Пространство конечной размерности

Полный гамильтониан молекулярной системы в большинстве случаев оказывается слишком сложным, чтобы можно было надеяться получить точные решения уравнений движения для всей квантовомеханической системы. Наиболее ценным качеством магнитного резонанса оказалось то, что эксперименты с ним могут быть описаны с помощью значительно упрощенного спинового гамильтониана Ж. В этом отношении спектроскописты-оптики имеют достаточно оснований завидовать тем, кто занимается магнитным резонансом приведенное гильбертово пространство спинового гамильтониана имеет конечную размерность и позволяет получить замкнутые решения при анализе очень непростых экспериментов с достаточно сложными системами. [c.68]

О-мерное пространство. Открывая журнал, в котором печатаются статьи по теоретической физике, обязательно увидишь большую букву О (реже — маленькую ), не всегда даже поясняемую в тексте читатель привык, что О (или д,) — размерность пространства. Конечно, и автор, и читатель знают, что мы живем в трехмерном мире [О = 3), но иногда удобно, нужно, необходимо рассматривать объекты, размерность которых отлична от трех [О ф 3). Бывает, что ничего, кроме идеализации, в этом нет. Например, если электроны прижаты электрическим полем к поверхности кристалла или жидкого гелия, а температура очень низка, фактически ниже одного абсолютного градуса, то свойства электронов описываются формулами, справедливыми для двухмерного электронного газа. [c.259]

Итак, если векторы Х, Хг,..., х, линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Наоборот, если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то в совокупности эти векторы линейно зависимы. Максимальное число п линейно независимых векторов пространства определяет размерность пространства Если п — конечно, то пространство называется конечномерным, в противном случае — бесконечномерным. Из пространств, обсуждавшихся в примерах, первое, третье и четвертое — конечномерны (первое и третье — трехмерны), второе — бесконечномерно. [c.50]

Перемещение в реальных системах, в том числе мембранах, которое часто не имеет ярко выраженного дискретного характера, удобнее рассматривать как непрерывную перколяцию. В этом случае вместо величины р обычно используют величину X — долю пространства, доступного для перемещения. Было показано, что для непрерывной перколяции критические показатели остаются теми же, что и для решеточной, если, конечно, размерность пространства неизменна. Следовательно, какая бы модель ни была избрана — решеточная или непрерывная, — величина критических показателей для данной размерности пространства сохранится. Тогда [c.268]

На практике поэтому используют так называемые квазиньютоновские методы, в которых на основе имеющейся информации о значениях функции, или также и о значениях производных, определяется приближенная матрица О или или же используется алгоритм, который позволяет за конечное число шагов минимизировать квадратичную функцию. При этом обычно используются процедуры, которые позволяют строить так называемые сопряженные направления. Два направления 8 8 считаются сопряженными относительно матрицы А, если 8 А8 = 0. Можно показать, что последовательная минимизация выпуклой квадратичной формы вдоль последовательности К линейно независимых сопряженных направлений (где К — размерность пространства координат q) определяет точный минимум квадратичной формы. Таким образом, К шагов подобных алгоритмов имитируют один шаг метода Ньютона — Рафсона. [c.108]

Есть некоторая аналогия между рассматриваемым методом и интерполяцией функций. И в том и другом случае строится функция, совпадающая с искомой на пространстве меньшей размерности. При интерполяции оценивается функция одной переменной, а совпадение достигается на конечном числе точек в нашем примере оценивается функция п переменных, а совпадение достигается на /г-мерных подпространствах, причем остальные п — к переменных полагаются равными константе. В обоих случаях производные (конечные разности) до к-то порядка включительно искомой функции и оценки совпадают. Все это объясняет принятое название — интерполяционный метод. [c.505]

Обычно X является либо безразмерным, нормированным функциональным пространством, либо, как в случае конечной системы уравнений, Х= R" (R" - конечное векторное пространство размерности п в области реальных чисел). В дальнейшем ограничим наше обсуждение ситуацией, когда h x, / является выпуклой линейной гомотопией, т. е. Н(х, t) = tf x) + (1 - OiW- Для частной величины t уравнение гомотопии [c.264]

При квантовохимическом дизайне синтеза с помощью ЭВМ- необходимы расчеты большого числа молекул, ряда возможных реагентов, интермедиатов, переходных состояний и продуктов. Стехиометрические ограничения для полной реакции означают, что все конкурентные пути синтеза, ведущие к данному конечному продукту, можно описать, исходя из фиксированного набора ядер и фиксированного числа электронов. Следовательно, все эти пути синтеза и возможные реакционные механизмы могут быть описаны классическим образом, основываясь на функции энергии, которая зависит от взаимного расположения данных ядер и электронного состояния системы. В рамках модели Борна — Оппенгеймера квантовомеханический расчет такой функции, часто называемой гиперповерхностью потенциальной энергии Е г), обычно включает поточечный расчет ожидаемого значения функционала энергии Е(г) в выбранных точках г е "Л, где "Л — абстрактное пространство конфигураций ядер. Если рассматриваются внутренние (относительные) движения ядерной системы, то размерность п пространства "Л может быть выбрана как [c.92]

Доказать, что пространство Смейла имеет конечную хаусдорфову размерность . [c.182]

Для вывода основной формулы метода переходного состояния, которая в дальнейшем будет обобщена при статистической трактовке мономолекулярных реакций, рассмотрим движение изображающей точки в фазовом пространстве Г некоторой системы, которая характеризуется 8 степенями свободы. Следовательно, размерность пространства Г равна 2з з обобщенных координат дх,. .., и 5 обобщенных импульсов р ,. .., р ). Пусть поверхность 1 разделяет участки фазового пространства, которые соответствуют начальным (/) и конечным (//) состояниям процесса (рис. 31). В области I число частиц в элементе объема с Г дается соотношением [c.125]

Конечно, если имеется несколько обобщенных сил X, то следует говорить не о линии фазовых переходов, а о некоторой поверхности в пространстве температур Т и всех обобщенных сил X. Тогда вместо изолированной точки уравнений (1.14) можно определять некоторую линию или поверхность меньшей размерности. [c.12]

Конечно, для случая / > 2 уравнения (П.34) и (П.35) следует понимать только в смысле топологической эквивалентности. Если число управляющих параметров меньше четырех, то, применяя закон Тома, можно показать, что для описания локального топологического поведения распределения вероятностей пригоден один из семи потенциалов Тома независимо от размерности пространства состояний. Кроме того, семь — это также число возможных элементарных катастроф распределения вероятностей в случае, когда число управляющих параметров меньше четырех. Пример для I = 1 представлен на фиг. П.З. [c.254]

Таким образом, теория перколяции - наука о формировании областей связности элементов с определенными свойствами (кластеров) при условии, что связь каждого элемента со своими соседями носит случайный характер (но осуществляется вполне определенным способом). Очевидно, что явления, описываемые теорией перколяции, относятся к разряду так называемых критических явлений, которые характеризуются особой критической точкой, в которой наиболее важное с точки зрения рассматриваемого процесса свойство системы качественно меняется. Образование БК и есть, по существу, фазовый переход второго рода, характеризуемый с количественной стороны набором универсальных критических показателей. Универсальный характер этих показателей заключается в том, что они не зависят от конкретного вида модели, т.е. типа решетки, а определяются лишь размерностью пространства. Этот основной постулат теории перколяции базируется на анализе огромного количества результатов численного моделирования процесса формирования БК на решетках различного типа. Однако в простейших случаях, например в случае плоской квадратной решетки, могут быть получены и аналитические решения [5]. В теории перколяции показано также, что, несмотря на случайный характер распределения проводящих связей (узлов) в решетке, имеет место вполне определенное пороговое значение величины вероятности проводимости связи, при котором в бесконечной решетке возникает проводимость. Это пороговое значение зависит лишь от типа решетки и размерности задачи и не зависит от конкретной реализации распределения проводящих связей в решетке. В конечной системе порог протекания зависит от конкретной реализации распределения проводящих связей, т.е. является величиной случайной. С увеличением размеров решетки величина флуктуации положения порога протекания уменьшается и значение порога протекания стремится к величине, предсказываемой теорией перколяции. При этом 5 - ширина критической области, в пределы которой с подавляющей вероятностью попадают значения порога протекания решетки конечного размера, уменьшается по закону 5 г где число [c.14]

К особому классу относятся модели на решетке Бете, обладающей тем свойством, что все ее подграфы являются деревьями (см. рис. 1.24). Интерес к таким моделям связан с тем, что они допускают точные решения рассматриваемых задач. Получающиеся при этом значения критических индексов совпадают с теми, которые находятся в рамках известного приближения среднего (самосогласованного) поля при континуальном рассмотрении полимерных систем. Решетка Бете является особой в том смысле, что она не может быть помещена в пространство любой конечной размерности d и поэтому как бы соответствует бесконечному пространству. Действительно, порог гелеобразования на гиперрешетках (которые устроены так же, как квадратная d = 2, кубическая d = 3, но только помещены в пространство с большим числом измерений) монотонно возрастает при увеличении ив пределе d- °о асимптотически приближается к значению, отвечающему решетке Бете. В современной теории фазовых переходов рассматриваются не только целые значения a > 3, но также широко используется концепция непрерывной размерности пространства. Установлено, что критические индексы, вычисленные для решетки Бете, являются точными в пространстве размерности d> d . [c.179]

В ортогональное пространство большей размерности. Поскольку минимальное число необходимых сопротивлений равно = п(п + + 1)/2, минимальная раз 1ерность ортогонального пространства равна этому числу. (Конечно, на самом деле ортогональность зависит от нашей способности сконструировать сети с активными сопротивлениями при использовании минимального числа сопротивлений.) Если мы отождествили каждое из направлений, определенных с помощью сопротивлений, с ортогональной координатой, то каждое из них вьшолняет роль декартовой координаты, даже если все они не являются независимыми, поскольку связаны правилами Кирхгофа. В таком случае окончательным результатом является геометрический объект (сеть), входы которой представляют собой параметры п-мерного многообразия, тогда как внутренние сопротивления определяют декартовы направления. [c.436]

М0ЖН0, единственным существенным различием между моделями с сосредоточенными и распределенными параметрами является размерность фазового пространства. Решение системы из п обыкновенных дифференциальных уравнений геометрически ложно изобразить траекториями в л-мерном пространстве. Так, когда п = 2, траектории изображаются линиями на фазовой плоскости, и, хотя с увеличением размерности пространства трудности геометрической интерпретации возрастают, принципиально можно представить траектории в пространстве высокой, но конечной размерности. [c.116]

Хотя и множество пробных функций (15) 5, и множество функций в -волновом пределе каждое образует линейное пространство, первое из них обладает конечной размерностью, а второе бесконечномерно. На практике это различие приводит к важным последствиям. Дело просто в том, что конечные задачи, в частности алгебраические, допускают достаточно простое решение с произволь- [c.48]

В -л ом случае переменную / целесообразно включить в число переменных фазового пространства, в результате чего траектория про- /7 t цееса будет изображаться уже в расширен- Зад. нс об-Ц о М ф а 3 о и о М П р о с Т р а и с Т в е, л сгей п 1чалы1ых и имеюн(,ем размерность пг - - 1. конечных состояний пл [c.195]

Очевидно, система фДг, и) — единственна с точностью до нормировки, которая здесь несущественна. Мы здесь не рассматриваем даже размерность сопряженной функции, которая, конечно, может быть без труда определена, но это, опять-таки, несущественно. Умножим теперь уравнение (13.21) на функции) орДг, и) и проинтегрируем по всему пространству и летаргии [c.569]

Предложен систематический метод определения всех химических механизмов, возможных с точки зрения комбинаторики, в предположении о том, что возможны суммарные реакции и определенные элементарные процессы столкновения. Все такие механизмы сводятся к конечному числу классов эквивалентности. Класс эквивалентности отдельного механизма т представляется внутренней областью выпуклого многогранника в конечномерном пространстве. Граням многогранника, имеющим более низкую размерность, соответствуют подмеханизмы /я, а не допускающие дальнейшее упрощение механизмы, т. е. простые механизмы отвечают вершинам многогранника. Таким образом, показано, что каждый механизм может быть описан с помощью простых механизмов, точно так же как выпуклый многогранник описывается своими вершинами. [c.472]

Фазовое пространство в статистич. механике-многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщенные координаты и сопряженные им импульсы , ( = 1, 2,. .., М) системы с М степенялш свободы. Для системы, состоящей из N атомов, и p соответствуют декартовой координате г и компоненте импульса р (а = х, V, нек-рого атома ] тл М = ЗМ. Совокупность координат и импульсов обозначаются д я р соответственно. Состояние системы изображается точкой в фазовом пространстве размерности 2М, а изменение состояния системы во времени-движением точки вдоль линии, наз. фазовой траекторией. Для статистич. описания состояния системы вводятся понятия фазового объема (элемента объема фазового пространства) и ф-ции распределения /(р, д), к-рая характеризует плотность вероятности нахождения точки, изображающей состояние системы, в элементе фазового пространства вблизи точки с координатами р, д. В квантовой механике вместо фазового объема используют понятие дискретного энергетич. спектра системы конечного объема, т.к. состояние отдельной частицы определяется не им-пулы ом и координатами, а волновой ф-цией, к-рой в стационарном динамич. состоянии системы соответствует энергетич. спектр квантовых состояний. [c.416]

В рамках сделанных допущений приведенные модели описывают процесс конформационной релаксации в фермент-субстрактном комплексе, ведущий к образованию продуктов реакции (см. 2, гл. XIV). Структурные факторы определяют время образования продуктивной конфигурации. Увеличение размерности конфигурационного пространства М, зависящего от числа функциональных групп и необходимых одновременных контактов между ними, должно, конечно, приводить к замедлению этого процесса. Однако высокая скорость и направленный характер химических превращений в образованных многоцентровых активных конфигурациях не лимитирует общую скорость катализа. Таким образом, общая скорость ферментативного катализа определяется характерным временем образования нужной конформации в активном центре при естественном сближении соответствующих групп за счет внутримолекулярной динамики. Это время сравнимо по порядку величины с временами оборота фермента. [c.440]

Из требования ЧЗНУ следует, что траектории в фазовом пространстве должны расходиться, однако, система является детерминированной, а это означает, что в каждой точке должно существовать единственное решение и траектории не должны пересекаться (разве что в конечном числе особых точек). С учетом того, что траектория должна занимать конечную область фазового пространства, на плоскости эти два требования совместить не возможно и мы приходим ко второму ограничению на размерность аттрактора [c.64]

Знакомая всем размерность (мы, не вдаваясь в излишние объяснения, будем называть ее топологической размерностью) может принимать только целочисленные значения линия имеет размерность 1, плоскость - 2, пространство - 3. Топологическая размерность Dj кривой Коха равна, конечно, единице. Но для того чтобы оценить, как плотно кривая Коха заполняет плоскость, может быть введена так называемая размерность Хаусдорфа - Безиковича (F. Hausdorff, 1918 г. и A. S. Besi ovit h). [c.18]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология