Собственные функции частицы в ящике

Частица в прямоугольном потенциальном ящике. Рассмотрим свободное движение частицы внутри ящика кубической формы с идеально отражающими стенками. Внешнее поле внутри ящика отсутствует и потенциальная энергия частицы постоянна. Примем, что внутри ящика и (х, у, 2) = 0. Стенки ящика представляют потенциальный барьер бесконечной высоты, так что на стенках происходит скачок потенциала от м = О до и = оо. Поэтому вероятность нахождения частицы впе ящика равна нулю вне ящика -ф = 0. Найдем допустимые значения энергии и собственные функции частицы, движущейся внутри куба, длина ребра которого равна I (V = Я). Масса частицы т. [c.151]

Таким образом, снова, как и в задаче с потенциальным ящиком, нулевая энергия тем больше, чем в меньшем объеме оказывается частица. В основном состоянии п = 0) наиболее вероятно, согласно уравнению (XXI.5), частицу найти в точке х = 0. Классическим аналогом этого состояния является состояние покоя. Квадрат собственной функции для состояния, отвечающего п = 1 [c.436]

Полученный результат имеет общее значение. Квантовомеханическое рассмотрение различных случаев движения микрочастиц в ограниченной области пространства (например, в атоме, молекуле и т. п.) показывает, что волновая функция частицы всегда содержит безразмерные параметры, которые могут принимать ряд целочисленных значений. Эти величины называются квантовыми числами. Количество содержащихся в рещении квантовых чисел равно числу степеней свободы частицы. Числом степеней свободы называется число независимых слагающих движения частицы. Так, в одномерном потенциальном ящике частица имеет только одну степень свободы в случае поступательного движения в пространстве она обладает тремя степенями свободы — движение возможно в направлении каждой из трех координат х, у я г если частица при этом может вращаться вокруг собственной оси, то появляется четвертая степень свободы и т. д. [c.35]

Найдите величину Е, соответствующую каждой функции. б) Установите, будут ли эти функции собственными функциями оператора момента количества движения Если это так, то найдите собственное значение, если нет, то объясните, почему более одного момента соответствует одной функции. Частица с массой т заключена в одномерный ящик с началом координат в центре ящика. Ящик ограни- [c.158]

Для того чтобы найти число возможных решений для-всей системы, необходимо сначала определить число способов распределения я, частиц между g собственными функциями без ограничения числа частиц, относящихся к каждой частной функции. Результат можно получить следующим образом. Представим себе ящик, разделенный при помощи — 1 [c.168]

Рассмотрим частицу в ящике с периодическими граничными условиями (с граничными условиями Борна — Кармана). Покажите, что существуют собственные функции гамильтониана, являющиеся одновременно и собственными функциями импульса р, которые, следовательно. [c.139]

Существуют экспериментальные доказательства того, что частицы обладают собственным механическим моментом (если частица заряжена, то с ненулевым механическим моментом связан и ненулевой собственный магнитный момент). Величина собственного (спинового) момента количества движения равна Ув (в + 1)Й, где спин з — целое (включая нуль) или полуцелое положительное число, определяемое природой частицы. Для большинства элементарных частиц (электроны, протоны, нейтроны и др.) 5 = 1/2 для фотона 5=1 для я - и К-мезонов 8 = 0. Проекция собственного момента количества движения частицы на фиксированную ось г определяется как т Й, где /и, — одно из значений в ряду —5, —5 + 1..... — 1,8. Если з = 1, то возможные значения есть —1 О 1 если 5 = 1/2, то т, может принимать два значения —1/2 и 1/2. Внутреннее состояние частицы данного типа может отличаться по значению переменной Таким образом, полное квантовомеханическое состояние частицы определится заданием волновой функции гр ( с, у, г) и спинового числа т,. Для частицы, движущейся в потенциальном ящике, требуется задать квантовые числа Пх, пу, и спиновую переменную т, — всего четыре переменных. Возможны 28 + 1) состояний с заданной функцией гр (л , у, г), отличающихся по ориентации спина (переменной т ). [c.157]

Если в общем случае вырождение или статистический вес г-того уровня равен g , то общее число собственных состояний для группы из j элементов равно числу способов, кото]р ш можно распределить п,- элементов по gi волновым функций . В связи с тем, что полная собственная функция в статистике Бозе—Эйнщтейна должна быть симметрична, ограничения чИойа элементов, связанных с каждой данной функцией, отсутствуют. Искомое число различных способов размещения равно числу способов размещения неразличимых частиц в ящике, разделенном на gi отделений, причем число частиц в каждом отделении не ограничивается. Пусть ящик разделен gi — i перегородками на отделений. Тогда все /г частиц оказываются распределенными по этим отделениям. Общее число перестановок П частиц и g,- —1 перегородок равно (ге —1) . Поскольку все щ частиц являются неразличимыми, перестановки самих частиц не приводят к новым состояниям. Поэтому общее число перестановок надо еще разделить на щ1. Далее, перестановки — 1 перегородок не изменяют того обстоятельства, что число отделений равно попрежнему Следовательно, необходимо разделить общее число перестановок еще на (g,- —1) . Число способов распределения Tii частиц по gj отделениям равно тогда числу различных собственных состояний в любой группе, содержащей элементов. Это число способов равно [c.386]