Оценка спектральной плотности

Рис. 11.2. Нормированная случайная ошибка оценок спектральной плотности и модуля взаимной спектральной плотности.

Для решения уравнения (VII. 1) и расчетов систем регулирования приходится переходить к спектральным характеристикам случайных процессов. Эти характеристики могут быть получены двояко по предварительно вычисленным корреляционным функциям и непосредственно по реализациям. Обычно предпочитают первый путь, так как количество вычислительных операций приблизительно одинаково, между тем оценка спектральной плотности, вычисленная непосредственно по реализации, це всегда сходится к истинной спектральной- плотности [8]. [c.169]

Gx(f), G= (f) — состоятельные оценки спектральной плотности мощности, получаемые усреднением по частоте периодограммы [c.8]

Здесь Г —время регистрации D[S (а)] — дисперсия оценки спектральной плотности. [c.165]

Дисперсия оценки спектральной плотности, полученной по реализации конечной длины, возрастает с уменьшением частоты приблизительно обратно пропорционально ей [6]. В свете сказанного выше, добавочная погрешность, вызванная неточностью оценки спектральной плотности, может быть особенно велика, если а(со) = б(ш). [c.176]

Оценки спектральной плотности [c.278]

Таким образом, моменты целиком определяются характером оценки спектральной плотности в окрестности нулевой частоты, т. е. там, где эта оценка наименее точна. [c.176]

Приближение с помощью у .распределения. х .р с ределение занимае центральное место в вопросах приближения распределений сглаженных оценок спектральной плотности. Вообще, случайная величина у полезна для приближения случайной величины, скажем Y, принимающей только положительные значения Предположим, например, что требуется аппроксимировать плотность вероятности положительной случайной величиной У с помощью плотности вероятности случайной величины ах > где й и v пока не определены Предполагается, что первые два момента У даны Тогда, если их приравнять первым двум моментам которые можно [c.111]

Об оценках вероятностных характеристик случайных процессов. Оценки спектральной плотности мощности [c.51]

При проведении спектрального анализа следует иметь в виду следующее. Оценки спектральной плотности, полученные с применением узкополосных частотных фильтров, являются смещенными, что приводит к систематической погрешности, имеющей в общем случае величину [c.193]

Хотя выражения (3.81) и (3.82) и дают прямой метод оценивания ковариационных функций, современные устройства цифровой обработки сигналов позволяют более эффективно оценивать ковариационные функции путем вычисления финитного обратного преобразования Фурье оценок спектральной плотности, и поэтому этот способ в настоящее время более распространен. Используя соотношения (3.32) и (3.40), получаем [c.79]

В заключение этого краткого обзора способов спектрального-анализа отметим, что существует большое число других операций и процедур, которые используются на практике для улучшения качества оценок спектральных плотностей и когерентности. В их число входят так называемое наплывающее преобразование Фурье ), позволяющее проводить спектральный ана- [c.85]

Вызванная этими факторами суммарная случайная ошибка прямым образом связана с а) функцией когерентности вычисленной по наблюдаемым реализациям входного и выходного процессов, и б) числом усреднений пц, использованных при вычислении оценок спектральных плотностей. В гл. И показано, что нормированная случайная ошибка оценивания амплитудной характеристики и среднеквадратичное отклонение при оценивании фазовой характеристики равны [c.113]

Систематическая ошибка за счет сдвига по времени, определенная уравнением (9.14), возникает во всех случаях, когда распространение импульса х 1) по тракту системы происходит не мгновенно, а измерения выполняются синхронно (рис. 9.2). Смещение может быть особенно большим при расчете функций когерентности на основе широко распространенного сейчас метода быстрого преобразования Фурье (БПФ), согласно которому оценки спектральной плотности находятся путем усреднения по ансамблю оценок, построенных по многим относительно коротким реализациям (см. разд. 3.4.2). Однако этой ошибки легко избежать, заранее оценив вероятные задержки по времени в трактах системы и вводя соответствующие сдвиги между реализациями до начала анализа. Как правило, современные анализаторы оборудованы нужными для этой цели устройствами. [c.227]

Рассмотрим теперь ситуацию, когда внешняя помеха по-прежнему отсутствует, но взаимодействие между наблюдаемыми входами имеет место, причем Я12=Я21 = 0,50. Тогда оценки спектральных плотностей имеют вид [c.233]

Другими словами, случайная ошибка квадрата оценки ф2 при- мерно равна удвоенной случайной ошибке оценки ф. Ниже рассматриваются смещение и случайная ошибка оценок спектральной плотности и связанных с ней характеристик. [c.278]

В книге дается краткое систематическое изложение основ спектрального анализа случайных процессов. Излагается упрощенная теория спектрально-корреляционного анализа. Большое внимание уделяется оценкам спектральной плотности мощности, их свойствам, методам получения состоятельных оценок, особенностям и основным параметрам спектрального анализа на основе дискретного представления случайных процессов. Обсуждаются алгоритмы вычисления спектральных оценок и проблемы практического использования дискретного преобразования Фурье при обработке информации па цифровых устройствах. Описываются экспериментальные методы измерения спектральных характеристик случайных процессов. [c.2]

Рассмотрим реализацию х 1), принадлежащую стационарному эргодическому случайному процессу л ( ) . Оценка бхх спектральной плотности Охх(П есть оценка среднего квадрата х 1) компонент процесса, принадлежащих интервалу частот от f—(Ве/2) до f- - Be/2), который отнесен к ширине интервала Ее. Величину е не следует смешивать с полной шириной спектра В. Ширина частотного интервала Ве эквивалентна разрешению по частоте А =1/Т при численном оценивании спектральной плотности (см. разд. 3.4.2). Оценка спектральной плотности имеет вид [c.278]

В гл. 3 рассматриваются оценки вероятностных характеристик случайных процессов. Большое внимание уделено оценкам спектральной плотности мощности, их свойствам, методам получения состоятельных спектральных оценок, основным параметрам спектрального анализа. [c.6]

Этот простой, но практически важный результат, представленный в графическом виде на рис. 11.1, служит мерой отрицательного смещения оценки спектральной плотности на резо- [c.280]

Этот же результат получен независимо в работе [11.2] для числовой оценки спектральной плотности, вычисленной по формуле (11.7). Соответствующая формула имеет вид [c.281]

Gx(f), — оценки спектральной плотности мощ- [c.8]

Gx(f), Gx(f) — оценки спектральной плотности мощности, получаемые преобразованием Фурье оценки корреляционной функции [c.8]

Оценки спектральной плотности мощности [c.59]

Gx(f), Gx(f) — состоятельные оценки спектральной плотности, получаемые преобразованием Фурье оценки корреляционной функции, умноженной на выделяющую функцию [c.8]

Gx(nAf) — дискретная оценка спектральной плотности мощности Gx f) g f) — весовая функция [c.8]

Для эргодических случайных процессов случайная функция /Сж(т ) [см. формулу (3-5)] представляет собой состоятельную оценку корреляционной функции Кх х). Поэтому, принимая за основу определение спектральной плотности мощности в форме (3-9), можно за оценку спектральной плотности взять случайную величину [c.68]

Любое из определений (3-7) — (3-9) может служить основой для построения оценок спектральной плотности мощности. Рассмотрим простейшие из этих оценок и их основные свойства. [c.59]

Принимая за исходное уравнение (3-7), естественно в качестве оценки спектральной плотности мощности взять случайную величину [c.60]

Это — очень важный результат, который лежит в основе построения состоятельных оценок спектральной плотности мощности. Далее, при fi=f2,=f из формулы (3-20) [c.72]

Уравнение (3-15) очень важно. Из него следует, что выбор параметров Д/ и Г при определении оценки спектральной плотности Ох(/) по непрерывной реализации случайного процесса, когда Д/ и Г конечны, требует ком-62 [c.62]

Отправляясь от определения спектральной плотности, данного в формуле (3-8), можно предложить в качестве оценки спектральной плотности мощности случайную величину [c.63]

Из соотношения (3-20) следует, что интервал корреляции по частоте оценки спектральной плотности мощности составляет величину примерно Т при fi fz случайные величины Gx(fi) и x(h) с увеличением Т становятся все менее коррелированными, т. е. [c.72]

Состоятельные оценки спектральной плотности [c.73]

Вычисление оценки спектральной плотности по оценке корреля> ционной функции возможно тремя различными способами [c.169]

Чтобы уменьшить эту погрешность, нужно выбирать а((о) малым на тех участках, для которых велика дисперсия оценки спектральной плотности. Величина Ji обращается в нуль, если а (со) и D(m) взаимноортогональны. Однако особенности этих функций [c.176]

Смещенность оценок спектральных плотностей Gxx(f) и Gxy(f), вызванная недостаточным разрешением по частоте, сказывается в основном на виде пиков и впадин оцениваемой амплитудной характеристики. Ошибки такого рода подробно рассмотрены в гл. 11, а в разд. 3.4.3 приведена их сводка. Избавиться от них можно путем выбора подходящего разрешения при оценивании спектральных плотностей, т. е. максимальное разрешение по частоте Ве должно быть достаточным для четкого и полного выявления спектральных пиков и впадин. [c.114]

В работе [11.2] получена также формула для дисперсии оценки G y(f)l модуля Озд(/) взаимной спектральной плотности при вычислении ее по па парам отрезков реализаций xit) и г/(I), каждая из которых имеет общую длину To6m=ndT. При этом предполагается, что обе реализации принадлежат процессам, спектры которых в пределах интервалов Af=lfT можно считать примерно постоянными, x t) и y t) имеют двумерное нормальное распределение. При этих условиях формула для дисперсии оценки спектральной плотности имеет вид [c.281]

Де к — число независимых спектральных составлйюЩИХ, укладывающихся в интервале усреднения, можно принять в качестве оценки спектральной плотности мощности на частоте, расположенной в центре интервала усреднения. При этом смещением новой оценки можно пренебречь, дисперсия же ее при увеличении Т стремится к нулю. Объясняется это следующим. 6 интервале усреднения А/ размещается много спектральных составляющих Gx fi), разделенных интервалом корреляции, который согласно (3-20) составляет примерно 1/7 . В первом приближении эти составляющие можно считать некоррелированными, а для нормальных процессов — независимыми. Поэтому относительная дисперсия новой оценки должна уменьшиться в к раз, а к пропорционально Т. [c.74]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология