Вторые производные, равенство

Необходимое время пребывания и объемы реакторов находятся из условия равенства нулю второй производной d к Л (А-2 + 2к А) — (fei -f к А к А ) dA ( 1 -Н к А -Ь М")" [c.106]

Матрица (11,70) аппроксимирует обратную матрицу вторых производных. Покажем, что для квадратичных функций вида (П,9) справедливо следующее равенство [c.46]

Входящие В это равенство вторые производные на экстремалях выражаются формулами [c.114]

Четкость сигнала. Ранее отмечалось, что локализованный сигнал следует рассматривать как предпосылку хорошей разрешающей способности, поскольку минимально возможное расстояние между сигналами пропорционально полуширине сигнала Л / . При регистрации сигналов, имеющих форму кривой Лоренца или Гаусса, полуширину можно уменьшить, если вместо основной функции записывать ее вторую производную, осуществляя двукратное дифференцирование при помощи электронной схемы. В случае функции Лоренца отношение полуширины Агу основной функции и ее второй производной составляет 1 0,33. В той же мере уменьшается и теоретическое значение По уравнению (2.1.1) для основной функции (индекс I) и для ее второй производной (индекс П) при справедливо следующее равенство [c.15]

IX-3-1. Чтобы фазовая диаграмма была правильной, координаты свойств должны быть функциями состояния (т. е. их дифференциалы должны быть полными дифференциалами). Известно, что t является свойством состояния, но это необходимо доказать и для у. Применим правило о равенстве вторых производных Эйлера к дифференциальному уравнению dy = = f(t, v)dt- -g t, u)dv. Получим [c.329]

Положение максимума на кривой W(r), отвечающего работе образования критического зародыша W , можно найти из условия равенства нулю производной по радиусу dli (r)/dr=0 (при этом вторая производная меньше нуля dW(г)ldr <0). Отсюда размер критического зародыша равен [c.120]

Первая производная при 1 = О обращается в нуль, а вторая производная = а (силовая постоянная) положительна, так как для расстояния а имеется минимум функции [условие устойчивого равновесия (рис. 40) ]. Равенство (105) с учетом (104) может быть переписано в виде [c.102]

Взяв вторую производную по х от обеих частей равенства [c.20]

По условиям устойчивости равновесия критическая точка не может быть ни максимумом, ни минимумом. Следовательно единственный возможный вид особой точки на кривой = / (Xf), отвечающий условию (IV-421), — точка перегиба. Как известно, последняя характеризуется равенством нулю второй производной, т. е. [c.280]

Соотношения, включающие вторую производную свободной энергии системы единичного веса, представляют известный практический интерес. Дифференцирование первого равенства уравнения (9.27) по температуре при постоянстве давления и состава приводит к [c.132]

Перейдем к отысканию вторых производных. Согласно правилу дифференцирования сложной функции и с учетом равенства (4) имеем [c.155]

Возвращаясь теперь к рис. 1, а, мы видим, что из-за равенства в этом случае второй производной нулю дипольные моменты НХ и DX будут отличаться друг от друга только тогда, когда средние длины связей обеих молекул различны. Если бы кривая потенциальной энергии носила истинно гармонический характер, подобно пунктирной кривой на рис. 1, то из-за симметрии средние длины связей обеих молекул иа всех колебательных уровнях были бы равны Ге (xdx = хнх = 0), что привело бы к отсутствию изотопного эффекта. Однако реальная молекула представляет собой ангармонический осциллятор , вследствие чего гнх больще, чем г х, и оба они больще, чем Ге- Поэтому Ajx для выщеприведенной функции с положительным наклоном является отрицательной величиной. [c.101]

Приравнивая уравнения (91) и (92) и решая равенство относительно второй производной, получим [c.48]

Для переходов второго рода характерным является отсутствие выделения и поглощения теплоты и, как следствие, равенство объема и энтропий сосуществующих в равновесии фаз. Для этих переходов характерно также скачкообразное изменение вторых производных энергии Гиббса, которыми являются такие физические величины, как теплоемкость [c.109]

Подставляя (81), (82) и значение второй производной р по /, найденной с помощью уравнения (82), в равенство (78), найдем [c.88]

Отсюда видно, что при X, = Хо вторая производная (в мольных долях) может не равняться нулю . Можно показать, что равенство нулю второй производной в мольных долях не влечет за собой при соответствующей концентрации обязательного обращения в нуль второй производной в весовых долях. Таким образом, при этих преобразованиях точка перегиба может исчезнуть или, наоборот,— появиться. Но при этом надо иметь в виду то, что было сказано относительно точки перегиба на стр. 18. Поэтому, если точка, которая имеет вид точки перегиба, отвечает недиссоциированному химическому соединению, то она, по всей вероятности, на самом деле будет точкой самоприкосновения. Последняя же, как мы уже видели, при указанном преобразовании сохраняется. [c.37]

Последнее равенство есть уравнение, выражающее зависимость логарифма свойства от концентрации. Определим первую и вторую производные [c.78]

Подставляя в последнее равенство значения вторых производных из (IX.24), получим [c.109]

Из последнего равенства следует, что при са = с вторая производная обратного свойства обращается в нуль лишь тогда, когда [ (са)]са=с =0, т. е. когда касательная в точке пере гиба параллельна оси состава. [c.111]

В зависимости от численных значений коэффициентов я , bj и констант диссоциации могут иметь положительные и отрицательные значения, а также быть равными нулю. В случае, когда первые производные равны нулю, как известно из математического анализа, на графике кривой может иметь место экстремум (максимум или минимум). При равенстве второй производной нулю на кривой свойства имеется точка перегиба. В случае, когда первая и вторая производные не принимают нулевых значений, кривая свойства изменяется монотонно. Как видим, в случае диссоциации димеров реализуются все возможные виды кривых свойства при одной и той же системе координат. Форма их определяется степенью диссоциации димеров и свойствами компонентов и продуктов их диссоциации. На рис. 10 приведены кривые свойства, рассчитанные для численных значений, удовлетворяющих различным значениям первой и второй производных. Величины констант диссоциации и коэффициентов я и bj приняты произвольными на том основании, что среди бесчисленного множества систем рассматриваемого типа всегда найдутся такие, которые удовлетворяют перечисленным выше значениям производных функции свойства. [c.50]

Равенство вторых производных. Поскольку свойство зависит от данного состояния, изменение свойства при переходе системы от состояния 1 к состоянию 2 является постоянной величиной, не зависящей от пути изменения. Эта чрезвычайно простая и почти очевидная формулировка представляет собой очень важный принцип, приложение которого можно легко не распознать во многих реальных случаях. [c.59]

Вторая производная при Тосн=Твсп оказывается отрицательной величиной. Таким образом, можно сказать, что при Тосн=Твсп величина 1Гусл достигает максимума. Другими словами, если не учитывать сопротивления фильтровальной перегородки, то наибольщая производительность фильтра достигается при равенстве продолжительности основных и вспомогательных операций. [c.289]

Аппроксимируем d F (x)/dxidxj, отбросив в правой части последнего равенства члены, зависящие от вторых производных функций fi (х). Тогда приближенное выражение для G (х) примет вид [c.133]

Будем предполагать, что в точке у функции F (у), ф (у), 1 з (у) имеют непрерывные вторые производные. Введем функцию Лаг-рапн а. учитывающую только ограничения типа равенств [c.228]

Первое граничное условие (А —> Ад при г -> оо) отвечает переходу профиля к (г) на бесконечности в плоскую равновесную пленку. Второе граничное условие должно обеспечить сопряжение переходной зоны с объемной частью капли. Этим условием является равенство толщин к и производных к в точке сшивания при к = tl. Здесь при стремлении к к tl со стороны kвания непрерывны, значения второй производной к (г) изменяются в точке к = tl скачком так, что давление Ропри переходе через точку сшивания остается постоянным. [c.375]

Первый член в данном уравнении (слева от первого знака равенства) — это частная производная средней концентрации по времени, которая складывается из производной концентрации и производной объемной фракции фазы. Первый член справа от второго знака равенства — это частная производная потока вещества через единичную поверхность, последний член уравнения выражает скорость удаления вещества в биопленке. [c.241]

При этом некоторые переменные 6 также становятся зависимыми. Обозначим через т переменные, которые остались пезависимыми после превращения части неравенств (VI 1,29) в равенства. Вследствие необходимости проверки возможного схода с ранее нарушенного ограничения приходится пересчитывать градиент и матрицу вторых производных в два этапа сначала от переменных в к переменным 0, а затем к переменным т, для которых можно найти соотношение [c.185]

Термодинамическим условием, определяющим положение Kpnxii-ческой точки, является равенство нулю второй производной объема по давлению ((PVIdP = 0). Условие d VIdP = О отвечает точке перегиба кривой V = f (Р). Следовательно, изотерма, проходящая через критическую точку (критическая изотерма), в точке касания к кривой LKM претерпевает перегиб. При температурах Т > как видно из рис. 5, вещество может существовать только в виде газа. Как бы ни увеличивалось давление, вещество не может перейти из газообразного состояния в конденсированное. В этом принципиальное отличие состояний, отвечающих области III, от состояний, отвечающих области IV, ограниченной кривыми КВ и КМ. Эта область соответствует возможным состояниям пара. Пар, состояние которого отвечает любой точке этой области, например точке В, может быть превращен в жидкость путем изотермического сжатия. При этом состояние вещества будет изменяться по линии B D . [c.65]

Алгоритм Флетчера — Пауэлла представляет собой по существу модифицированный вариант метода Ньютона — Рафсона, в котором учитываются члены второго порядка ряда Тейлора. Однако в этой процедуре матрица вторых производных не вычисляется прямо, а первоначально приближается единичной матрицей I. Далее последовательной обработкой информации с каждой итерации получается приблил енное значение матрицы, обратной к О, где элементы О определяются равенством. [c.92]

Разумеется, аналогичные равенства справедливы и для любой другой пары [л, V. Следовательно, все вторые производные д р1дх% равны нулю. Скалярная функция, удб-влетворяющая этим условиям, имеет вид [c.77]

В случае полиаценов знак второй производной полной энергии V уже не определен, ибо в основном выражении (2.8) оба члена в правой части равенства при оо оказываются пропорциональными п [36]. Поэтому альтернирование связей по полиеновому периметру по-лиацена не является неизбежным. Если длины этих связей равны, ширина энергетической щели по-лиацена при п -> ос асимптотически стремится к нулю [36]. [c.30]

Нам представляется более обоснованным метод определения спинодали, впервые предложенный Чу с сотр. в 1969 г. [23]. Он основан на теории Эйнштейна и Смолуховского, согласно которой интенсивность рэлеевского рассеяния света, экстраполированная к нулевому углу / 9=о, обратно пропорциональна второй производной свободной энергии смешения Гиббса по составу. Равенство нулю этой производной есть условие спинодали, следовательно, та температура, при которой (I// =о)=0, равна нулю, отвечает спинодали. Этот метод основан на изучении светорассеяния не метастабильных, а термодинамически устойчивых, состояний с последующей экстраполяцией их свойств в метастабильную область. Поэтому эту кривую Чу предложил называть псевдоспи-нодалью . [c.71]

Уравнение (X, 40) можно использовать для доказательства утверждения, сделанного в гл. IX, что при составе максимального упорядочения (в данном случае для эквиатомного состава х=хв— =0,5 п=0) на зависимости химического потенциала компонента (например. В) от состава появляется точка перегиба. Условием этого является равенство нулю второй производной химического потенциала по составу (д3цв/<3л 2=0). [c.170]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология