Оператор вторично квантованный

Здесь мы опишем главные члены во взаимодействии пионного поля с ядерным ферми-газом, отправляясь от основного р-волнового лК-гамильтониана взаимодействия (2.24), пропорционального a V. Выраженный через операторы вторичного квантования для нуклонных состояний 1 /) = а Iб) он равен [c.173]

В 2 изучаются потенциальные возмущения операторов вторичного квантования. Первый возникающий здесь вопрос — существенная самосопряженность суммы La + V (V = V — измеримая функция на Ф, задающая потенциал). Мы приводим условия на потенциал, обеспечивающие существенную самосопряженность суммы, и показываем, что при их выполнении справедлив аналог формулы Фейнмана — Каца для полугруппы (/ > 0) V / 6 2 (Ф. 7i) [c.508]

ОПЕРАТОРЫ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [c.510]

Зафиксируем самосопряженный в оператор Л > О и зададимся целью изучить образ оператора dV (Л) при функциональной реализации пространства Фока. Для осуществления такой реализации, как описано в п. 3 2 гл. 1, нужно ввести оснащение пространства Нц-Как увидим ниже, выбор оснащения сейчас не является столь произвольным, как ранее по отношению к оператору А оно должно обладать рядом специальных свойств. Наличие этих свойств обеспечит (в функциональной реализации) возможность детального изучения операторов вторичного квантования. [c.511]

Задание операторов вторичного квантования Ьа с помощью дифференциального выражения (1.25) делает естественным вопрос о других областях существенной самосопряженности для них, более привычных с точки зрения теории дифференциальных операторов, чем пространства полиномов. В качестве такой области часто удобно использовать множество цилиндрических, функций на Ф, ограниченных вместе со всеми производными, СГ.су1 (Ф ). Напомним, что С1,су, (Ф ) (/г 6 N У и оо ) состоит из функций вида ы (х) = ((фх, х)я ,. .., (Ф , х)ц,), где (Ж") Ф Ф, = 1,. .., п. [c.519]

СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [c.522]

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ОТВЕЧАЮЩИЕ ОПЕРАТОРАМ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [c.526]

Построенного выше слабого функционального интеграла вполне достаточно для изучения р-свойств потенциальных возмущений операторов вторичного квантования. Но для исследования более тонких вопросов нам будет необходимо представление действия полугруппы, которое получается с помощью конструируемого ниже сильного функционального интеграла. Для того чтобы провести соответствующее построение, нужно показать наличие у семейства стохастических ядер Уа ,х, X Ф, t > О, двух дополнительных свойств. [c.530]

Именно в таком виде сильный функциональный интеграл, порожденный оператором вторичного квантования La, наиболее эффективен при использовании в приложениях (см. 2, п. 2). [c.533]

В этом параграфе изучаются потенциальные возмущения операторов вторичного квантования потенциалами, заданными измеримыми функциями с определенными Lp-свойствами, и устанавливаются свойства возмущенных операторов. Всюду ниже для коэффициентного оператора Л > О считается выбранным ядерное пространство Ф, удовлетворяющее условиям, перечисленным в п. 1 1. [c.537]

Еу при переходе от (IR ) к (IR , i ). Как и выше в случае операторов вторичного квантования, будем называть (— VjA -f перенормированным оператором, отвечающим потенциальному возмущению V. Если фу g Ф (— VjA), то прямое повторение преобразований, следующих за (3.13), в рассматриваемом сейчас случае показывает [c.562]

В 1 этой главы мы обсуждаем общий подход к преодолению указанной выше трудности в случае сингулярных потенциальных возмущений операторов вторичного квантования Ьа (см. гл. 6), действующих в пространстве Ь (Ф, ух). Идея такого подхода состоит в следующем. При наличии у потенциала V == V достаточно хороших р-свойств в гл. 6 была доказана самосопряженность суммы Ьа + V а наличие у Ьа Л- V нормированной собственной функции (основного состояния) ф > О 71-п. в., отвечающей нижней границе спектра = п 5 Ьа + + V). Вводя вакуумную меру = ф / yl на Ф и переходя от 2 (Ф", Тх) унитарным образом к а (Ф, ц ), определяем перенормированный оператор .геп = Ф7 ( л + V — Е ) ф в Ь (Ф, причем для гладких цилиндрических функций и, V [c.590]

В приложениях к исследованию конкретных моделей важную роль играет интерпретация описанной процедуры перенормировки в терминах функциональных интегралов, отвечающих операторам вторичного квантования. На формальном уровне мера на пространстве траекторий О = со (.) ->-Ф , отвечающая диффузионному процессу с производящим оператором Ьа + У)геп и стационарным начальным распределением ц, имеет вид [c.591]

Описанная схема одевания приобретает более конкретный вид применительно к рассмотрению сингулярных потенциальных возмущений операторов вторичного квантования. Это связано с тем, что рассмотренная в гл. 6, 3, п. 2, процедура перенормировки подсказывает конкретный выбор одевающих операторов, упрощающий проверку условий (1.1). Пусть задан сингулярный потенциал V и последовательность (У )Г=1 с= 2+Е (Ф, Тх). е > 0 V /7 > 1, п б N ехр (—У ) 6 б Ьр (Ф, Ух), Уп — Уп, аппроксимирующая V (в каком-то смысле). К примеру, У 6 7> (Ф ) и Уп- У, п->оо, в смысле обобщенных функций. Обычно выбор аппроксимирующей последовательности связан с физическим смыслом рассматриваемой задачи в теории поля это ультрафиолетовые и объемные обрезания, в квантовой статистической физике решетчатых систем — переход к рассмотрению взаимодействия лишь конечного числа частиц и т. д. Пусть невозмущенный оператор Ьа равномерно эллиптичен, т. е. а, а> 0. Тогда для каждого п 6 N согласно п. 3 2 гл. 6 имеем в существенном самосопряженный на Сй,су1 (Ф ) оператор л + 1 и основное состояние > О Т1-П. в. Перейдем к операторам Ь = Ьа + Уп [c.594]

А) ZD К , Л 0 К . Учитывая теорему 1.2 гл. 6, из (1.8) заключаем, что при введенном с помощью указанной замены переменных унитарном переходе от 2 (1 °° у ) к 2 (К°°> 7i) оператору соответствует оператор вторичного квантования A с одночастичным оператором А = > О и мы снова оказыва- [c.597]

Спектр оператора может быть охарактеризован с помощью квази-частичного описания гармонической системы, данного в замечаниях после теоремы 3.2. Согласно замечанию 1 оператор унитарно эквивалентен оператору вторичного квантования Г в пространстве Фока 3 (Нз), гдеЯх — пополнение в скалярном произведении (х, y)нs = х, 5у) = х, х, у Е ) (по предположению О тЧ, т > О, так что = 8 1 (Ж ), 2 (Ж )), поэтому как множество Нз совпадает с Ж ))- Оператор Я = унитарно эквивалентен оператору умножения на гладкую функцию [c.629]

Неравенство Като доказано в работе Като Т. [2] (см. также книгу Рида, Саймона [2, теорема Х.27]). Распространение этого неравенства на операторы вторичного квантования проведено Кондратьевым [7]. В работе Саймона [3] установлено неравенство Като в абстрактной форме, однако в нашем случае такое неравенство не дает возможности исследовать существенную самосопряженность потенциальных возмущений операторов вторичного квантования на областях, состоящих из гладких функций. Отметим некоторые работы, связанные с установлением самосопряженности дифференциальных операторов с помощью неравенства Като и его обобщений. [c.653]

Неравенство Като для операторов вторичного квантования // Укр. мат. журн.— [c.665]

Однако, имея в виду использование аппарата корреляционных функций и функций 1 ива [23, задачу Изинга можно сфорцулировать на языке операторов вторичного квантования и проследить (в рамках модели Изинга) эквивалентность теории магнетизма, решеточного [c.5]

В 1 вводится важный класс таких операторов — операторы вторичного квантования в шредингеровском представлении. Операторы вторичного квантования первоначально определяются в пространстве Фока (Яо) гл. 2 по самосопряженному оператору Л > О, действующему в Нд. при каждом /г N построим в 5 (Я ) с Я " оператор Л " подобно тому, как строится оператор Лапласа —А в (1К", йх .... ..йХп) по оператору — йх в ( к йх). Дополним набор полученных операторов, положив = О в ( о) = и введем оператор [c.507]

Далее в 3 устанавливается важная для дальнейшего связь потенциальных возмущений операторов вторичного квантования а + V с операторами Дирихле а, мера = фу71, а плотность [c.509]

ОПЕРАТОРЫ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ В ШРЕДИНГЕРОВСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [c.509]

Операторы вторичного квантования л порождаются формами Дирихле гауссовой меры вида (1.20) (см. теорему 1.2). Ниже устанавливается связь оператора Ьа - - V с оператором, порожденным аналогичной формой, в которой вместо участвует вероятностная мера, являющаяся возмущением исходной гауссовой, канонически связанным с потенциалом. ЭТ а связь послужит в гл. 7 основой для построения операторной реализации формальных гамильтонианов в моделях квантовой теории поля и квантовой статистической физики. Кроме того, будут получены условия существенной самосопряженности операторов, ассоциированных с формами Дирихле. [c.554]

ПЕРЕНОРМИРОВКА ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОПЕРАТОРОВ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ФОРМ ДИРИХЛЕ [c.559]

Замечание I. Совершенно аналогично примеру 3.4 можно установить, что в случае меры fl = на Са (Ф ) с гладкой плотностью ф> О, ФС 2 (Ф. Ух), оператору Дирихле при унитарном переходе от 2 (Ф, н.) к 2 (Ф"> 7г) соответствует потенциальное возмущение оператора вторичного квантования Ьа вида Уц, == [c.563]

В П. 1 было показано, что при определенных условиях вероятностной мере на Ф можно сопоставить оператор Дирихле на области Сй,су1 (Ф ). Однако вопрос о существенной самосопряженности этого оператора в общей ситуации остается открытым. Положительный ответ на него может быть получен в случае гауссовой меры р, — в этой ситуации оператор Дирихле сводится к оператору вторичного квантования. Для мер на Ф, являющихся мультипликативными возмущениями гауссовых, операторы Дирихле унитарно эквивалентны потенциальным возмущениям операторов вторичного квантования (см. замечание после примера 3.4), так что и в этом случае могут быть получены условия существенной самосопряженности. Наконец, для продакт-мер указанный вопрос может быть исследован с помощью общей теории операторов с бесконечным числом разделяющихся переменных (Березанский [18, гл. 3, 3 26, гл. 3, 3]). Для мер, не входящих в перечисленные выше классы, исследование самосопряженности операто- [c.564]

Благодаря доказанной лемме для каждой функции f (Я , р) определена обобщенная функция [С (Я )], заданная равенством (1ц/, и)ь,(Н м = (/, LмU)L, н . i) и С1 (Я )). Теперь мы можем сформулировать следующую теорему, которая распространяет на операторы Дирихле неравенство Като, доказанное в 2 для операторов вторичного квантования. [c.567]

При рассмотрении потенциальных возмущений операторов вторичного квантования La (см. 3 гл. 6) была введена процедура перенормировки, ставящая в соответствие оператору La + V оператор Дирихле L v, отвечающий мере канонически связанной с потенциалом V. В случае определенной регулярности потенциала процедура перенормировки тривиальна в том смысле, что она приводит к оператору, унитарно эквивалентному (с точностью до сдвига) La + V, который сам по себе хорошо определен в исходном гильбертовом пространстве. Но в ряде приложений приходится использовать потенциалы, не имеющие смысла измеримых функций и заданные либо обобщенными функциями, либо вообще формальными выражениями, в которые не вкладывается даже такой смысл. Подобная сингулярность V, вообще говоря, делает невозможным определение La + V как оператора в 2 (Ф > Yi)- Тем не менее в ряде случаев формальной сумме La + V может быть поставлен в соответствие (посредством стандартной процедуры перенормировки, естественно продолжающей описанную) оператор в новом гильбертовом пространстве. Ниже обсуждается общая схема такой перенормировки и ее интерпретация в терминах функционального интеграла. [c.593]

Замечание 1. Легко видеть, что схема перенормировки пригодна для изучения потенциальных возмущений не только операторов вторичного квантования, но и вообще операторов Дирихле. Единственное существенное отличие связано с тем, что в случае операторов вторичного квантования мы знаем условия на потенциал, обеспечивающие существование основного состояния фу, а в случае общих операторов Дирихле этот вопрос требует отдельного изучения. [c.595]

Ограничимся пока двумя иллюстративными примерами. Первый из них относится к системе невзаимодействующих квантовых осцилляторов. Математическое описание такой системы мы уже приводили в примере 1.3 гл. 6. Было использовано задание оператора энергии системы как оператора вторичного квантования в шредингеровском представлении. Покажем, как прийти к нему исходя из формального гамильтониана и применяя изложенную выше схему перенормировки. [c.596]

Замечание 2. Выше установлено, что перенормированный га мильтониан гармонической системы является оператором вторичного квантования в шредингеровском представлении. Это обстоятельство позволяет применить к изучению систем с аигармонизмом полученные в 2, 3 гл. 6 факты о потенциальных возмущениях операторов вторичного квантования. С одним из аспектов такого применения мы встретимся в 4. [c.623]

Замечание 3. Переход от (Е , 75) и гамильтониана к пространству Фока Нз) и оператору вторичного квантования Г (5 ) в нем называется переходом к квазичастичному описанию гармонической системы. Пространство Нз интерпретируется как гильбертово пространство состояний одной квазичастицы, а оператор 5 = К = в Нз служит ее оператором энергии. Описанная интерпретация особенно популярна в физической литературе, где возникающие таким образом квазичастицы получили наименование фононов, [c.623]

Операторы в пространстве Фока и, в частности, операторы вторичного квантования, являются традиционным объектом исследования в математической физике. Такие операторы возникают прн рассмотрении различных моделей теоретической физики (теорин твердого тела, кваитовой статистической физики, квантовой теории поля). С абстрактной точки зрения операторы вторичного квантования изучены Куком []], достаточно развернутое изложение свойств операторов вторичного кваитова-ния содержится, например, в книгах Березина [1], Саймона [2], Рида, Саймоиа [1, 2] здесь же читатель найдет подробные ссылки иа оригинальные работы. Приведенное доказательство бесконечномерного варианта формулы Мелера основано иа работе Кондратьева [5]. [c.652]

Метод одевающих операторов и его приложения в конструктивной теории поля изложены, например, в книгах Хеппа [I], Шварца А. С. [1]. Конкретный выбор одевающих операторов, учитывающий специфику операторов вторичного квантования в шредингеровском представлении, предложен Кондратьевым [5). Такой выбор был использован ранее в частном случае двумерных моделей теории поля Альбеверио, Хёэг-Кроном [1]. Утверждение теоремы 1.1 в случае возмущения гамильтониана свободного бозонного поля приводит к известной формуле Гелманна — Лоу (см., иапример Саймон [2, теорема 5.19]). [c.656]

Операторы вторичного квантования и их возмущения.— Киев, 1982.— 50 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т мат. № 82.28). [c.665]

Возмущения операторов вторичного квантования // Функц. анализ и его прил.— [c.665]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология