-деленньш на некотором классе вещественных пробных функций f x), на которые не наложено никаких дополнительных условий. Пусть функционал IV достигает экстремума на функции /оСд ). Наряду с fo(x) рассмотрим функцию f[x), которая принадлежит к тому же классу функций и мало отличается от/о (л). Разность [c.43]

Вариационный принцип (3.62) эквивалентен уравнению Шредингера, и найти точную функцию Ф, на которой достигается минимум (НФ, Ф), столь же трудно, как и решить уравнения Шредингера. Поэтому поставим себе более скромную задачу, ограничив класс функций сравнения, например, /и-параметрическим семейством функций Ф(д 1,. .., хл кь. .., Ст) На таком семействе фушсций сравнения (пробных функций) среднее значение энергии Ё = (НФ, Ф) - это функция переменных Сь. .., С и Минимум функции Е дает приближенное значение энергии Е [c.165]

Такой способ приближенного решения вариационных задач назван метдом Ритца. При расчете возбужденных состояний основанием для метода Ритца служит тот же вариационный принцип (3.62), но минимум берется при более ограничительных условиях пробные функции Ф должны быть ортогональны ко всем предшествующим по энергии соб- [c.165]

В решении этой задачи можно далеко продвинуться независимо от конкретного вида радиальньк волновых функций. Это позволяет упростить класс пробных функций и приспособить его к расчету конкретного терма. В частном случае, когда данный терм Ь в конфигурации не повторяется, коэффициенты С/ вообще исключаются из рассмотрения переходом какой-либо из схем 5 ч вязи, например к Л/ Л/ -представ-лению. Для такого терма, без потерь, класс пробных функций можно ограничить функциями вида [c.167]

Поэтому пробные функции вида (3.66) и (3.67) можно использовать для расчета некоторых возбужденных состояний, имеющих наименьщую энергию данной симметрии. [c.167]

Применяя вариационный принцип для решения уравнения (22.2), целесообразно использовать семейство функций с варьируемыми параметрами. Обычно используется модификация вариационного метода, известная под названием вариационного метода Релея — Ритца или метрда линейных комбинаций. Здесь семейство пробных функций выбирается в виде линейной комбинации линейно независимых базисных функций / (лучше всего ортогональных или ортонормированных) с независимыми лараметрами с ,с . [c.84]

Вид пробной функции (4.24) определяет возможность применения вариационного метода Ритца для вычисления энергии молекулы и коэффициентов С] и Сг- Система уравнений (1.67) в данном случае [c.101]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология