Ковариационная функция

Метод наименьших квадратов (МНК). Обычный вариант многомерного взвешенного МНК сводится к оты-сканию минимума суммы квадратов, т. е. минимизации ковариационной функции вида [c.198]

Важнейшие предположения о временных рядах заключаются в том, что соответствующий случайный процесс является стационарным и может быть адекватно описан с помощью младших моментов его распределения вероятностей Младшие моменты включают в себя среднее значение, дисперсию, ковариационную функцию и преобразование Фурье ковариационной функции — спектр мощности. Другой подход к вышеизложенной проблеме основывается на [c.17]

Отметим, что yxx t , 1) =a (tl) Заметим также, что ковариационная функция временного ряда имеет те же свойства, что и ковариация между двумя случайными величинами Х1 и Х2 (эти свойства мы перечислили в разд 3 2 2) [c.182]

Стационарность и ковариационная функция [c.182]

Там, где это не может принести к недоразумениям, мы будет использовать более простые термины ковариационная функция и корреляционная функция — Прим перев [c.182]

Ковариационная функция Из предположения стационарности сразу следует, что ковариационная функция xx(ti, ti) зависит только от и = 2—и, следовательно, ее можно записать в виде [c.185]

Смещение и называется запаздыванием. Ковариационная функция показывает, как изменяется зависимость между соседними значениями случайного процесса в зависимости от запаздывания и Если X f) имеют многомерную нормальную плотность, то ковариационная функция и среднее значение полностью характеризуют процесс, как отмечалось в разд 3 1 5 [c.185]

Используя (5 14), получаем, что ковариационная функция процесса Хг равна [c.189]

Широкое применение ковариационной функции или спектральной плотности в технических задачах основано на том, что знание любой из этих функций достаточно для синтеза линейных фильтров или линейных систем регулирования с минимальной среднеквадратичной ошибкой для случаев, когда рассматриваемые сигналы искажаются шумом Теория синтеза систем с минимальной среднеквадратичной ошибкой была впервые разработана Винером [4] Она сыграла важную роль в развитии современной теории управления и теории связи [c.189]

Если ковариационные функции процессов Х( ) и У(/) известны точно, то можно воспользоваться винеровским критерием минимума среднеквадратичной ошибки Этот критерий утверждает, что функция /г(и) должна быть выбрана так, чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку шумовой компоненты, т е [c.190]

Отсюда среднеквадратичная ошибка полностью определяется ковариационными функциями Ууу(О). Ухг и), ухх(и) и откликом на единичный импульс Л (и). [c.191]

Основная мысль этого раздела заключается в том, что линейная система, дающая наилучшую аппроксимацию к данному процессу, полностью определяется ковариационными функциями хх(и) и Уху (и) В этом одна из причин широкого использования этих функций. [c.192]

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ И КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИИ [c.192]

В этом разделе выводятся свойства корреляционной и ковариационной функций Взаимную ковариационную функцию уху и), введенную в разд 5 1 5, мы будем подробно обсуждать в гл. 8 [c.192]

В общем случае случайный процесс X( ) имеет ковариационную функцию [c.192]

Корреляционная и ковариационная функции 193 [c.193]

Один выход из этой трудности заключается в том, чтобы определить чисто случайный процесс для непрерывного времени, или белый шум, как процесс, который состоит целиком из некоррелированных смежных импульсов Таким образом, его ковариационная функция будет равна [c.194]

Корреляционная и ковариационная функции 195 [c.195]

Отсюда ковариационная функция выхода равна [c.195]

Если процесс Z t) стационарен и имеет ковариационную функцию zz(u), то (5 2 8) сводится к [c.195]

Подставляя в (5.2 9) вместо yzz(u) ковариационную функцию белого шума (5 2 5), получим [c.195]

Следует отметить, что дельта-функция в выражении (5 2 5) для ковариационной функции белого шума является существенной частью, а не просто служит параметром расположения Это означает, что дисперсия действительно бесконечна и ковариация между сколь угодно близкими значениями действительно равна нулю. Для того чтобы физически сколь угодно близкие значения [c.197]

Из (5.2 11) при фиксированном т получаем, что ковариационная функция процесса У( ) равна [c.198]

Процессы скользящего среднего конечного порядка полезны во многих областях, например при прогнозе поведения эконометрических систем и систем управления Однако наиболее полезны они в сочетании с процессами авторегрессии, которые будут введены в следующем разделе. Из (5 2 17) получаем, что ковариационная функция процесса скользящего среднего конечного порядка (5.2 23) равна нулю при k> I. Рассмотрим, например, процесс скользящего среднего второго порядка [c.199]

Из (5.2 17) получаем, что ковариационная функция процесса Xt равна [c.199]

Корреля ионная и ковариационная функции 205 [c.205]

ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ [c.210]

В разд 5 I 5 было показано, что обладающую наименьшей среднеквадратичной ошибкой оценку функции отклика некоторой системы на единичный импульс можно было бы выразить через ковариационные функции входа и выхода. На практике невозможно знать эти ковариационные функции точно, и, следовательно, необходимо оценивать их по записям конечной длины [c.210]

В разд 5 3 1 будут выведены выборочные оценки наименьших квадратов для функции отклика на единичный импульс в случае, когда в распоряжении имеются конечные записи входа и выхода. Будет показано, что результаты получаются аналогичные тем, которые были выведены в разд 5.1 5, с той разницей, что теоретические ковариационные функции заменяются их выборочными оценками. Кроме того, будет показано, что этот подход приводит к вычислению по данным таких функций, которые являются естественными выборочными оценками авто- и взаимных ковариационных функций В разд. 5 3 2 определяются другие выборочные оценки [c.210]

Оценивание ковариационных функций 211 [c.211]

Это наводит на мысль определить выборочную оценку взаимной ковариационной функции следующим образом. [c.212]

Оценивание ковариационных функций 213 [c.213]

После того как 5 выражена через выборочные оценки ковариационных функций или выборочные ковариационные функции, выбо- [c.213]

В этой главе мы рассмотрик основные понятия теории временных рядов Наиболее важными среди них являются понятия случайного процесса, стационарного процесс , линейного стационарного процесса и ковариационной функции стационарного процесса. В разд 5 1 показано, что для описания статистической природы наблюденного временрого ряда нужно рассматривать его как элемент абстрактного мг жества функции, называемого случайным процессом Простейшие, типом случайного процесса является линейный процесс, котс ыч можно получить в результате линейной операции над чисто случайным процессом Большое практическое значение имеют два частных случая линейного процесса процесс авторегрессии и процесс скользящего среднего В разд 5 2 показано, что стационарный случайный процесс общего типа удобно описывать с помощью его ковариационной функции, в то время как линейный сгационарный процесс лучше всего описывается его параметрами. В разд 5 3 рассматривается оценивание ковариационной функции по наблюдаемому временному ряду, а в разд 5 4 — оценивание параметров процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.175]

В предыдущих разделах обсуждены простые способы описания временных рядов с помощью их младших моментов Важнейшим из этих моментов является корреляционная функция Одно из многих применений корреляционной функции состоит в том, что она служит источником исходных идей при построении вероятностной модели механизма, породившего временной ряд В следующей главе будет показано, что временной ряд можно описать совершенно эквивалентным образом с помощью его спектральной плотносги, являющейся преобразованием Фурье от ковариационной функции [c.189]

Если т->0, то YJfJf(w) стремится к а б( )—ковариационной функции белого шума Следовательно, белый шум можно представлять себе как несобственный случайный процесс, являющийся [c.199]

Примером непрерывного процесса скользящего среднего конечного порядка является процесс Y(t), использованный при выводе процесса Башелье—Винера, для которого ковариационная функция (5.2.22) равна нулю при и >т. [c.200]