Свойства некоторых преобразований симметрии

Еще одним понятием, касающимся симметрии, является инвариантность, под которой подразумевают сохранение веществом или структурой некоторого конкретного свойства при преобразовании определенного типа. Индивидуальная жидкость обладает полной трансляционной инвариантностью, а для кристалла допустимы лишь трансляции на определенные расстояния и в определенных направлениях. [c.185]

Получим теперь феноменологические уравнения вида (5.193) в соответствии с выражением (5.205). Ранее было сказано, что каждый поток является линейной функцией всех термодинамических сил. Однако потоки и термодинамические силы, входящие в выражение (5.205) для диссипативной функции, обладают различными тензорными свойствами. Некоторые являются скалярами, другие — векторами, а третьи представляют собой тензоры второго ранга. Это значит, что при преобразованиях системы координат их компоненты преобразуются различным образом. В результате оказывается, что при наличии симметрии материальной среды компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил. Это обстоятельство называют принципом симметрии Кюри. Самой распространенной и простой средой является изотропная среда, т. е. среда, свойства которой в равновесном состоянии одинаковы во всех направлениях. Для такой среды потоки и термодинамические силы различной тензорной размерности не могут быть связаны друг с другом. Поэтому векторные потоки должны линейно выражаться через векторные термодинамические силы, тензорные потоки — через тензорные термодинамические силы, а скалярные потоки — через скалярные термодинамические силы. Сказанное позволяет написать следующие линейные феноменологические уравнения [c.88]

При рассмотрении электронной задачи предполагают, что геометрия молекулы фиксирована. В ряде случаев она известна из эксперимента. При отсутствии соответствующих данных в задачу входит и поиск оптимальной геометрии, что особенно важно в теории межмолекулярных взаимодействий, при рассмотрении структуры промежуточного комплекса в теории химических реакций и в других задачах. При рассмотрении адиабатического приближения (гл. 2, 1) уже упоминалось, что электронные и ядерные переменные не всегда удается разделить. Однако и в этих случаях на первом этапе исследования при расчете электронных характеристик исходят из некоторой заданной геометрии молекулы. Оператор энергии атома и оператор энергии молекулы характеризуются определенными свойствами симметрии, а именно инвариантностью относительно линейных преобразований электронных переменных. При переходе от теории атома к теории молекул изменяется пространственная симметрия, что следует принять во внимание при классификации электронных состояний. [c.187]

Б. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СИММЕТРИИ [c.94]

Плоскопараллельные и осесимметричные течения. Изучаемые в этом параграфе плоскопараллельные и осесимметричные течения газа обладают общими свойствами. Основными величинами здесь являются компоненты вектора скорости и = и, у), плотность р, давление р и энтропия 5, причем последние связаны уравнением состояния р = /(р, 5) и газ предполагается нормальным (см. 2). Основные величины рассматриваются как функции декартовых координат х,у). При этом некоторого разъяснения требует изображение осесимметричных течений. Прежде всего, безоговорочно принимается, что ось симметрии совпадает с прямой у = 0. Далее, физическая картина осесимметричного течения восстанавливается в трехмерном пространстве путем вращения меридиональной полуплоскости у >0 вокруг оси у = 0. При повороте на угол 180° эта полуплоскость становится продолжением исходной, а любое изображение — зеркально симметричным исходному. Ясно, что этим же свойством обладает преобразование симметрии [c.218]

Одним из характерных признаков кристаллов является их симметрия. Симметрией называется свойство бесконечного пространства или его конечной области (фигуры, тела) совмещаться самим с собой после выполнения некоторых преобразований или операций называемых преобразованиями или операциями симметрии. Пространством может быть не только пространство Евклида, но и любое физическое пространство, нанример, поля тяготения, электрических зарядов и т. д., анизотропные кристаллические пространства и их части — кристалл, упруго-напряженные пластинки и т. п. [c.39]

В расчетах, основанных на использовании теории возмущений, большую помощь оказывает применение теории групп. На основе теоретико-группового рассмотрения, или учета симметрии, удается показать, что многие интегралы оказываются тождественно равными нулю. Всякое наблюдаемое свойство системы должно быть инвариантным при любом преобразовании симметрии системы. Другими словами, наблюдаемые величины должны быть скалярными, а не векторными, операторными и т. д. С теоретико-групповой точки зрения это означает, что любой интеграл (или любая другая функция, представляющая наблюдаемую величину) должен преобразовываться по полносимметричному неприводимому представлению группы, к которой относится данная система. (Полносимметричное представление является единственным скалярным представлением группы и таким, в котором каждый элемент группы отображается на скаляр, равный + ) Поскольку каждую функцию или оператор, входящие в интеграл, можно отнести к некоторому неприводимому представлению (или к комбинации неприводимых представлений) группы и поскольку известны правила умножения для представлений, нетрудно определить представление, по которому преобразуется любая подынтегральная функция. Если это представление не совпадает с полносимметричным представлением или не содержит его в себе, то нет никакой необходимости проводить вычисление интеграла, так как заведомо известно, что он должен быть равен нулю. В расчетах по теории возмущений на основании такого анализа можно, например, установить, равна ли нулю поправка первого приближения к энергии и какие коэффициенты в разложении первого порядка для волновой функции или в разложении второго порядка для энергии оказываются равными нулю. [c.115]

Как видим, каждому преобразованию симметрии системы можно поставить в соответствие некоторую матрицу-оператор. При этом обратному преобразованию симметрии соответствует обратная матрица, последовательному применению двух операций симметрии — произведение соответствующих матриц, а тождественному преобразованию — единичная матрица. Таким образом, геометрические свойства симметрии оказываются полностью переведенными на язык матриц-операторов, который является существенным при использовании теории групп в квантовомеханических исследованиях. [c.53]

Наиболее важным свойством преобразований симметрии для данной системы является то, что они образуют группу в математическом смысле этого слова. Под группой понимается некоторая совокупность элементов , удовлетворяющих следующим четырем условиям определена операция умножения двух элементов, причем произведение любых двух элементов из рассматриваемой совокупности есть элемент той же совокупности умножению присущ закон ассоциативности, т. е. АВ)С = А ВС), где А, В, С — элементы группы среди элементов группы содержится единичный Е, т. е. такой элемент, который в произведении с любым другим не меняет его для каждого элемента совокупности существует обратный Л", так что ЛЛ = Е. [c.53]

В нашей брошюре (да и в подавляющем большинстве солидных монографий, где идет речь о применении теории групп в квантовой химии) преобразование симметрии рассматривается как один из частных случаев геометрических преобразований в обычном трехмерном пространстве. Однако существуют такие системы (с некоторыми из них мы познакомимся ниже), для объяснения всех свойств которых чисто геометрических преобразований (вращений, отражений и т. д.) не хватает. Примером такой системы может служить атом водорода. Хорошо известно, что состояние электрона в водородном атоме описывается четырьмя квантовыми числами главным п, побочным I, магнитным т и спиновым /п.,. Но энергия электрона зависит только от одного из них — от п [c.105]

Симметрия и квантовые числа молекул. Симметрия является одним из важнейших свойств молекул, АО и МО. В широком смысле она представляет свойство геометрической фигуры, которое характеризует некоторую правильность ее формы, неизменяемость при определенных действиях движений и отражений. Фигура симметрична, если существует нетождественное преобразование, совмещающее фигуру с самой собой. Совокупность всех таких преобразований называется группой симметрии этой фигуры. [c.94]

Яо(3 симметрией системы подразумевают инвариантность ее уравнений движения относительно некоторой совокупности преобразований. Одним из примеров симметрии системы является свойство антисимметричности волновой функции системы электронов. Из этого примера следует также, что свойство симметрии не обязательно связано с геометрическими характеристиками, хотя геометрическая симметрия молекулы для квантовой химии является важным примером симметрии. [c.82]

Пусть (Са а)—матрица некоторого ортогонального преобразования координат, причем физические свойства непрерывной системы таковы, что матрица кинетических коэффициентов остается неизменной после преобразования. В этом случае говорят, что непрерывная система имеет элемент симметрии, соответствующий указанному преобразованию. [c.143]

Для неплоской симметричной молекулы типа ХУз точечная группа будет Здесь имеется ось симметрии третьего порядка Сз и три ( вертикальные ) плоскости симметрии проходящие через эту ось. Из-за наличия оси третьего порядка существует один дважды вырожденный тип симметрии , который в некоторых отношениях подобен типу П линейных молекул. При выполнении операции симметрии Сз волновая функция ф не просто остается без изменения или меняет знак, а переходит в другую функцию. Однако все функции, полученные различными операциями симметрии, могут быть представлены в виде линейной комбинации двух функций иными словами, имеет место двухкратное вырождение. Два других типа симметрии точечной группы не вырождены, их свойства симметрии (характеры), как и для типа Е, показаны в табл. 14. Для вырожденных, типов симметрии характеры являются суммами диагональных членов в матрице, описывающей преобразования, которые соответствуют операциям симметрии. [c.121]

Да, но что же такое симметрия Возможно, мы не сможем ответить на этот вопрос удовлетворительно, по крайней мере с учетом всех сторон этого емкого понятия. Согласно русскому кристаллографу Е. С. Федорову, который также занимался вопросами симметрии, симметрия есть свойство геометрических фигур повторять свои части, или, выражаясь точнее, свойство их в различных положениях приходить в совмещение с первоначальным положением . Приведем второе определение, принадлежащее геометру X. Кокстеру [8] Когда мы говорим, что некоторая фигура симметрична, мы подразумеваем, что для нее имеется конгруэнтное (совместимое) преобразование, которое оставляет фигуру неизменной, переставляя лишь ее отдельные части . Федоровское определение симметрии приводится здесь по А. В. Шубникову [9], который также был авторитетом в области симметрии и занимался кристаллографией от себя он добавляет, что, хотя симметрия есть свойство геометрических. фигур, очевидно, и материальные тела тоже могут обладать симметрией. Шубников далее пишет, что только те части, которые в некотором смысле равны друг другу, могут повторяться, и отмечает наличие двух видов равенства - совместимого и зеркального. Эти два вида равенства являются подтипами концепции метрического равенства, развитой Мёбиусом, согласно которой фигуры равны, если расстояния между любыми заданными точками одной фигуры равны расстояниям между соответствующими точками в другой фигуре [9]. [c.13]

Для упрощения анализа 2М-спектров иногда приходится изменять их представление либо путем преобразования матрицы данных в памяти компьютера, либо заменой метода получения данных. Некоторые из описанных в этом разделе способов изменения представления спектров используют теорему подобия фурье-преобразований, основанную на соотношении (6.4.17), которая связывает преобразование частотных переменных и соответствующее преобразование временных переменных. Другие методы используют свойства симметрии 2М-спектров. Более перспективные методы основываются на распознавании характерных структур пиков, что в конечном итоге позволит достигнуть полностью автоматизированной интерпретации 2М-спектров. [c.402]

Оператор Н ограничен снизу, не изменяется по форме при различных преобразованиях пространственной симметрии, не зависит от спина и является действительным, так что его спектр может рассматриваться как суперпозиция зон уровней, причем каждая зона определяется основным состоянием с некоторой спиновой мультиплетностью и свойствами симметрии. Каждое такое основное состояние обладает, разумеется, наименьшей энергией из множества состояний с одинаковыми спином и пространственной симметрией. [c.153]

Описание различных групп симметрии, представляющих интерес в теории строения молекул, включено в Приложение УИ. Это Приложение содержит также таблицы характеров для этих групп и свойства преобразований некоторых величин, которые представят интерес в нашей дальнейшей работе. В последующих Главах теорию групп мы используем в значительной мере, причем практические приложения окажутся выполнимыми гораздо легче, чем этого можно было ожидать, судя по некоторым довольно сложным математическим формулировкам, приведенным выше, [c.252]

Напомним, что группа G порядка g имеет g независимых элементов. В случае групп симметрии этими элементами являются операции симметрии. Каждой операции симметрии соответствует некоторое линейное преобразование координат, которое задается матрицей его коэффициентов. Символическому произведению двух операций симметрии соответствует произведение матриц линейных преобразований, описывающих эти операции симметрии. Если речь идет о тождественной операции е, то ей отвечает единичная матрица, обратной операции соответствует обратная матрица. В целом совокупность матриц линейных преобразований, соответствующих элементам данной группы симметрии, сама образует группу, по своим свойствам эквивалентную исходной группе симметрии. Группа, состоящая из матриц л ,- линейных преобразований, однозначно соответствующих элементам некоторой группы, называется представлением этой группы. Число переменных, линейные преобразования которых образуют представление, определяет ранг матриц представления и носит название размерности представления, а совокупность указанных переменных — базиса представления. [c.189]

Молекулы и кристаллы. Некоторые молекулярные конфигурации переходят естественным путем в кристаллические без какого-либо изменения характера связи. Если длина цепи цепных молекул, описанных на рис. 25, все больше возрастает, то различный характер насыщения концов цепей все больше теряет свое значение по сравнению с повторяемостью основного структурного мотива. Образование цепей само по себе обозначает возникновение одномерных кристаллических конфигураций обособленное положение концов цепи представляет таким образом только краевое явление, наблюдаемое у любого кристаллического образования конечной величины, так как кристаллический структурный принцип основан на бесконечном повторении. При этом наблюдаются новые явления симметрии, так как чем больше длина цепи, тем меньшую роль играет различное расстояние внутренних звеньев от ее концов. Если мы представим себе, что цепь сделалась бесконечно большой, то параллельные переносы могут оказаться новыми симметрическими преобразованиями плоскости, центры или оси симметрии отдельных структурных мотивов будут повторяться в виде параллельных семейств. В этом случае не имеет уже смысла, как на рис. 13, разграничивать или нумеровать отдельные Ап В, так как их химические свойства будут теперь совершенно одинаковы. Если кольцеобразный островной анион (рис. 136), например [c.239]

В физике твердого тела очень важную роль играет понятие геометрической симметрии. Вообще, геометрической симметрией кристаллического пространства [или фигуры) называется свойство пространства (фигуры) совмещаться с самим собой после выполнения некоторых симметрических преобразований. [c.11]

Полученный результат является частным случаем более общего результата, справедливого не только для линейных молекул, но и для молекул другой симметрии, и не только для одноэлектронных, но и для многоэлектронных состояний. Множество операций пространственной симметрии молекулы образует так назьшаемую группу - множество, обладающее определенными свойствами, изучаемыми в теории групп [1, 10, 12, 26]. Здесь приведены лищь некоторые результаты применения теории групп к квантовой теории молекул. Так, можно ввести такие наборы функций (базисы неприводимых представлений группы симметрии молекулы), которые при операциях симметрии молекулы будут преобразовываться друг через друга. Иными словами, базис неприводимого представления определяет функциональное подпространство, которое инвариантно относительно преобразований симметрии молекулы. Слово неприводимое означает, что инвариантное подпространство обладает наименьщей возможной размерностью, назьшаемой размерностью представления. Функции, образующие базис неприводимого представления, называют функциями-партнерами. [c.38]

Возможность использования теории групп в квантовомеханических исследованиях основывается на свойствах симметрии изучаемых атомных систем. Покажем, каким образом геометрические свойства симметрии молекулы могут быть переведены на абстрактный, но удобный математический язык. Если при некотором перемещении (повороте, отражении) молекулы она совмещается сама с собой, то такое перемещение называется преобразованием или операцией симметрии. Например, в плоской треугольной молекуле Уз (рис. П1. 1) преобразованиями симметрии являются повороты вокруг оси Сг (перпендикулярной к плоскости молекулы) на углы 2я/3, 4я/3, 2я и вокруг осей Л161, А Вч, А Вг на углы я, 2я, а также отражения в плоскостях, проходящих через эти оси и перпендикулярных плоскости молекулы. [c.48]

Но почему энергия не зависит от I, оставалось не-ясйым до 1935 г. Из общих соображений симметрии следовало ожидать, что независимость энергии электрона от I также объясняется наличием некоторой группы преобразований симметрии. Но какой именно группы Вот в чем состоял вопрос. Ответ на него был найден советским академиком В. А. Фоком, который показал, что полная группа симметрии атома водорода, объясняющая все его свойства, включая и вы рождение по I, совпадает с группой вращений четырехмерного шара, т. е. наряду с чисто геометрическим я преобразованиями содержит преобразования симметрии более общего, более абстрактного, а потому н менее наглядного, типа. Группу симметрии четырехмерного шара обычно обозначают символом 0(4). [c.106]

Перемещение точек системы, после которого система обладает конфигураиней и свойствами, вполне аналогичными исходным, называется операцией симметрии (или преобразованием сим.четрии). Выще были описаны следующие операции си-чметрии вращение системы вокруг некоторой оси симметрии на угол ф = 360° г отраже 1ие в плоскости симметрии и отражение в центре симметрии (операция инверсии). [c.85]

Если свойства основного состояния системы с большим числом степеней свободы нарушают ее симметрию относительно преобразований некоторой непрерывной группы, то в системе обязательно возникают коллективные возбуждения, частоты которых со (к) стремятся к нулю при к - 0 Голдстоун, 1961 Боголюбов Н. Н., 1963). Эти возбуждения всегда имеют такой характер, что они как бы стремятся восстановить нарушенную симметрию системы. Число ветвей подобных голдстоуновских возбуждений определяется числом нарушенных независимых элементов непрерывной группы симметрии функции Лагранжа системы (числом исчезнувших генераторов исходной непрерывной группы симметрии). [c.45]

Свойство силшетрии есть свойство относительное. Любой объект может иметь или не иметь специфическую симметрию в зависимости от выделенных свойств или от той внутренней структуры, которую мы в данный момент рассматриваем. Можно дать множество частных определений симметрии, однако общим для всех таких определений является требование неизменности объекта в целом и его внутренней структуры при некотором изменении его составных частей. Отыскать специфическую симметрию заданного объекта в отношении заданных свойств — значит найти совокупность специфических преобразований, называемых автоморфизмами, которые сохраняют объект и его выделенные свойства (структуру) инвариантными. Наоборот, по заданным преобразованиям можно найти их инварианты, т. е. системы не изменяющихся под действием этих преобразований величин. [c.42]