Случайный процесс эргодический

Пусть теперь реализации стационарного эргодического случайного процесса имеют вид д (0 =я(0+ (0> где n t)—гауссовский случайный шум, а s t) —гармонический процесс, s t) = = S sin (2яД4- 6) >. Плотность вероятности этого процесса рав- [c.47]

Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса для фиксированного значения сдвига аргумента 0 равна математическому ожиданию произведения х(п)х п — 0). Ее оценка для момента времени п может быть получена по рекуррентной формуле [c.197]

Спектральная плотность двух реализаций х 1) и у 1) стационарных эргодических случайных процессов д (0 и у )) оп- [c.60]

Пусть i (x) — корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса и 1) на входе линейной системы [c.322]

Для эргодического стационарного случайного процесса в качестве математического ожидания обычно принимают [8] среднее по времени значение реализаций при достаточно большом интервале ее записи (О, [c.476]

Ниже. будут рассмотрены стационарные эргодические случайные процессы. [c.157]

Как показано в работе [24], оценки автокорреляционных функций для большинства технологических процессов нефтепереработки можно вычислять по формулам для эргодических и стационарных случайных процессов. Для этого в пределах интервала времени от О до Г необходимо получить п значений параметра [c.46]

Случайный процесс s t) —не эргодический, но к выводу формулы (2,35) этот факт отношения не имеет.— Яриж. перев. [c.47]

Пусть теперь интересующие нас данные являются результатами измерения двух случайных процессов ( ) и г/ ) в непрерывном времени, которые предполагаются стационарными и эргодическими, так что их можно описать индивидуальными реализациями x t) и у 1). Введенное в предыдущем разделе понятие корреляции можно применить и в этом случае, если только ввести дополнительную переменную т — запаздывание у 1) относительно x t). Как уже отмечалось в гл. 1, в зависимости от условий задачи вместо времени может фигурировать любая другая независимая переменная, например расстояние. [c.58]

Рассмотрим сначала гармонический процесс, реализация которого показана на рис. 3.8, а. Его можно представить как стационарный эргодический случайный процесс с реализациями [c.69]

Уравнение (3.18) дает несмещенную оценку ковариационной функции стационарного эргодического случайного процесса x(t)) по одной выборочной функции x(t), O i r, а именно [c.79]

Спектральные плотности можно оценивать, применяя финитное преобразование Фурье либо к ковариационным функциям на основе формул (3.29) и (3.30), либо непосредственно к реализациям случайного процесса с использованием формул (3.46) и (3.47). С момента появления в 1965 г. алгоритмов быстрого преобразования Фурье ([3.2] последний подход стал преобладающим. При таком подходе на практике операцию нахождения математического ожидания в уравнениях (3.46) и (3.47) нужно выполнять путем оценивания спектральных величин для каждого набора реализаций, а затем полученные результаты усреднять по всем наборам. В случае стационарного эргодического случайного процесса требуемые наборы реализаций можно получить из одной реализации путем разбиения ее на части нужной длины (рис. 3.16). Если имеется набор из па таких реализаций Xk(t), (к—1)Г Г, =1, 2,. .., па, стационарного эргодического случайного процесса х(1) . то оценка спектраль- [c.81]

Допустим, что на вход системы (рис. 4.1) поступает реализация хЦ) стационарного эргодического случайного процесса х(1) , определенного в разд. 1.1. После затухания переходных [c.88]

Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом, показанную на рис. 5.1, где x(t) и y(t) — реализации стационарных эргодических случайных процессов, наблюдаемые одновременно на конечном временном интервале Согласно формуле (5.1), оптимальная оценка частотной характеристики системы имеет вид [c.112]

Эта глава посвящена выводу основных соотношений между процессами на входе и выходе многомерных систем. Предполагается, что на вход системы поступают реализации стационарных (эргодических) или переходных случайных процессов с нулевыми математическими ожиданиями, а системы линейны и имеют постоянные параметры. [c.198]

Чтобы лучше понять общий случай системы с q входными процессами, рассмотрим сначала показанную на рис. 10.1 систему, на вход которой поступают два стационарных эргодических или переходных случайных процесса. Предполагается, что входные процессы коррелированы друг с другом, но корреляция не идеальна, так что 0[c.247]

При вычислениях по этим формулам на цифровой ЭВМ частота / принимает дискретный набор значений с шагом Д/ = 1/Г. Предполагается, что x t) и y t) являются реализациями стационарных эргодических или переходных случайных процессов, так что моменты распределения вычисляются усреднением по ансамблю. Двусторонние спектральные плотности [c.254]

Яй-Такие модели могут быть использованы также для оценивания всех условных спектров и функций частной и множественной когерентности, перечисленных в разд. 10.3. В данном разделе описан метод моделирования. На практике все вычисления проводятся по дискретным аппроксимациям соответствующих формул. В соответствии с формулой (10.8) элементы спектральной матрицы (10.81) в случае стационарного эргодического случайного процесса задаются равенствами [c.272]

В этой главе рассматриваются ошибки оценок статистических характеристик случайных процессов. Предполагается, что обрабатываемые данные представляют собой реализации стационарных эргодических или переходных процессов и анализ производится на цифровой ЭВМ. Полученные результаты касаются оценок различных зависящих от частоты характеристик линейных систем с одним или несколькими входными процессами. К ним относятся спектральные и взаимные спектральные плотности, функции обычной, частной и множественной когерентности, когерентный спектр выходного процесса, оптимальные амплитудная и фазовая характеристики и другие связанные с ними функции. [c.277]

Рассмотрим реализацию х 1), принадлежащую стационарному эргодическому случайному процессу л ( ) . Оценка бхх спектральной плотности Охх(П есть оценка среднего квадрата х 1) компонент процесса, принадлежащих интервалу частот от f—(Ве/2) до f- - Be/2), который отнесен к ширине интервала Ее. Величину е не следует смешивать с полной шириной спектра В. Ширина частотного интервала Ве эквивалентна разрешению по частоте А =1/Т при численном оценивании спектральной плотности (см. разд. 3.4.2). Оценка спектральной плотности имеет вид [c.278]

Для эргодических случайных процессов случайная функция /Сж(т ) [см. формулу (3-5)] представляет собой состоятельную оценку корреляционной функции Кх х). Поэтому, принимая за основу определение спектральной плотности мощности в форме (3-9), можно за оценку спектральной плотности взять случайную величину [c.68]

Таким образом, всегда возникает задача определения погрешности измерения непосредственно по данным нормальной эксплуатации. При этом сама измеряемая величина изменяется от одного измерения к другому случайным образом, и ее изменение во времени представляет собой стационарный (в широком смысле) и эргодический случайный процесс, характеризуемый постоянным математическим ожиданием [c.121]

Для стационарного и эргодического по отношению к среднему и корреляционной функции случайного процесса X (/) [c.50]

В общем случае за оценку среднего значения стационарного эргодического случайного процесса Х(/) можно принять случайную величину [c.114]

Пусть Х 1) —стационарный случайный процесс. Обозначим через Р действительное значение неизвестного параметра случайного процесса X(t). Эта вероятностная характеристика случайного процесса представляет собой неслучайную величину или неслучайную функцию. Теоретически она определяется усреднением по бесконечно большому числу реализаций случайного процесса или усреднением по времени одной реализации бесконечной длительности (в случае стационарного эргодического процесса). Практически же количество используемых исследователем реализаций и их длительность всегда конечны. Поэтому любая вероятностная характеристика, полученная в результате обработки одной или нескольких реализаций случайного процесса, является случайной величиной или случайной функцией. Эту экспериментальную характеристику случайного процесса называют оценкой соответствующей вероятностной характеристики Р. Оценку параметра Р случайного про- [c.51]

При экспериментальном определении вероятностных характеристик случайного процесса весьма желательно использовать состоятельные оценки, которые позволяют судить об исследуемой вероятностной характеристике по результатам обработки одной реализации. Для стационарного процесса Х 1), эргодического по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции, построение состоятельных оценок среднего, среднего квадрата, дисперсии, корреляционной функции не представляет особых трудностей. В частности, было показано (см. (1-17)1, что случайные величины [c.53]

При анализе стационарных эргодических случайных процессов задача исследования заключается не в передаче дискретных значений непрерывной реализации с последующим восстановлением формы этой реализации, а в определении вероятностной характеристики. В этом случае теоретически определяемая усреднением по множеству вероятностная характеристика заменяется оценкой, получаемой усреднением по времени. При временном усреднении сильно коррелированные отсчеты реализации бесполезны, более того, они увеличивают объем вычисления и повышают требования к быстродействию вычислительного устройства. Поэтому целесообразно использовать при обработке лишь слабо коррели-112 [c.112]

В случае произвольной выборки для непрерывного параметра задержки за оценку корреляционной функции стационарного эргодического случайного процесса Х 1) с нулевым средним принимают случайную функцию [c.115]

Спектральную плотность мощности определяют с помощью устройств, называемых анализаторами спектра или спектроанализаторами. Оценки спектральной плотности мощности эргодического стационарного случайного процесса получают одним из трех методов. [c.174]

Как уже отмечалось, в случае стационарного эргодического случайного процесса ХЦ) спектральная плотность мощности может быть определена по формуле (2-42). Эта формула служит теоретической основой вычисления оценок спектральной плотности мощности, т. е. аппаратурного спектрального анализа методом фильтра- [c.174]

Основные характеристики стационарного случайного процесса, обладающего эргодическим свойством, по одной длительной реализации находят следующим образом. Вся реализация длительностью Тп разбивается на п равных участков длиной Д/ (рис. 72), Интервал разбиения (или шаг дискретизации) Д/ можно выбрать с учетом следующих соотношений, рекомендуемых в случае нормального распределения ординат случайного процесса при различных I [6] [c.167]

Согласно выражению (5-7) для экспериментального определения спектральной плотности мощности стационарного эргодического случайного процесса, т. е. для вычисления точечной оценки спектральной плотности мощности, необходимо исследуемую реализацию пропустить через узкополосный фильтр, выходной сигнал фильтра возвести в квадрат и результат усреднить за достаточно большой интервал времени [Л. 6, 7, 46, 63, 81, 89]. [c.177]

На рис. 5-1 представлена структурная схема измерительного устройства для определения спектральной плотности мощности стационарного эргодического случайного процесса на частоте fo методом фильтрации. При использовании этого метода предполагается, что сигнал х 1) подан на вход анализатора в течение времени Ту, большого по сравнению с постоянными времени всех 12—491 177 [c.177]

Используя свойства стационарного эргодического случайного процесса, можно-записать [c.210]

Способ разбиения реализации на участки, вычисления для каждого из участков укороченной оцениваемой характеристики с последующим усреднением результатов по всем имеющимся участкам, т. е. фактически по времени, является общи.м и широко используется для получения состоятельных спектральных оценок стационарных эргодических случайных процессов. [c.229]

А.6. Случайные процессы и корреляционные функции эргодические процессы [c.469]

Математическое ожидание стационарного эргодического случайного процесса можно измерить, воспользовавшись схемой, представленной на рис. 1.2. При периодическом отсчете показаний ключом 1 к схеме подключают интегратор на время (/о—Г/2). .. (/о+Г/2), клю- [c.14]

Аппаратурный спектральный анализ (АСА) случайных процессов связан с дополнительными трудностями, поскольку и для эргодических стационарных случайных процессов нельзя получить эффективную и состоятельную оценку энергетического спектра (ЭС) G(u)) в точке частотной оси, даже увеличив длительность реализации 86 [c.86]

Оценку ЭС эргодического стационарного случайного процесса, полученную по одной реализации конечной длительности (неудачно называемую иногда периодограммой) можно записать [c.87]

Второй способ введения спектральных плотностей — это не посредственное преобразование Фурье случайных процессов. Пусть д (/) и г/( ) --два стационарных эргодических случай-нь1х процесса. Финитные преобразования Фурье к-х реализаций, длины Т каждого процесса определяются в виде [c.65]

Исследование входных и выходных процессов систем — глав-гная область применений спектрального и корреляционного анализа к инженерным задачам. В этой главе выведены основные -соотношения для систем с одним входом и одним выходом. Предполагается, что на вход системы поступают реализации Стационарного эргодического или переходного случайных процессов с нулевым средним, а система линейная и имеет постоянные параметры (см. гл. 1). Аналогичные соотношения для систем со многими входами и выходами выводятся в гл. 7, 8 и 10. [c.88]

Аналогичные рассуждения можно провести и для взаимной спектральной плотности мощности Gxvif) = xv(f)—iQxy(f). Составляющие взаимной спектральной плотности xy f) и Qxtf(/) для стационарных, стационарно связанных и обладающих эргодическим свойством по отношению к взаимной корреляционной функции случайных процессов Х(<) и Y t) можно определить из соотношений [c.50]

Рассмотрим дискретные оценки среднего и корреля-тдионной функции стационарного эргодического случайного процесса X t), получаемые по отсчетам реализаций х () и гф =хфх (—т) соответственно длительностью T = NAt = NlAtu где At — интервал отсчетов N+l .N — число этих отсчетов А 1 — интервал выборки М1—ЫА11А1 =К1д — объем выборки-, д=Аи М — целочисленный параметр, характеризующий соотношение между интервалом отсчетов и интервалом выборки или степень разрежения отсчетов при усреднении. [c.113]

Оценки характеризуются [3, 67, 79] состоятельностью, смещенностью и эффективностью. Состоятельная оценка по мере увеличения объема обрабатываемого статистического материала (количества реализаций случайного процесса или длительности реализации стационарного эргодического случайного процесса) с вероятностью, стремящейся к единице, приближается к характеристике процесса. Оценку называют несмещенной, когда среднее значение оценок для разных реализаций процесса стремится к характеристике процесса. Оценка называется эффективной, если средний квадрат ошибки (разности этой оценки и характеристики процесса) не больше среднего квадрата ошибки других оценок. [c.11]

Экспериментальное измерение числовых характеристик (для сокращения далее просто характеристик) связано с трудностями, вызванными тем, что априорно неизвестно, стационарен и эргодичен ли исследуемый случайный процесс и, следовательно, допустима ли замена осреднения по ансамблю реализаций осреднением по времени. Реальные случайные процессы обычно близки к эргодическим, и одна из задач аппаратурного анализа— выяснить, стационарен или нестационарен исследуемый процесс. Для нестационарных случайных процессов возникает дополнительная задача — определить закон изменения (нестационарности) измеряемой характеристики. Отложив рассмотрение этого важного вопроса до следующего параграфа, рассмотрим некоторые особенности измерения числовых характеристик случайных процессов. [c.14]

Практически в каждом приборе для измерения аппаратурных характеристик случайных процессов должно быть осредняющее (сглаживающее) устройство — интегратор (рис. 1.2). В реальных условиях аппаратурного аяализа интервал осреднения интегратора конечен, поэтому результаты осреднения по ансамблю и во времени на конечном интервале даже для стационарных и эргодических случайных процессов отличаются. Особенностью аппаратурных характеристик случайных процессов (точнее, их реализаций) является конечный временной интервал осреднения. Осредняющее действие интеграторов рассматривалось во многих работах, например, [3, 35, 40, 70]. Для стационарных случайных процессов [c.16]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология