Неявные схемы

Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

В неявной схеме используется несколько точек (/+1)-го слоя [c.151]

Решающее значение при численных расчетах имеет устойчивость схемы расчета, т. е. ограниченность отклонения рассчитываемой и истинной величин при возрастании г и /. Показано 13, 4], что устойчивые схемы расчета обеспечивают сходимость решения. Из выполненных исследований [4], очевидно, что неявная схема более устойчива, и ей следует отдать предпочтение. Ряд неявных схем расчета процессов химической технологии, описываемых уравнениями в частных производных, приведен в литературе [5]. [c.151]

Для интегрирования системы уравнений на начальном интервале и уравнений (7.367), (7.368) на основном оказывается эффективной одношаговая неявная схема (7.10), где W— диагональная матрица корректирующих параметров, элементы которой равны [c.391]

Практика расчетов показывает, что достаточно хорошо работают двухслойные неявные схемы, когда основная задача состоит в получении приближенного решения в момент времени / + если значения искомых функций в момент I известны. [c.486]

Затем f(f, у(г)) заменяется интерполяционным полиномом, проходящим через точки, в которых значения у уже вычислены или будут вычисляться. Если, например, приближенно вычислять интеграл по прямоугольникам с высотой f (г + Л, у (г+Л)), то получим неявную схему Эйлера [c.135]

Рассмотрим поведение величины ошибки для описанных методов оценки точности. Первый способ оценки ошибки при решении по неявной схеме иллюстрирует рис. 5.2 [c.140]

Оценка ошибки, вычисленной по разности м Я<ду решениями по явной и неявной схемам, дает картину, приведенную на рис. 5.4 [c.140]

Величина локальной погрешности решения на шаге интегрирования может быть оценена как разность между решением уравнения (5.41) по явной и неявной схемам. Уравнение (5.41) можно также решать с помощью аппроксимации и( )) полиномом по степеням . При [c.143]

Устанавливаем режим "выбор шага". Переходим к выполнению п. 4. 4. Систему (5.41) решаем по неявной схеме (5.48), делая лишь один шаг итераций. Требуем малости добавки к решению по явной схеме. Это позволяет избежать трудоемких итераций и, как показывает вычислительная практика, хорошо оценить величину локальной погрешности би (Л). Если такая оценка величины 5и удовлетворяет задаваемому в качестве начальных данных параметру точности, переходим к выполнению п. 5, 144 [c.144]

Пользуясь интерполяцией по t, построим неявную схему с ошибкой аппроксимации О(т ) + О(к ) [c.37]

Реализация неявных схем. Прогонки. Как отмечалось в н. 2.2.2, применение неявных схем связано с необходимостью при расчете очередного временного слоя [c.38]

Прогонки для неявных схем вида (2.2.10), связывающих значения искомой фз нкции в двух соседних узлах на верхнем слое, будут рассмотрены в гл. 3. [c.40]

Неявная схема второго порядка точности. Условия (2.5.9), (2.5.10), обеспечивающие устойчивость схемы [c.49]

Реализация подобных комбинированных схем вызывает лишь несущественные технические трудности. На очередном временном слое расчетная область делится на подобласти, в каждой из которых действует одна какая-либо схема. Искомая функция сначала определяется там, где применяются явные схемы. После этого в тех подобластях, где используются неявные схемы, проводятся соответствующие знаку а прогонки при этом в качестве начальных служат значения, полученные на границах подобластей,, где применяются явные схемы. [c.69]

Схемы с центральными разностями. Рассмотренные выше неявные схемы (3.3.1), (3.3.4), (3.3.5) учитывают расположение характеристик или в самой конструкции схемы, или в способе реализации ее. Приведем две схемы, не зависящие (по крайней мере формально) от направления характеристик [c.69]

Сравнение явных и неявных схем. Условие Куранта, обеспечивающее устойчивость явных схем, ограни- [c.69]

Несколько сложнее проводится доказательство для неявных схем (3.3.4) и (3.3.5). Из (3.3.4) находим [c.71]

Неявная несимметричная схема. При больших значениях Сх гораздо лучшими качественными свойствами обладает неявная схема первого порядка точности [c.97]

Уравнение (3.109) лежит в основе многих неявных схем, основными достоинствами которых являются возможность использования переменного шага, устойчивость, хорошая точность (второй порядок), стандартное начало счета, не требующее специальных приемов или знания значений функций во многих узлах. Кроме того, неявные схемы, как правило, имеют свойства балансности и положительности. Самый большой недостаток всех неявных схем, и в частности (3.109), состоит в том, что неизвестно в общем случае, имеет ли система (3.109) вещественный корень (т. е. разрешима ли задача) и как его отыскать, если он существует. Наиболее удобный способ — метод половинного деления [c.186]

Нетрудно видеть, что, если записать неявную схему Эйлера г/,,+ 1 = Уп + кЦуп+г), и разрешить ее однократным приближением по Ньютону, то фактически приходим к (3.112). [c.188]

Для одношаговой неявной схемы первого порядка точности у +1= у +к Ауп+1Члтя. угь+1 = +/1(Е —/г Л)-1х X Л г/п. Матрица Z в этом случае определяется формулой 2п = Ьп/(Е — кпА). При отрицательных собственных значениях матрицы А, собственные значения матрицы (Е — [c.194]

В общем случае (матрица А положительно определена лишь в окрестности минимума) сходимость обеспечивается собственно неявной схемой. Так, в [120] для минимизации был использован метод предикции и коррекции. Преимущество методов этого типа состоит в том, что, во-пер-. вых, при устойчивых вариационных матрицах правых [c.218]

Рис. 5.1. Аппроксимации решения модельного уравнения х - Л х(х(0) = х Л > 0) 1 - точное решение 2 - неявная схема 3 — явная схема 4 — полунеявная схема

Рис. 5.4. Оценка величины ошибки реше ния модельного уравнения по разности между результатами счета по явной и неявной схемам

Заметим, что решение уравнения (5.41) по неявной схеме с оценкой локальной погрешности, например по скорости сходимости итераций, имеет тот же порядок точности и дает одинаковую величину выбирае мого шага интегрирования по сравнению с методом оценки локальной погрешности по разности между решениями по явной и неявной схемам. Это связано с тем, что и в том и в другом случае оценка зависит от одной и той же матрицы [ (difi /ди С(Л) ]. [c.144]

Ошибка аппроксимации для (3.3.6) есть 0(т) + 0W), для (3.3.7) О(т ) -Ь 0 Ь ). Легко проверить, что обе схе-и[ы безусловно устойчивы. Система уравнений на верхнем временном слое имеет трехдиагональную матрицу. Если граничные значения искомой функции известны н слева, и справа, то можно использовать трехточечпую прогонку, описанную в п. 2.2.5. Если какое-либо из граничных значений не задано, то следует записать дополнительное сеточное граничное условие (см. п. 3.2.5), воспользовавшись неявной схемой, шаблон которой содержит два узла на верхнем сло . [c.69]

Для неявных схем (3.3.1), (3.3.7) коэффициенты 0,5 при выражениях, аппроксимирующих а ди/дх на верхнем и нижнем слоях, заменяются соответственно на 0,5 + и 0,5 — fl, где г — положительное число. Легко видеть, что при этом в составе погрешности аппроксимации появляется слагаемое цт d u/df. При / О и а = onst оно преобразуется к виду е д и/дх , е = (гто. [c.80]

Расщеплеш1е по физическим процессам. Качественные свойства решения особенно удобно учитывать с помощью принципа расщепления (см и. 2.2.4). Если на каждом дробном шаге рассматривается уравнение, описывающее один нз рассматриваемых процессов (диссипация, конвекция, кинетика), то говорят о расщеплении по физическим процессам. Сеточная апироксимация для каждого дробного шага выбирается в соответствии с характером рассматриваемого процесса, (так, например, если процесс квазистационарный, то могут быть применены неявные схемы). [c.88]

Неявная симметричная схема. Желая снять ограничение вида (4.4.5), обратимся к неявным схемам. На-"чпем с симметричиой аппроксимации, имеющей второй порядок точности [c.96]

Неявная схема с весами . В условиях истинной нестациопарности , когда необходимо аккуратно воспроизвести временной ход решения, применение схемы первого порядка точности может повлечь нен елатель-поо уменьшение временного шага. Поэтому в практических расчетах часто применяют схему с упреждением промежуточного значения [c.97]

Рассмотрим кратко одпу такую схему па примере модельного уравнения (4.4.3). Расчет и"" " распадается на три этапа. Сначала находится предварительное значение по неявной схеме (4.4.9) первого порядка точности [c.99]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология