Понтрягин

При решении вариационных задач классическими методами, как уже отмечалось выше, серьезные, а иногда и непреодолимые трудности возникают в тех случаях, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функций или когда на переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. Для решения таких задач иногда с успехом может быть использован метод, сформулированный и доказанный в работах Л. С. Понтрягина и его учеников , который получил название принципа максимума. [c.320]

Расчеты оптимальных условий проводятся математическими методами (вариационное исчисление, динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина) или часто различными методами направленного поиска [c.69]

В простейших случаях, когда целевая функция задана аналитически, используют классические методы нахождения экстремума методами дифференциального исчисления. При наличии ограничений типа равенств, наложенных на независимые переменные, используют метод множителей Лагранжа. В более сложных случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде функционалов, используют методы вариационного исчисления-, при оптимизации процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений, применяют принцип максимума Понтрягина. Используют также динамическое, линейное программирование и другие методы оптимизации. [c.38]

Существуют различные методы, в том числе и аналитические, позволяющие иногда при рассмотрении конкретных задач ответить на вопрос об эффективности нестационарного режима. Рассмотрим кратко эти методы. По аналогии с задачами оптимального управления решение задачи оптимизации циклического режима должно удовлетворять необходимым условиям оптимальности. Применительно к поставленной задаче был сформулирован принцип максимума Понтрягина [59, 60]. [c.289]

От недостатков общей схемы метода динамического программирования можно, однако, в значительной мере избавиться, используя аналитический метод поиска оптимума на каждой стадии. Именно этот способ будет применен к решению задач оптимизации цепочек реакторов, рассматриваемых ниже. Отметим, что основные расчетные формулы, которые получим, могут быть выведены не только с помощью метода динамического программирования, но и на основе дискретного варианта принципа максимума Понтрягина [18] или классических вариационных методов. [c.384]

Когда технологическая топология ХТС характеризуется совокупностью последовательных, параллельных или обводных технологических связей, эффективными методами второго пути оптимизации являются динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина и принцип декомпозиции Данцига — Вольфа. [c.295]

Описание процесса кристаллизации в виде системы дифференциальных уравнений позволило авторам работы [25] применить для поиска оптимального режима охлаждения принцип максимума Понтрягина [29]. Задача отыскания оптимального управления (в сформулированном выше виде) носит название задачи об оптимальном быстродействии. Для ее решения запишем систему дифференциальных уравнений для вспомогательных переменных г Иф [c.356]

Задача решается при помощи обобщенного принципа максимума Функция Понтрягина Н и система сопряженных уравнений имеют вид [c.498]

Леонов В, В., О численном решении с помощью метода Л. С. Понтрягина [c.552]

Изложенный выше метод допускает получение более тонких признаков оптимальности для тех процессов, которые уже удовлетворяют дискретному принципу максимума. Следуя (61], будем называть такие процессы экстремалями Понтрягина. [c.189]

Технология получения критерия оптимальности экстремали Понтрягина остается такой же, как в предыдущем разделе. Меняется лишь способ построения варьированного семейства, содержащего исследуемую экстремаль, и анализ промежуточных необходимых условий оптимальности, доставляемых нелинейным программированием. [c.190]

Обозначим через Л множество векторов Я= (г1)о, 15(0), 115(1).....г з(Л —1) отвечающих условиям дискретного принципа максимума для л (0), ы(0), и положим Я (г , л, г/, и) = = фТ (х, у, и). Необходимые условия оптимальности экстремали Понтрягина даются следующей теоремой. [c.190]

Теорема 2, Для оптимальности экстремали Понтрягина л(0), и(0) необходимо выполнение неравенства [c.190]

Разработана теория оптимального управления каталитическими процессами на основе принципа максимума Понтрягина и прямых вариационных методов. Для каталитических реакций с падающей активностью катализатора проведено качественное исследование оптимальных управлений, разработаны эффективные численные алгоритмы оптимизации и решен ряд промышленно важных задач. [c.4]

Выбор оптимальной функции Т(т, Об[7 п п, ах] для заданных и осуществлялся по принципу максимума Понтрягина. Следуя авторам [171], дадим формулировку принципа максимума для нашего случая. Ограничимся здесь задачей, когда ищется лишь оптимальное управление вида Т(т, ) Для формулировки необходимых условий оптимальности, каковыми является принцип максимума, в рассмотрение вводится функция [c.94]

Как уже указывалось, примерно в одинаковое время с методом динамического программирования Л. С. Понтрягиным с сотр. был развит так называемый принцип максимума. Этот метод использован в ряде исследований для расчетов оптимальных режимов работы химических реакторов. Так, описаны общие вопросы определения оптимальной температурной кривой 2 . 27. рассмотрены задачи о нахождении этой кривой в реакторе для окисления этилена в окись этилена и оптимальной температуры холодильника [c.11]

Таким образом, при применении этого метода экстремальная задача сводится к решению краевой задачи для системы разностных уравнений, которое аналогично решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Некоторые методы решения таких краевых задач рассмотрены в главе УП, посвященной применению принципа максимума Понтрягина. [c.159]

Близкая ситуация возникает, например, при решении задач оптимального управления с помощью уравнений принципа максимума Понтрягина для случаев, когда правый конец траектории свободен или закреплен (подробнее об этом см. в главе VI). В таких ситуациях часто может быть полезным следующий подход к решению систем уравнений (1,2), (У,13). Заметим, что если мы в системе уравнений (У,13) зафиксируем все Я,-, то получим систему п уравнений с п неизвестными 1,. . ., у . Решение ее при фиксированных 1. обозначим через V. Ясно, что V являются функциями переменных Я,,- [c.92]

Понятие сопряженного процесса является обобщением понятия сопряженной системы, применяемой в вариационном исчислении для формулировки необходимых условий оптимальности [37] (в принципе максимума Понтрягина сопряженную систему использовали применительно к задаче оптимального управления [19]). С появлением вычислительной техники и началом бурного развития методов численного решения задач оптимизации было обращено внимание на другой аспект возможного использования сопряженной системы, а именно, на удобство получения с ее помощью градиента оптимизируемой величины. [c.139]

Таким образом, систему (1Х,4) — (IX,10) можно представить следующим образом имеется разветвленная система разностных уравнений (IX,4), (IX,5), (IX,7), (IX,8), (IX,10) с краевыми условиями (IX,6) в начале (во входных блоках схемы) и условиями (IX,9), в конце (для выходных блоков). Следовательно, решение системы (IX,4) — (IX,10) можно трактовать как решение своеобразной краевой задачи. Отсюда возникает естественное желание обобщить разработанные методы решения данной задачи для уравнений принципа максимума Понтрягина на решение указанной системы уравнений. [c.201]

Такая программа имеет и самостоятельное значение, нанример при использовании уравнений принципа максимума Понтрягина, при решении систем нелинейных конечных уравнений методом Ньютона и т. д. [c.288]

Для решения задач оптимизации химико-технологических процессов обычно используют методы нелинейного программирования (поисковые методы) [1, 3] и методы теории оптимального управления вариационного исчисления [4], динамического программирования 15], принципа максимума Понтрягина [6], дискретного принципа максимума 17]. Наибольшее распространение получили поисковые методы как наиболее гибкие и универсальные. Эти методы находят также широкое применение при решении задач идентификации (определение некоторых коэффициентов уравнений, представляющих собой математическую модель исследуемого процесса). Кроме того, поисковые методы могут быть эффективно использованы при синтезе оптимальной структуры химико-технологических систем, который в общем случае представляет собой задачу дискретно-непрерывного программирования в частности, они могут быть использованы при получении нижних оценок в методе ветвей и границ (см. гл. VI). [c.14]

Для случая, когда экстремали ф (0 принадлежат открытому пространству В, из принципа максимума Понтрягина следуют [c.245]

Известен ряд работ, где для управления процессом ферментации используют оптимальные подпитки субстратом в ходе периодического процесса ферментации [3, 28], оптимальный температурный профиль [23, 27], изменения рОг среды в течение режима ферментации [25]. При рещении указанных задач применяют такие методы оптимизации, как принцип максимума Понтрягина, динамическое, нелинейное программирование. [c.33]

Для случая, когда время процесса не фиксировано, используя принцип максимума Понтрягина, получим Гамильтониан системы [c.33]

Такого рода задачи носят название задач о быстродействии и рещение их можно получить, используя принцип максимума Понтрягина. [c.259]

Точнее, теоремы Понтрягина — Куратовского. — Прим. перев. [c.88]

Второй — новые, в смысле применения для оптимизации химических процессов, математические методы, учитывающие ранее недоступные или весьма ограниченно доступные для оптимизации области протекания процессов. Например, принцип максимума Л. С. Понтрягина [33] дает возможность определить оптимальный температурный профиль по длине реактора для любой сложной [c.10]

В последних работах по оптимизации рассматривается возможность улучшения рабочих параметров не только реактора, но и работающей в комплексе с ним аппаратуры. Метод решения этой проблемы с использованием понятия достижимых и недостижимых областей переменных параметров реактора изложен в докладе Хорна на Третьем Европейском конгрессе по процессам химической технологии (1964). На этом же симпозиуме Кюхлер и Ланг-бейн привели несколько интересных практических примеров оптимизации (хлорирование метана, полимеризация этилена, сульфирование нафталина), а Боресков и Слинько сообщили об удачном приложении принципа Понтрягина. [c.153]

Вырожденная задача может возникнуть и при /, линейно зависящей от х Действительно, в этом случае уравнение (VI-42) второго порядка вырождается в уравнение первого порядка, так как дНКдх ) = О- Поэтому решение уравнения (VI-42) не может обеспечить выполнения одного из двух заданных краевых условий X (тц) или X (т ). В этих случаях можно найти решение в классе разрывных функций, используя принцип максимума Понтрягина. [c.213]

Функция Н впервые введена в классическом вариационном исчислении (см., например, [11]) и называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Условие максимума гамильтониана может быть получено и классическими вариационными методами, однако, в отличие от них, метод Веллмана позволяет сделать важный вывод оптимальному решению соответствует наивысшее значение гамиль го-ниана, достижимое в заданной ограниченной области допустимых температур, причем это значение не обязательно должно соответствовать аналитическому максимуму. Другой метод, позволяюпщй дать более строгий вывод условий оптимальности в ограниченной области, предложен Понтрягиным [121. Принцип максимума Понтрягина [c.371]

В зависимости от способа минимизации штрафных функций МАВ или МП вычислительные методы идентификации делятся на две группы прямые и косвенные. Первую группу составляют методы непосредственной минимизации штрафной функции на каждом шаге интервала наблюдения. К ним относится градиентный метод и его многочисленные модификации, метод стохастической аппроксимации и др. Второй подход к решению задачи идентификации состоит в применении принципов теории оптимального управления на каждом шаге итерации. В частности, для минимизации штрафных функций применяется принцип максимума Понтрягина, метод неопределенных множителей Лагранжа и др. При этом соответствуюш ая система канонических уравнений с необходимыми граничными условиями образует характерную нелинейную двухточечную (начало и конец интервала наблюдения) краевую задачу (ДТКЗ), решение которой представляет искомую оценку для заданного интервала наблюдения. Вычислительные методы решения указанной ДТКЗ образуют группу так называемых непрямых вычислительных методов решения задач идентификации. К ним можно отнести метод квазилинеаризации, метод инвариантного погружения, метод прогонки и др. [c.494]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология