Потенциальная энергия кристалла в гармоническом приближении

Потенциальная энергия кристалла в гармоническом приближении [c.113]

Следовательно, самая общая форма потенциальной энергии кристалла, отвечающая гармоническому приближению, имеет вид [c.114]

Будем использовать строго гармоническое приближение, т. е основываться на формуле (XI 1.35) для средней энергии кристалла, где — величина, не зависящая от температуры (минимальное значение потенциальной энергии кристалла при заданном давлении) [c.356]

В гармоническом приближении потенциальная энергия кристалла записывается в виде [c.12]

При соответствующем выборе начала отсчета Фо может быть равно нулю. Если Ф разложить в ряд около положения равновесия, обращается в нуль и линейный член Ф1. Если пренебречь более высокими членами разложения и со.хранить квадратичный по смещениям нз положения равновесия член Фг, то получится так называемое гармоническое приближение. Коэффициенты в Ф определяют силы, действующие на структурные элементы решетки при малых отклонениях от положения равновесия. Именно в гармоническом приближении справедлива дебаевская теория теплоемкости. В этом приближении невозможно объяснить теплопроводность решетки. При больших отклонениях частиц от положения равновесия (ири больших упругих напряжениях или при высоких температурах) в выражении (4.73) для потенциальной энергии необходимо учитывать более высокие (по сравнению с Фг) члены разложения. Если сохранить Фз и Ф4 (или хотя бы Фз), то при этом можно описать теплопроводность диэлектрического кристалла. Именно такие ангармонические члены разложения (4.73) содержатся в гамильтониане кристаллической решетки (4.72) при расчете теплопроводности. Нелинейные ангармонические члены в разложении потенциальной энергии определяют характер взаимодействия фононов. Если в гамильтониане (4.72) содержится член Фз, то имеют место трехфононные процессы. Примером такого процесса является взаимодействие двух фононов, имеющих энергии hvi и /гv2 и квазиимпульсы пК и/г/Сг. при котором вместо этих фононов образуется третий фонон с энергией /IV и квазиимпульсом кК- Возможен и такой вариант трехфононного взаимодействия, когда один фонон распадается на два фонона. [c.142]

Считая как смещения центров тяжести элементарных ячеек и (й), так и относительные смещения пары атомов I (п) малыми, представим потенциальную энергию колебаний кристалла в виде, соответствующем гармоническому приближению [c.76]

В силу сказанного выше потенциальную колебательную энергию Фг кристалла в гармоническом приближении можно рассматривать как состоящую из нескольких частей. [c.134]

В гармоническом приближении в выражение для потенциальной энергии входят только квадратичные члены, а разложение дипольного момента ц по нормальным ядерным координатам ограничивается линейным членом + d i/dQ)Q. Можно показать, что при таких условиях ИК-спектр кристалла должен состоять из сравнительно небольшого числа линий. В отличие от газообразного состояния в этом случае невозможно уширение линий за счет взаимодействия с вращательными степенями свободы. Основные частоты должны относиться [c.225]

В общей теории малых колебаний можно выразить потенциальную и кинетическую энергии молекулы в такой системе координат (называемых нормальными координатами), которая позволяет представить колеблющуюся молекулу в виде набора невзаимодействующих осцилляторов. Аналогично, используя нормальные координаты, можно описать колебания кристалла с помощью независимых осцилляторов. В гармоническом приближении спектр кристалла должен состоять из резких, не зависящих от температуры полос, соответствующих оптическим колебаниям поперечного типа с =0. [c.230]

Как уже отмечалось, в гармоническом приближении спектр кристалла состоит из небольшого числа резких полос основных колебаний, не зависящих от температуры. Обертоны и комбинационные частоты могут появляться лишь при включении в выражение для потенциальной энергии ангармонических членов. [c.234]

Потенциальная энергия кристалла в гармоническом приближении может быть представлена суммой членов, характеризующих межмолекулярное взаимодействие (Хорниг, 1950) [c.76]

Хорниг [10] показал эквивалентность двух методов и дал выражение для полной потенциальной энергии кристалла в гармоническом приближении [c.416]

Частицы, находящиеся в узлах кристаллической решетки (атомы, ионы или молекулы), не неподвижны. Они совершают колебания, которые приближенно можно рассматривать как колебания гармонического осциллятора. Решетка, таким образом, интерпретируется как система осцилляторов. Отсюда сразу получается вывод, что энергия одной частицы должна равняться ЗкТ. Действительно, средняя кинетическая энергия гармонического осциллятора равна его средней потенциальной энергии. Частица в кристалле обладает тремя степенями свободы и на каждую приходится кинетическая энергия /зкТ, всего ЬТ. Такое же значение имеет и потенциальная энергия. Полная энергия частицы равна поэтому сумме 12ЬТ+ 1чкТ—ЪкТ. Умножая на постоянную Авогадро, получаем дкМТ=дНТ, Т. е. энергия в расчете на моль равна ЗЯТ. Производная энергии по температуре при постоянном объеме, т. е. Су = ЗЯ. Мы получили известный закон Дюлонга и Пти, согласно которому теплоемкость твердого тела равна приближенно ЗН, т. е. 25,08 Дж/моль. [c.273]

Величина ол при Т = onst зависит только от значений собственных частот. Собственные частоты, в свою очередь, определены параметрами связи второго порядка — величинами, которые выражаются через производные d Uldq dqj при qi = q . .. = 0. В гармоническом приближении эти производные берутся в точке минимума функции U и, следовательно, не включают зависимости от R. Поэтому в гармоническом приближении собственные частоты, а следовательно, и колебательная свободная энергия от величины R не зависят условием равновесия кристалла является минимум потенциальной энергии dUjdR 0. [c.321]

Температурная зависимость фундаментальных частот есть прежде всего косвенное следствие ангарм-онизма колебаний. Как известно, с энгармонизмом связано тепловое расширение кристалла, а в связи с изменением межатомных расстояний изменяется потенциальная энергия, даже в гармоническом приближении. Кроме того, частоты колебаний изменяются из-за взаимодействия колебаний — прямого следствия механического ангармонизма. [c.325]