Собственные функции полные

Рассмотрим теперь более детально, что представляют собой энергетические уровни многоэлектронного, атома. Слэтеровский детерминант, составленный из спин-орбиталей, является Л -электронной функцией, удовлетворяющей принципу Паули и соответствующей определенным проекциям Л -электронных орбитального и спинового моментов, определяемых квантовыми числами М и М . Однако однодетерминантная волновая функция необязательно будет собственной для операторов квадрата полного орбитального и полного спинового моментов. Собственные функции этих операторов представляются линейными комбинациями детерминантов Слэтера, соответствующих одним и тем [c.95]

Как уже отмечалось, точное решение уравнения Шредингера получить невозможно, а среди приближенных способов важная роль принадлежит разложению по базисам. Ранее (см. гл. 2, 2) были построены базисные функции (слейтеровские детерминанты), которые отражают лишь свойства антисимметрии полной волновой функции. Продвинемся на один шаг дальше и построим такую систему базисных функций Фs,Ms, (р) > каждая из которых была бы не только антисимметричной, но и собственной функцией операторов 8 и 8 . Для этого рассмотрим полную систему ортонормированных функций 1Рр(т), например систему собственных функций [c.67]

Необходимо несколько подробнее рассмотреть свойства этого уравнения. Прежде всего заметим, что если волновая функция есть собственная функция полного оператора Гамильтона [c.43]

Мы приходим к заключению, что система собственных функций полна. Кроме того, отсюда следует, что собственные значения действительны и что любые два собственных вектора ортогональны в терминах скалярного произведения (5.7.4). Для дискретных собственных значений собственные векторы можно нормировать, так что [c.123]

Другими словами, Р ф) [а значит, и полная волновая функция 1])(0, ф)] есть собственная функция оператора г, принадлежащая собственному значению МН. Этот вывод тоже является общим для квантовомеханической задачи об угловом моменте. Всякая приемлемая волновая функция для системы, находящейся в стационарном состоянии, должна быть собственной функцией полных операторов Р и 1г для этой системы. Если система обладает сферической симметрией, то соответствующие уравнения на собственные значения имеют вид уравнений (3.72) и (3.74). [c.54]

Неограниченный метод Хартри — Фока имеет недостаток, который состоит в том, что функция (1.98) не является собственной функцией полного спина S = V2, а представляет смесь функций, соответствующих различным значениям S = V2, /г (2iV- -1)/2. [c.41]

Теперь очень легко непосредственно проверить, что если спиновые функции 01 и 0 2 являются спиновыми собственными функциями своих электронных групп с собственными значениями Л11=31 и Л12=52, то произведение этих функций будет спиновой собственной функцией полной системы. Это очевидно для оператора г-компоненты спина, так как [c.89]

Примечание. Кроме вопроса о том, является ли набор собственных функций полным, на практике часто приходится сталкиваться со следующим вопросом. Предположим, для определенного оператора У имеется возможность определить множество решений (5.7.1). Необходимо узнать, представляют ли они все возможные решения. Для финитной матрицы У на этот вопрос можно ответить, подсчитав число найденных линейно независимых векторов Длл некоторых задач в бесконечномерном гильбертовом пространстве можно непосредственно показать, что найденные решения образуют полный набор (см., например, 6.8). Обычно предполагают, что любой разумный систематический метод вычисления собственных функций позволяет найти все функции. Но в некоторых задачах в виде исключения появляются одна или несколько дополнительных собственных функций. [c.124]

Но перевод атома в валентное состояние не сводится только к его возбуждению (промотированию). Следует учесть также неопределенность в ориентации спинов неспаренных электронов, участвующих в образовании химических связей. А если говорить точнее, то необходимо принять во внимание, что волновая функция валентного состояния атома не является собственной функцией операторов квадрата полного спина атома (5 ) и его проекции на ось квантования 2 Зг) — равно как она не является и собственной функцией операторов квадрата полного орбитального момента количества движения ( ) и его проекции [c.172]

Исключение составляют два оператора - полный орбитальный момент количества движения Ь и полный спиновой момент количества движения 8. Они симметричны, коммутируют между собой, с оператором Но и поэтому могут быть использованы для классификации базисных состояний конфигурации. Особое значение такой классификации связано с тем, что операторы Ь и 8 коммутируют не только с оператором Но, но и с оператором кулоновского взаимодействия электронов. Любой базис конфигурации, в котором операторы и 8 оказываются диагональными, носит название схемы А5-связи, здесь конфигурация представляет собой прямую сумму Г/, 5-подпространств совместных собственных функций операторов и 8 . Схема 15ч вязи - это такой базис конфигурации, который получается объединением базисов, представляющих подпространства Г/,5. На базис / 5 никаких ограничений не наклады- [c.130]

Полную волновую функцию линейной молекулы представим, как и ранее, в виде детерминанта Слэтера, составленного из МО, являющихся собственными функциями оператора (для простоты воспользуемся однодетерминантным приближением). В цилиндрической системе координат эти МО примут вид [c.193]

Легко также получить р зличные ядра Р г г, Е) по собственным функциям ф (г, Е). Как н в односкоростном приближении, принимаем, что система собственных функций ф, (г, )—полная. Отсюда следует, что можно получить выражение для А (г, Е) в виде [c.362]

В данном случае представляет интерес рассмотреть подробнее полную систему собственных функций Р (г) реактора без отражателя, для которого Р о(г) представляет низшую составляющую. Эти функции являются решениями уравнения [ср. с уравнением (8.236)] [c.576]

Второй способ построения канонического базиса заключается в следующем. Найдем все решения уравнения 3 + р =0. Они образуют некоторое подпространство ЗС+. Согласи (1.36), если tp G К+, то i+(Ja ) = = (J3J+ - J+)I3 и, следовательно, JsV G 3f+. Рассмотрим сужение J3 на ЭС+ и найдем в пределах ЗС+ полную ортонормированную систему его собственных функций ipy//. Для каждой функции этой системы строим [c.16]

Таким образом, у операторов Н и% есть общая полная система собственных функций. Собственные функции оператора Iz известны. Например, в цилиндрической системе координат они имеют вид Ат<р [c.37]

При построении волновой функции (2.41) имеется произвол в выборе функций Хр(о1,. .., ом). В частности, в качестве функций Ху(< 1, ом) можно взять собственные функции операторов 8 и 8г. В этом случае полная функция (2.41) будет автоматически собственной функцией 8 и 82, а свойства симметрии координатной функции определяются требованием антисимметрии полной функции (х1,. .., хм). С другой стороны, в качестве функций х ( 1, ом) можно взять собственные [c.63]

Сферическая симметрия атома будет учтена более полно, если конфигурация будет представлена базисом, состоящим из общих собственных функций операторов и Такие представления называют УМу-пред-ставлениями. [c.128]

Набор собственных функций операторов и 2, полный в пределах конфигурации, есть объединение несколько канонических цепочек (см. 128 [c.128]

Решение уравнения (4.2) представляет собой набор собственных функций 1р1, грг, 1 5з, , флг,. .. и соответствующих собственных значений еь в2, ез, .., вы. .. Функции г ) называются молекулярными орбиталями, е — орбитальными энергиями. С учетом принципа Паули полная волновая многоэлектронная функция Ф основного состояния записывается в виде [c.58]

В теории резонанса (Л. Полинга) молекула описывается квантово-механической суперпозицией нескольких структур. Так, собственная функция электронов бензола (бр-электронов, расположенных перпендикулярно плоскости кольца) описывается как линейная комбинация пяти функций, отвечающих пяти изображенным на рис. ХХП.З структурам. Можно показать, что они представляют собой полный набор независимых структур. [c.481]

Координатная часть полной собственной функции вращения является четной (содержит четные степени os б) для четных значений I и нечетной для нечетных. При обмене местами ядер угол 0 меняется на 180° и os 0 изменяет знак. Следовательно, координатная часть полной функции симметрична в отношении обмена ядер для четных значений I. Из требований антисимметричности [c.524]

Уравнение Шредингера — дифференциальное уравнение в частных производных и может иметь множество решений. Однако физический смысл имеют лишь те Ч -функции (так называемые собственные функции), которые удовлетворяют ряду условий. Во-первых, эти функции должны быть непрерывными, конечными, однозначными и обращаться в нуль на бесконечном расстоянии. Наложение перечисленных условий называется нормированием -функции . Во-вторых, собственным -функциям соответствуют не любые, а только дискретные значения полной энергии Е. Как дискретные значения энергии, так и вид собственных Т-функций определяются совокупностью квантовых чисел п, I, т, которые хотя и не содержатся в самом уравнении Шредингера, но вводятся в него при решении. Таким образом, квантование энергии естественно и неизбежно вытекает из коренных свойств материальных объектов и не нуждается в особом постулировании, которое было сделано И. Бором при разработке планетарной модели атома. [c.10]

Дозволенные решения уравнения Шредингера с соблюдением требований регулярности называются собственными функциями. Функция ф(г, О, ср)—[(п, I, ГП1)—полная собственная функция уравнения Шредингера. Она может быть как положительной, так и отрицательной. Однако наблюдаемые свойства зависят не от функции а от функции которая всегда положительна. [c.52]

Для построения собственных функций полных (и промежуточных) моментов нужно взять линейную комбинацшо по (ю) функций типа [c.37]

Каждой схеме Юига можно сопоставить несколько волновых функций. Поэтому, в общем случае, антисимметризованные волновые функции представляют собой линейные комбинанни произведений функций, относящихся к указанным схемам Юнга. Эти комбинации выбираются так, чтобы они бы,пи собственными функциями полного момента и других интегралов движения. [c.338]

Этот оператор коммутирует с Р и 3 , но не с М , или их составляющими. Поэтому собственные функции полного оператора Гамильтона не будут собственными функциями операторов М , 8 , М , Если, однако, член Н мал по сравнению с другими членами оператора Гамильтона, то уровни энергии полного оператора Гамильтона будут примерно совпадать с уровнями энергии приближенного оператора Гамильтона, ранее нами рассмотренного. Поэтому каждый терм расщепится на несколько энергетических уровней, энергии которых будут близки к энергии невозмущенного терма. Собственные функции, отвечающие этим уровням энергии, будут приближенно представлены линейными комбинациями -функций, отвечающих невозмущенным термам. [c.204]

Заметим, что существование непрерывной части спектра не при тиворечит теореме Эллиотта, так как 6i = 0 — естественная граница в смысле Феллера. Отметим также, что поскольку теорема Эллиотта неприменима, остается пока открытым весьма деликатный вопрос о том, образуют ли собственные функции полную систему в i[0, оо) или функции= р5(л )ф — в Li(0, оо). К этой важной проблеме мы еще вернемся в конце этого раздела. Все результаты относительно собственных значений и собственных функций УФП для модели Ферхюльста могут быть получены и другим способом [6.28], а именно решение задачи на собственные значения можно свести к решению уравнения Уиттекера с соответствующими граничными условиями. Действительно, полагая ) [c.199]

Собственные функции гамильтониана Й образуют полнуй ортонормированную систему. [c.68]

Как и отедует из теоремы о сложении моментов, оператор полного спина двухэлектронной системы представляет собой прямую сумму двух неприводимых моментов с весами О и 1. Строки матрицы и дают разложе1ше ортонормированных собственных функций 8 и 83 по базису. Таким образом, [c.29]

В трехэлектронной системе имеются два подпространства, соответ-ствующи.х S = /г, т.е. в разложении полного спина на сумму неприводимых моментов момент с весюм 5 = Уг встречается дважды. В многоэлектронной системе число неприводимых моментов с одним и тем же весом возрастает. Найдем число Д5, ЛГ), показывающее, сколько раз в полном спине Л -электронной системы будет встречаться неприводимый момент с весом 5 [18]. Базис для Л -электронной системы образуют всевозможные произведения Л юднозлектронных спиновых функций, каждая из которых есть либо а, либо Число таких базисных функций равно 2 . Рассмотрим одну из базисных функций, среди сомножителей которой функция а встречается р раз, а функция (3 встречается е раз, причем р + д = N. Очевидно, эта функция есть собственная функция 2-про- [c.31]

При наличии той или иной пространственной симметрии с оператором энергии будут коммутировать в дополнении к операторам 8 и 8 ряд других операторов. В этих условиях можно поставить задачу нахождения таких фукнций, которые бы явились собственными функциями всех коммутирующих операторов (см. гл. 3). Здесь сконцентрируем внимание на собственных функциях 8 и 8 . При рассмотрении этой задачи попутно выясним на первый взгляд странное обстоятельство оператор Гамильтона системы не зависит от спиновых переменных, тем не менее энергия многозлектронной системы зависит от полного спина системы 8. [c.63]

Пример , в качестве примера продолжим исследование конфигурации (пр) . В виде табл. 3.3 представлен полный список определителей, расклассифицированных по квантовым числам Л// , М - Выясним теперь, какие теоремы существуют в этой конфигурации и, пользуясь операторами понижения, построим все состояния, принадлежащие этим термам. Рассмотрим клетку с координатами М1 = = 2 и М5 = 0. Она содержит один определитель (1,2). Отсюда следует, что этот определитель и есть собственная функция и 8 с 1 = 2 и 5 = 0. Очевидно, что при действии операторов и 8 не меняются квантовые числа Л/ и Л/5. Поэтому = +1) (1,2). Квантовое число I не может быть меньше двух, так как L должно быгь больше Л/ , которое равно 2. Оно не может быть больше двух, так как функция (1,2) была бы не равна нулю и имела бы проекцию = 3, а такие состояния в конфигурации отсутствуют. Точно так же получаем, что 8 (1, 2) = 0. Таким образом, в конфигурации пр существует терм ) [c.137]

Переходим к построению термов для эквивалентных я-электронов. Функции (1, —1 ) и (1 , —1 ) являются соответственно собственными функциями оператора 87 с максимально и минимально возможными значениями проекций Л/5 = 1 и Л/5 = -1 полного спина, и собственными (триплетными) функциями оператора 8 . Остается построить триплетную функцию для Л/5 = 0. Для этого следует применить оператор 8 к функции (Г, -Г) или оператор 8+ к функции (1", -1 ). Имеем [c.204]

Среди собственных функций фй наименьшей энергии ооответствует одна МО фь Если, бы все электроны находились в состоянии ф1, полная энерпия, очевидно, была бы наименьшей. Можно ли считать, что все электроны системы находятся в состоянии ф1 —Да (с. 115). Нет (с. 167). [c.38]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология