Собственные функции операторов момента импульса

Значение операторов момента импульса в атомной спектроскопии определяется тем, что они коммутируют друг с другом и с оператором Гамильтона. Если какой-либо оператор коммутирует с гамильтонианом, то волновые функции, описывающие систему (собственные функции гамильтониана), могут быть выбраны так, чтобы они были собственными функциями этого оператора. Например, если оператор коммутирует с (Ш, то квантовое число Ь можно использовать для характеристики волновых функций так, чтобы каждая волновая функция соответствовала определенному значению Ь. Если же оператор не коммутирует с то волновые функции не характеризуются определенным значением Ь и могут быть измерены только средние значения орбитального момента. Даже еслп не известен точный вид волновой функции, можно [c.155]

Следует заметить, что в отсутствие сферической или цилиндрической симметрии электронные волновые функции уже не будут собственными для операторов моментов импульса fi, s wp-). Классифицировать же состояния при малом возмущении, вносимом спин-орбитальным взаимодействием, можно по типам симметрии, добавляя при необходимости дополнительные индексы, например а<2 и [c.408]

Соотношения (34.14), (34.19) и (34.23) являются частными случаями принципа детального равновесия ). Часто при вычислении эффективных сечений (34.21), (34.22) бывает удобно перейти от функций д1 х.т К какой-либо НОВОЙ системе взаимно ортогональных и нормированных функций описываюш.их состояния системы, в которых электрон непрерывного спектра имеет импульс я угловой момент Х. В частности, такими функциями могут быть собственные функции операторов полных моментов системы атомный остаток + электрон 5, I, J, Используя известные свойства унитарных преобразований, легко получить ) [c.428]

Вид сомножителя (0) мы здесь не конкретизируем, ввиду его сложности, заметим только, что функции называемые сферическими или шаровыми, удовлетворяют условиям конечности и однозначности при целых положительных значениях 1 т. Кроме того, сферические функции будут не только собственными функциями оператора М , но и М , причем имеет место 21 + 1)-кратно вырождение, т. е. каждому значению квадрата момента импульса (каждому 1 отвечает 21 + 1) различных собственных функций М.. [c.48]

Здесь и и — постоянные, которые можно выбрать различными для разных функций 0 . Функции (О, ф) — сферические гармоники (3.6), являющиеся, как видно из гл. 9, собственными функциями операторов орбитального момента импульса значки I и т характеризуют соответствующие собственные значения. Гамильтониан коммутирует с операторами момента импульса (спиновые слагаемые не включены в гамильтониан), поэтому интегралы от гамильтониана, вычисленные для функций с различными значениями момента импульса, обращаются в нуль. Таким образом, интегралы типа (6.71) равны нулю, если 01 и 2 имеют различные квантовые числа / и т. Отсюда следует, что вековой определитель можно разбить на блоки, стоящие на главной диагонали, такие, что каждый из них содержит функции, с одинаковыми квантовыми числами 1жт, недиагональные члены, связывающие блоки с разными I или т, равны нулю. Вековой определитель можно тогда записать в виде произведения определителей более низкого порядка, каждый из которых характеризуется числами / и т, а волновые функции, получающиеся при решении соответствующих уравнений, также характеризуются этими квантовыми числами. Таким образом, именно потому, что операторы момента импульса коммутируют с гамильтонианом, атомные орбитали можно записать в форме (4.3), где сферическая гармоника выделена в виде множителя. [c.111]

Пользуясь перестановочными соотношениями для операторов момента импульса, можно показать, что для собственной функции операторов и такой, что [c.166]

В то же время квадрат момента импульса и одна из его проекций (скажем, Мг) могут иметь одновременно определенные значения. Поэтому-то, говоря о понятии момента импульса в квантовой механике, мы рассматривали только собственные функции двух операторов М и Мг- [c.48]

Согласно закону 11, можно наблюдать только значения свойств систем, которые являются собственными значениями оператора, соответствующего данному свойству. Рассмотрим, к каким ограничениям приводит этот закон в отношении таких свойств, как положение, импульс и угловой момент. Это означает просто нахождение всех хороших функций данных операторов. [c.127]

Если a была собственной функцией операторов 8 , Sy и 8 , это означало бы, Что можно одновременно и абсолютно точно измерить три составляющих спинового момента электрона. В свою очередь такие измерения точно определили бы ось спина. Рассмотрим ось, проходящую под прямым углом к оси спина. Угловая координата электрона относительно этой оси была бы точно иавестна, так же как и соответствующий угловой момент (равный 0). Поскольку эти величины представляют собой сопряженную пару пространственных координат и импульсов, такой результат нарушал бы принцип неопределенности. [c.325]

Несмотря на это, собственная функция оператора, например Н, не обязательно является собственной функцией другого оператора. Для выяснения этого вопроса определяют, коммутируют или нет два данных оператора. Например, гамильтониан у и оператор момента импульса Ь везависимо от последовательности их воздействия на некоторую собственную волновую функцию дают одинаковый результат Н . = ЬНФ. Это означает, что существуют такие волновые функции, которые одновременно являются собственными как для Н, так и для Ь. Таким образом, для системы в состоянии Ф можно одновременно определить и энергию, и момент импульса. Напротив, операторы координат и импульса не коммутируют р Ф, поэтому нельзя одновременно определить точное местоположение молекулы и ее импульс. Это утверждение носит название принципа неопределенности Гейзенберга. [c.15]

Согласно правилам квантовой механики, изложенным в гл. 4, процедура включения понятия спина в квантовую механику должна заключаться в нахождении классического аналога этого свойства, выражении его через координаты и импульсы и замене координат и импульсов на соответствующие операторы. При этом мы получим операторы спина, для которых можно найти обычным путем правила коммутации и собственные функции и зате.м обращаться с ними в соответствии с законами квантовой механики. К сожалению, при попытке осуществления этой программы мы оказываемся не в состоянии начать действовать, так как спин электрона не имеет классического аналога. Спиновый угловой момент электрона, очевидно, не является обычным угловым моментом, так как наблюдаются всего два собственных состояния и они соответствуют полуцелым квантовым числам. Поэтому мы вынуждены постулировать некоторый формализм для обращения со спином, без какой-либо апелляции к классическим аналогам. Это можно сделать различными путями, но для наших целей наиболее пригодны следующие три постулата. [c.233]

Возможно, оставшиеся неразрешенными вопросы послужат более смелым читателям поводом к дальнейшему изучению ЯМР. Наиболее ясное описание ядерных систем получается с помощью теории матриц плотности [7]. В этой теории используется обычная квантовомеханичес-кая модель волновой функции системы в виде линейной комбинации ее собственных состояний. Каждый комплексный коэффициент этой комбинации содержит информацию и об амплитуде, и о фазе. Для описания реального образца мы должны усреднить огромное число коэффициентов для подсистем, находящихся в различном окружении. Полученные таким образом средние величины по ансамблям составляют матрицу плотности, которую можно представить себе как карту усредненных парных связей между энергетическими уровнями системы в данный момент временн. Импульсы представляются в виде операторов, преобразующих матрицу плотности. В промежутки между импульсами матрица плотности эволюционирует в соответствии с гамильтонианом [c.143]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология