Колебания кристалла нормальные

Рассмотрим звезду, неприводимое представление (т) группы (я), и расположим в столбцовую матрицу X е нормальных координат, описывающих колебания кристалла с одинаковой частотой и, следовательно, образующих базис неприводимого представления пространственной группы. Операция Н, + Тд) может оставлять инвариантными или преобразовывать в эквивалентные векторы некоторое число векторов звезды. Каждая нормальная координата, соответствующая одному из этих векторов, в результате операции симметрии преобразуется в линейную комбинацию нормальных координат этого же волнового вектора. [c.113]

Нормальные координаты колебаний кристалла [c.42]

Полоса 1350 см относится к так называемым истинно локальным колебаниям, т. е. к частотам нормальных колебаний кристалла, изменившимся при внедрении примесного атома (для алмаза рамановская частота и ь= 1332 см ). Из структурных примесей, попадающих в искусственные алмазы (в природных алмазах наблюдается полоса 1365 см ), кроме азота, обычно присутствуют никель и алюминий. Что касается полосы 1100 см , то в алмазах с изотопом она представлена как полосой 1100 СМ , так и полосой, сдвинутой в область 1065 см . Следовательно, в обычных алмазах имеет место наложение полос двух различных типов, одна из которых относится также к резонансным колебаниям. Большой сдвиг свидетельствует о необходимости учета в этом случае ангармоничности колебаний. [c.425]

Таким образом, собственные колебания кристалла (1.30) нумеруются индексами (к, а). Собственные функции (1.30) часто называют нормальными модами колебаний. [c.35]

Процедуру разложения колебаний кристалла по нормальным модам мы выполним в скалярной модели, отвлекаясь от векторов поляризации и наличия нескольких ветвей закона дисперсии. Обобщение на реальную схему колебаний трехмерной решетки не связано ни с какими трудностями — оно будет произведено в конце, после выполнения всех необходимых вычислений. [c.42]

Таким образом, энергия, а следовательно, и функция Лагранжа колебаний кристалла сводятся к сумме слагаемых, относящихся к отдельным нормальным координатам. В частности, функция Лагранжа имеет вид [c.43]

Выделение независимых движений, из которых путем суперпозиции можно составить любое сложное движение системы многих частиц (атомов), принято называть процедурой введения коллективных возбуждений и соответствующих им коллективных координат (или переменных). В случае малых колебаний кристалла, т. е. механически слабовозбужденных состояний кристаллического тела, коллективными возбуждениями являются нормальные координаты. [c.44]

Наконец, большой интерес к квазилокальным колебаниям возник в связи с эффектом Мессбауэра для ядер примесных атомов. Явление Мессбауэра на примесях связано со специфичным для кристалла соотношением между переданными примесному ядру импульсом и энергией. Это соотношение определяется теми возможными движениями, в которых способен участвовать примесный атом, т. е. в конце концов характером разложения вектора смещения примеси по нормальным колебаниям дефектного кристалла. Присутствие среди нормальных колебаний кристалла большой группы колебаний с очень близкими частотами (квазистационарные волновые пакеты из таких колебаний составляют то состояние кристалла, которое и называется квазилокальным колебанием) приводит к тому, что при разложении вектора смещения примесного атома по нормальным колебаниям относительный вклад квазилокального колебания будет значительно превышать относительный вклад обычных нормаль- [c.224]

Применение теории возмущений к потенциалу кристалла основано на рассмотрении нормальных координат изолированных молекул где нижний индекс относится к молекуле, а верхний индекс — к нормальному колебанию. В нормальных координатах потенциальная и кинетическая энергии выражаются в виде [c.587]

Колебания кристаллов, содержащих сложные атомные группы. Общая теория, изложенная выше, позволяет осуществить классификацию главных колебаний кристалла при любом числе неэквивалентных атомов в элементарной ячейке. Однако часто оказывается, что в связи с характером сил, действующих между частицами, целесообразно выделение отдельных групп атомов, которые могут рассматриваться как новые структурные единицы кристалла. Такими группами могут быть сложные ионы, а в молекулярных кристаллах — отдельные молекулы. При этом нормальные колебания можно подразделить на внешние и внутренние. Внешние колебания — это колебания групп частиц друг относительно друга. Внутренние колебания — это колебания точечных частиц внутри указанных групп. [c.393]

В гармоническом приближении, как следует из общей механической теории колебаний, колебательное движение системы, имеющей Ркол степеней свободы, может быть представлено как наложение нормальных колебаний (см. гл. IX, 11). Совокупность ЗЫ связанных осцилляторов можно формально описать как совокупность ЗЛ/ независимых одномерных гармонических осцилляторов, так что для энергии будут справедливы выражения (IX. 168) в классическом приближении и выражение (IX. 169) в квантовом случае (число степеней свободы следует приравнять ЗК). В формулы входят ЗЫ величин V I = = 1,. .., ЗМ), собственных частот (частоты абстрактных линейных осцилляторов, с помощью которых мы описываем действительное движение атомов в системе). Формулы для статистической суммы и средней энергии одномерного гармонического осциллятора были получены ранее [формулы (IX. 107) и (IX. 110)]. Колебательная статистическая сумма кристалла, если включить в нее сомножитель, связанный с нулевой энергией колебаний, запишется в виде [c.320]

Элементы V (в гармоническом приближении)—вторые производные межмолекулярного потенциала по межатомным расстояниям, взятые при равновесном значении этих расстояний. Истинные значения потенциалов взаимодействия имеют очень важное значение для описания некоторых физических свойств органических молекул и кристаллов [13]. Как было указано Коулсоном [63], колебательные спектры (сдвиги и расщепления частот нормальных колебаний кристалла) очень чувствительны к изменениям значений потенциалов и поэтому могут быть использованы для их определения. Недавно японские авторы [58] получили значения потенциалов У(Н...Н) из анализа нормальных колебаний кристалла полиэтилена и сравнили их с имеющимися в литературе. [c.265]

Несмотря на простоту этих соотношений, проблема симметрии колебаний кристалла намного сложнее аналогичной проблемы для молекул, так как нормальных колебаний в этом случае значительно больше, а группами симметрии, использующимися при рассмотрении, являются уже не конечные группы, число которых на практике существенно ограничено ), а 230 пространственных групп. [c.101]

При заданном волновом векторе я совокупность 1т нормальных координат 2, / ) не описывает всех нормальных колебаний кристалла, частота которых одинакова вследствие симметрии пространственной группы. Возьмем какую-нибудь операцию симметрии пространственной группы, вращательная часть которой Яг преобразует вектор я в век-гор Я2, отличный от я. но обязательно равный ему по модулю. Можно показать, что волновой вектор Я2 = КаЯ относится к колебаниям той же частоты, что и волновой вектор я- В самом деле, можно ввести новую систему координат, в которой вектор Я2 имел бы ту же ориентацию и те же составляющие, что и вектор я в старой системе координат. Следовательно, матрица Фурье, относящаяся к вектору Яг и выраженная в этой новой системе координат, эквивалентна матрице Фурье, относящейся к вектору я и выраженной в старой системе координат, а поэтому обе матрицы приводят к одному и тому же вековому уравнению и, следовательно, к одинаковым корням т. [c.111]

Рассмотрим с этой точки зрения нормальные колебания кристаллов 2п5 и алмаза, соответствующие точкам Г, 1, X. В точке Г (Л=0) атомы (ионы) соседних ячеек движутся в фазе, что удовлетворяет требованию Рамана. Этой точке соответствуют шесть нормальных колебаний (два атома в элементарной ячейке). В точке I [c.458]

В общей теории малых колебаний можно выразить потенциальную и кинетическую энергии молекулы в такой системе координат (называемых нормальными координатами), которая позволяет представить колеблющуюся молекулу в виде набора невзаимодействующих осцилляторов. Аналогично, используя нормальные координаты, можно описать колебания кристалла с помощью независимых осцилляторов. В гармоническом приближении спектр кристалла должен состоять из резких, не зависящих от температуры полос, соответствующих оптическим колебаниям поперечного типа с =0. [c.230]

В [1720] были вычислены частоты нормальных колебаний кристалла полиэтилена и рассчитаны силовые постоянные П—Н-взаи-.модействий. Эти расчеты объяснили фактор-групповое расщепление колебаний 6 (СНг) и у,-. На их основе полосу при 72,5 см" отнесли к трансляционным колебаниям решетки (B u). Однако согласно [935], эту полосу отнесли к типу симметрии Бги, так как по расчетам авторов этой работы колебание типа Bui должно было бы лежать вблизи 50 см . [c.198]

В методе нормального луча рентгеновский луч направляется перпендикулярно к оси вращения кристалла. Устанавливаются экраны, выделяющие нри каждой экспозиции лишь одну слоевую линию с постоянным колебания кристалла проводят обычно в интервале 200° р, = = 0. [c.98]

Твердое тело (кристалл) можно рассматривать состоящим из п частиц (атомов, ионов) или как систему (ансамбль) из Зп гармонических осцилляторов с разными частотами нормальных колебаний V. Его уравнение состояния есть pV=—VU V)+D. Здесь и(У) — не зависящий от Т член, учитывающий внутреннюю энергию и кристалла, а D — член, учитывающий условия тепловых колебаний частиц. При заданных У и Т термический вклад в давление учитывается соотношением [c.278]

Правильное объяснение причин расхождения между теорией Эйнштейна и опытом заключается в том, что нельзя приписывать твердому телу только одну определенную частоту колебаний, так как колебательное движение атомов вследствие сильного взаимодействия между ними носит коллективный характер и, следовательно, реальный кристалл представляет собой систему не независимых, а связанных осцилляторов. Следовательно, задача точного определения теплоемкости твердого тела сводится к учету всех возможных колебаний его атомов, т. е. к учету всего спектра нормальных колебаний. Так как твердое тело —система с огромным числом степеней свободы, то распределение частот нормальных колебаний в нем носит квазинепрерывный характер, т. е. можно ввести понятие о числе колебаний, попадающих в некоторый интервал частот от V до v + dv. Обозначим это число через g v)dv, где g v) — число колебаний, приходящихся на единичный интервал частоты. Величина g (v) называется функцией распределения по частотам (спектральная функция). [c.72]

По другим данным триклинный анортит пмеет характерные дифракционные максимумы с rf. А 3,21 3,19 4,05. Габитус кристаллов— таблицы, бруски бесцветный, белый или серый п = 1,589, Пт = 1,583, Пр — 1,576 (—) 2 V =1Т спайность совершенная по (001) и по (010). ИКС полосы поглощения при (см- ) 460—480 (деформационные колебания связи Si—О—S1) 570—625 (предположительно валентные колебания связи А1—О) 930 (валентные колебания связи Si—О). 7 пл = 1553°С. Растворим в НС1. Плотность 2,765 г/см . Твердость 6. При нормальных температурах и в гидротермальных условиях гидратируются с образованием геля. При наличии активизаторов (СаО, гипс) проявляет слабые вяжущие свойства. Получают из расплава. Встречается в основных и кислых доменных шлаках, золах. Конечный член плагиоклазовой серии твердых растворов. Один из распространенных минералов группы полевых шпатов. [c.205]

Идеальными называются кристаллы, в которых заняты все узлы решетки, а все междоузлия свободны. Поскольку узел решетки— это среднее по времени значение координат центров тяжести частиц, колебания частиц в идеальном кристалле совместимы с периодичностью пространственного расположения узлов решетки, хотя мгновенное расположение самих частиц в кристалле не является идеально периодическим. Дефектами решетки в физике кристаллов называют любые отклонения от идеально периодического расположения узлов в пространстве. Принятая терминология сложилась исторически и связана с тем, что идеальное строение решетки первоначально рассматривали как единственное нормальное состояние равновесной решетки. Однако действительное положение дел здесь несколько иное. [c.269]

Теория теплоемкости Дебая. Исходными являются общие формулы (XII.32)—(XII.35), справедливые для любой системы, колебания которой происходят по гармоническому закону. Определение собственных частот V для кристалла, фигурирующих в этих формулах, — задача, как уже отмечалось, почти недоступная. Для вычисления термодинамических функций, однако, существенным оказывается не столько знание отдельных нормальных частот v, сколько определение числа частот, попадающих в некоторый интервал от v до v + Av. Обозначим это число через g (л )Дл), где g (v) — функция распределения по частотам (спектральная функция). Общее число нормальных колебаний равно 3N. Считая спектр квазинепрерывным, запишем условие [c.324]

Мы убедились в том, что молекулы адсорбата могут находиться на поверхности адсорбента в течение длительного времени. Интересно поставить вопрос — как проводит это время молекула в адсорбционном слое В результате колебаний атомов адсорбента, между ними и молекулой адсорбата происходит непрерывный обмен энергией. Если молекула получит импульс, нормальная составляющая которого превысит Qa, молекула покинет поверхностный слой. Если же этот импульс будет направлен, в основном, тангенциально к поверхности, молекула будет скользить по ней, сталкиваясь с другими молекулами. Такая поверхностная подвижность молекул составляет физическую основу явлений растекания и смачивания. Жидкость растекается по жидкой поверхности на 2—3 порядка быстрее, чем по твердой, поскольку микрошероховатость отсутствует и все точки жидкой поверхности энергетически равноценны. Но и на твердых поверхностях существование двухмерной подвижности установлено экспериментально. Хорошо известный пример с растеканием насыщенного раствора КС по стеклу в солевых мостиках, с последующим высыханием, и образованием ползущей твердой корки, иллюстрирует это явление. В работах Фольмера было установлено, что молекулы бензофенона уходят из кристалла по стеклу на расстояния порядка 0,1 мм, значительно превышающие молекулярные дистанции. [c.134]

Наиболее простым конденсатом является идеальный кристалл, в узлах которого размещены атомы. Атомы в этом случае имеют одинаковое окружение и, следовательно, находятся в совершенно равных условиях. Из классической механики известно (см. гл. П, 3), что такую систему взаимодействующих атомов можно всегда представить как совокупность несвязанных линейных осцилляторов с собственными частотами соу согласно законам квантовой механики, каждую волну нормальных колебаний нужно рассматривать как некоторую своеобразную частицу (квазичастицу) [c.13]

Согласно квантовой механике, энергия и импульс, связанные с каждым нормальным колебанием (каждой волной), квантуются, т. е. могут принимать только дискретные значения они оказываются кратными (п = О, 1, 2---) величинам (28), имеющим смысл соответственно энергии и импульса элементарного возбуждения колебательного движения в кристалле (см. 3, 4). Согласно сказанному ранее, каждое такое элементарное возбужде- [c.74]

Формула (118) имеет важный физический смысл полная энергия цепочки из N атомов выражается квадратичной формой, содержащей только квадраты величин Qq и Qq. Поэтому величины Qq действительно являются нормальными координатами колеблющейся цепочки. Энергия кристалла из N атомов, совершающих связанные колебания, оказывается равной энергии N независимых гар- [c.104]

Мы рассмотрели понижение симметрии, вызванное локальным полем в определенном месте. Теперь надо учесть тот факт, что может иметь место взаимодействие между различными молекулами элементарной ячейки, т. е. мы должны перейти к фактор-групповому анализу [108]. Он включает в основном рассмотрение координат симметрии элементарной ячейки [уравнение (7)]. Построение этих координат симметрии полностью аналогично построению координат симметрии молекулы из ее внутренних координат. В рассматриваемом примере внутренними координатами являются нормальные координаты молекул в четырех местах ячейки. Симметрией, которую нужно использовать, является, конечно, симметрия фактор-группы. Таблица корреляций дает следующий результат каждому колебанию типа Аи молекулы, находящейся в выбранном месте, будут соответствовать четыре колебания элементарной ячейки, по одному каждого из типов Аш, Вы, Вги. и 5за. Таким же образом каждое колебание типа Ag дает четыре колебания элементарной ячейки симметрии Aig, Big, Bzg и Bag. Из этих колебаний элементарной ячейки те колебания, которые входят в класс Biu с дипольным моментом перехода, параллельным оси с, будут активны в инфракрасном спектре и так далее. Если продолжить рассмотрение в качестве примера колебания Vjg ( lu), которое неактивно в спектре газовой фазы, но активно в спектре кристалла, то оно расщепляется на четыре колебания элементарной ячейки типов Ац, В , Вчи. и В ,, из которых три последних будут активны в инфракрасном спектре. Хотя всего насчитывается Nt колебаний кристалла, возникающих из колебания 12, однако активны в спектре только эти три колебания. Колебание еы), активное и вырожденное в спектре газа, активное и дающее дублет в приближении локальной симметрии, расщепляется далее на четыре колебания в каждом компоненте дублета, или всего на восемь колебаний. Из этих восьми колебаний шесть (2Вы, 2В211, 2Взи) активны в инфракрасном спектре. Вновь следует подчеркнуть, что величины расщеплений не могут быть предсказаны из рассмотрения симметрии. При этом может наблюдаться случайное вырождение, если ширина щели прибора или естественная ширина линий превышают расстояние между линиями. [c.586]

Имеется всего несколько работ, посвященных теоретическому анализу нормальных колебаний кристаллов [58, 59, 61, 62], хотя важность таких исследований была понята давно [2, 57, 63]. Если в плоскости кристалла перпендикулярно осям цепей (плоскость об) выделить площадку, охватывающую несколько (малое число) кристаллографических ячеек и затем мысленно продолжить их вдоль осей цепочек на бесконечность, то получим объект, который по своей симметрии относится к классу стержней . В таком стерл<не всегда можно выделить спектральную повторяющуюся единицу, из которой путем соответствующих поворотов и трансляций можно построить весь стержень . В таком случае выбранный стержень можно рассматривать как изолированную регулярную полимерную цепь бесконечной длины, которая имеет соответствующее мономерное звено . К такой цепи применимы методы факторизации векового уравнения, рассмотренные выще, и это позволяет решить задачу о колебаниях кристаллов полимеров [c.263]

Таким образом были рассчитаны нормальные колебания кристаллов полиэтилена [58, 59] и орторомбиче-ского полиоксиметилена [61, 62]. Рассмотрим подробнее особенности такого анализа. Положим, что кристаллографическая элементарная ячейка полимерного кристалла содержит k молекул или pk повторяющихся единиц молекулы полимера. Набор из трех чисел ( I, т, п) нумерует выбранную кристаллографическую ячейку по трем кристаллографическим осям а, Ь к с (ось с совпадает с осью макромолекулы). Элементы матрицы меж-молекулярной потенциальной энергии взаимодействия ячейки (/, т, п) с ячейкой (/ + si, т + S2, п + Ss), которую мы обозначим V [I, т., п / + Si, m- -S2, /г + 5з)э S можно выразить через изменения расстояний между всеми парами валентно несвязанных атомов различных молекул. Поскольку эти величины в свою очередь можно выразить через декартовы координаты смещений атомов, то является функцией декартовых коор- [c.264]

С другой стороны, если примесь представляет собой трех-валентнын галлий, индий или золото, то возникает недостаток одного электрона на атом примеси. Образовавшееся вакантное место называется дыркой. Тепловые колебания электрона нормальной ковалентной связи могут случайно сблизить его с дыркой, так что он полностью уйдет с предыдущего места н рекомбинирует с ней. В результате такого процесса дырка перемещается вдоль решетки с одного места па другое. В легированном таким способом кристалле кремния дырки блуждают по Бсем кристаллу так же, как н избыточные электроны блуждают в кристалле, легированном мышьяком или сурьмой. Под- [c.552]

Теория влияния изменения масс и силовых постоянных на нормальные колебания кристаллов, содержащих дефект, рассматривалась многими авторами (Уоллис и Марадудин, 1960 Сцигети, 1963 Добер и Эллиот, 1963а, б) в этом разделе приводятся лишь наиболее важные выводы. [c.235]

Если в одноатомном кристалле какой-либо атом заменяется более тяжелым атомом, то все колебания кристалла остаются нелокализо-ванными, т. е. колебательное движение распространяется по всей решетке. Если, однако, дефект имеет меньшую массу, то некоторые колебания локализуются вокруг дефекта, а остальные распространяются свободно. Ясно, что в таких нелокализованных колебаниях смещения атомов, удаленных от дефекта, близки к смещениям в соответствующих нормальных колебаниях чистого кристалла. Однако вблизи дефекта движение сильно возмущено, причем возмущение зависит от массы дефекта и определяет интенсивность поглощения. Можно показать, что частота поглощения соответствует выражению Av = Vчи т— дефектос о дефект/ иристалл-т. 6. нелокализованные колебания кристалла с дефектом будут появляться в том же частотном интервале, что и нормальные колебания чистого кристалла, и зависеть от природы примесного центра. В связи с этим очевидно, насколько эффективны спектры кристаллов с дефектами для получения сведений о чистых кристаллах и насколько важны исследования систем с простыми дефектами известной природы. [c.235]

Метод дейтерообмена важен не только для идентификации колебаний водородного атома. Еще большая роль отведена ему для исследования взаимодействия между колебаниями атома водорода и скелетными колебаниями. Спектроскопическое исследование твердых растворов или смешанных кристаллов нормальных I дейтерированных полимеров позволяет определить, влияют ли межмолекулярные взаимодействия на Р1К-спектр [929]. Дейтерообмен можно использовать также для измерения проницаемости твердых полимеров относительно ВгО и других дейтерийсодержащих соединений. [c.104]

Фактор-группа элементарной кристаллической ячейки изоморфна точечной группе Уп- В табл. 3.3 приведены данные о нормальных колебаниях кристалла полиэтилена и правила отбора. Любое нормальное колебание изолированной цепи распадается в спектре кристалла на два колебания, относящихся к разным типам сим- иетрии. В табл. 6.1 сопоставлены колебания кристалла и изолированной макроцепи [1720]. Для кристалла полиэтилена 28 из 36 [c.194]

Впервые задача такого рода рассматривалась в теории комбинационного (рамановского) рассеяния в кристаллах Багаван-тамом [3] при изучении возможных колебаний в структуре алмаза с пространственной группой О/, для ячейки, содержащей 16 атомов и полученной растяжением вдвое каждого из трех векторов a ГЦК решетки (в РЭЯ содержится 8 примитивных ячеек). Группа 0 содержит 8-48=384 элемента, каждый из которых соответствует одной из перестановок между шестнадцатью атомами углерода с учетом цикличности рассматриваемой совокупности атомов. В результате громоздкой процедуры разбиения этих перестановок на классы и применения методов теории групп для построения неприводимых представлений в [3] построена таблица характеров группы Gg и указаны размерности ее неприводимых представлений, после чего полученные результаты использованы для построения нормальны колебаний кристалла. Аналогичное рассмотрение проведено в [3] и для кубической ячейки алмаза из восьми атомов, построенной путем перехода от гранецентрированной к простой [c.115]

Приращения энтальпии УВазСизО относительно значений при 298.15 К измерены методом калориметрии смешения от 328 до 882 К. Вычислены зависимость теплоемкости от температуры Ср(7) и значения термодинамических функций С° (7), S°(7) - 5° (298.15 К), Н° Т) - Н° (298.15 К) в интервале 298-850 К. Из теплоемкости Ср Т) вычислены второй и четвертый моменты спектра нормальных колебаний кристалла УВагСизОб ед и постоянная Зоммерфельда. Выделены регулярные и аномальные компоненты теплоемкости. На кривой С (7) обнаружена аномалия с максимумом при 470 К, энтропия которой составляет 5.5 ДжДмоль К) и в пределах пофешности ее определения соответствует величине / 1п2. На основании результатов анализа полученных и литературных данных предположено, что обнаруженная аномалия обусловлена фазовым переходом второго рода, при котором происходит спонтанное изменение симметрии расположения атомов кислорода в плоскости цепочек СиО,. [c.185]

Колебательное движение атомов вследствие сильного взаимодействия между ними носит коллективный характер-, смещение одного атома вызывает изменение состояния других атомов, прежде всего, ближайших соседей те в свою очередь влияют на состояние своих соседей и т. д. Возмущение, вызванное смещением одного из атомов, распространяется по всему кристаллу в трех измерениях. Кристалл представляет систему ЪМ свя-заных осцилляторов. Как уже отмечалось при рассмотрении многоатомных молекул (см. разд. II. 5), связанные гармонические колебания могут быть представлены в виде наложения нормальных колебаний. [c.184]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология