Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.95]

Последним четвертым этапом является нахождение собственных функций Ф(х) и соответствующих комплексных волновых скоростей с. При этом линейная система уравнений в частных производных сводится к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.448]

Первый способ состоит в линеаризации (2.4.55) с последующим аналитическим решением линейной системы [70]. Однако получаемый при этом характеристический определитель равен (4 4-4т), где ш — число ходов по трубному пространству, что исключает возможность аналитического решения. Аппарат аппроксимации трансцендентных передаточных функций не может быть использован, поскольку сами функции весьма трудно получить. Методы сведения дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений аппроксимацией изображения координат в комплексной плоскости ортогональными функциями не облегчают задачу, так как получаемая система обыкновенных дифференциальных уравнений не может быть решена аналитически ввиду ее высокой размерности. [c.81]

Решение системы линейных уравнений с учетом условий однозначности и соотношений, описывающих зависимость параметров процесса от искомых величин и, Т к х, возможно только численными методами, для чего дифференциальные уравнения в частных производных (6.101) — (6.103) записывались в конечно-разностном виде [33] по переменной координате /. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась методом Рунге — Кутта, для чего алгоритм расчета был реализован в виде ФОРТРАН-программы. [c.190]

В работах [138, 139] предложена процедура численного решения основного кинетического уравнения. Численный алгоритм состоит в дискретизации задачи и сведению ее к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При численном решении этой системы получается функции распределения, зависящая от [c.195]

В случае особых управлений условие максимума (VI, 8) не позволяет однозначно исключить параметры управления из задачи и свести последнюю к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных а и г з. Особые управления часто появляются в случае, когда процесс описывается системой дифференциальных уравнений, линейных относительно управлений [c.125]

Таким образом, вычисление нестационарной функции распределения сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а вычисление квазистационарной функции распределения — к решению неполной проблемы собственных значений для матрицы коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений. При решении этих задач приходится иметь дело с плохо обусловленной матрицей, разброс собственных значений которой составляет 10— 15 порядков. Заметим, что величина этого разброса мало зависит от способа дискретизации, так как определяется физикой процесса, т.е. константа скорости (минимальное по модулю собственное значение) отличается от других собственных значений обычно на несколько порядков. [c.197]

Рассмотрим процедуру численного решения нестационарной задачи. После дискретизации кинетического уравнения задача сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, задача сводится к вычислению матричной экспоненты от плохо обус- [c.197]

Строгая постановка задачи об устойчивости системы и метод ее решения впервые были даны А. М. Ляпуновым [11]. Его работы стали основой исследования устойчивости технических систем, в том числе и химических. Существенные результаты в исследовании устойчивости химических систем получены в работах [12— 14]. Если математическая модель кристаллизатора при нестационарном режиме состоит из линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными или переменными коэффициентами, то возможно применение хорошо разработанных методов анализа устойчивости линейных систем автоматического регулирования. Для устойчивости линейной системы k-то порядка необходимо и достаточно, чтобы все k корней ее характеристического уравнения [c.330]

Решение (УП,47), (VII,48) есть линейная краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.145]

В предыдущей главе для сведения моделей с распределенными параметрами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений использовался модифицированный метод коллокации. Получаемые дифференциальные уравнения оказывались линейными, но это объяснялось не характером метода, а было результатом предшествовавшей линеаризации. Вместо линеаризации уравнений (VII, 58) можно получить более общие уравнения (VII, 13), если воспользоваться подстановкой (VII, 45) [c.204]

Итак, математической моделью процесса (109) является линейная треугольная система обыкновенных дифференциальных уравнений [c.106]

Система уравнений (6.4-5)—(6.4-7) представляет собой линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Нетрудно найти аналитическое решение этой системы. Величины Сь, с , с будут представлять собой линейные комбинации экспоненциальных функций Постоянные коэффициенты в этих линейных комбинациях и параметры 2, 3 определяются из граничных условий (6.4-9) — (6.4-11) и системы уравнений (6.4-5)—(6.4-7). [c.234]

Возможность пренебречь членами высоких порядков является следствием предположения о том, что начальные амплитуды возмущений достаточно малы. Линеаризация является первой необходимой ступенью в изучении устойчивости течения. Тем не менее полученные из линейного анализа результаты иногда являются неудовлетворительными. После разделения переменных система (3.3) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [c.49]

Проблеме оптимизации процессов в химических реакторах посвящен ряд монографий [8—10], поэтому мы ограничимся рассмотрением и обоснованием решения задачи А. Применим для решения этой задачи аппарат динамического программирования при условии соблюдения достаточной общности в постановке задачи. Эти условия сводятся к следующим четырем требованиям 1) управление процессом осуществляется s-вектором 2) процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка при этом порядок исследуемых реакций может быть произвольным, и, следовательно, система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1) в общем случае не линейна 3) исследуемый процесс является многомерным, т. е. число реагентов может быть произвольным 4) на переменные управления и фазовые переменные наложены ограничения. [c.145]

Процесс решения линейных уравнений в частных производных, которыми описываются нестационарные процессы, протекающие в хроматографической колонке, сводится к следующему 1. Исходная система уравнений преобразуется по Лапласу. 2. Выписывается аналитическое решение получившейся системы обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.92]

При учете уравнения (3.75) система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (3.73) и (3.74) становится системой связанных уравнений в частных производных второго порядка. Решение такой системы связано с большими трудностями, поэтому прибегают к приближенному способу описания испарения с помощью линейного члена кп и Р . Такое приближение дает достаточную точность при быстром испарении (большие В ) и быстром удалении вещества из паровой фазы. Переход к указанному приближению получают путем интегрирования уравнения (3.75) [c.133]

В настоящем параграфе рассмотрен вопрос о существовании и построении программных управлений и движений в линейных и квазилинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих квазилинейным условиям интегрального типа. Эти условия задаются в форме квазилинейных уравнений, связывающих различные определенные интегралы, вычисленные на искомом движении. [c.189]

Это означает, что математической моделью, описывающей протекание п +1 последовательных реакций, является система обыкновенных дифференциальных уравнений и-го порядка. В частности, если каждая из реакций - первого порядка, система (8.54) окажется линейной. [c.192]

Жесткая система обыкновенных дифференциальных уравнений -система дифференциальных уравнений, описывающая поведение химических процессов с сильно различающимися характерными временами. Жесткость задачи выявляется при исследовании локального поведения решения системы уравнений химической кинетики. Для этого исходная система кинетических уравнений линеаризуется - заменяется системой линейных уравнений с матрицей Якоби Л y ,t) = Ьfi Ьyj). Если в некоторой окрестности решения матрица Якоби меняется незначительно, то локально линейная система аппроксимирует нелинейную. В математической формулировке задача Коши является жесткой, если в локальной области задача устойчива (действительные части собственных чисел [c.213]

Тем самым первоначальная оптимальная задача оказывается сведенной к краевой задаче специального вида для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К сожалению, при одновременном интегрировании систем (VII,1) и (VII,6) часто наблюдается высокая чувствительность по отношению к начальным условиям, что затрудняет решение краевой задачи. Причина этого становится очевидной, если система (VII,1) является относительно х системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.187]

Эта система получена в результате применения ортогонального преобр зования (матрица О) в системе независимых линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида [c.141]

Методы решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, использующие идею локальной линеаризации, имеют два аспекта 1) локальная линеаризация, т.е. способ приближения нелинейной систе мы ОДУ на шаге интегрирования линейной, и оценка величины возникающей при этом ошибки 2) выбор способа решения линейной системы. [c.142]

Обычно, зная характеристики решаемых задач, можно оценить такие параметры УВМ, как быстродействие, объем оперативной памяти, разрядность. В работе [6] в качестве примеров приводятся такие расчеты для часто встречающихся задач системы линейных алгебраических уравнений, задачи Коши для канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений, задачи линейного программирования, задачи минимизации выпуклых функций, многоэкстремальные задачи минимизации н др. [c.205]

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений линейные системы принято записывать в матричном виде. Продемонстрируем эту запись на примере системы (ПО). [c.107]

До сих пор в этой книге рассматривались процессы, при моделировании которых получались системы линейных и нелинейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Примеры подбирались таким образом, чтобы основные параметры ведения процесса были функцией только одной независимой переменной либо времени, либо наиболее характерной пространственной координаты (длины аппарата, радиуса и т. д.). [c.220]

В ряде работ [1—4] принцип максимума формулируется как необходимый признак оптимальности для процессов, описываемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Показано, что если процесс характеризуется системой линейных уравнений, принцип максимума является достаточным условием оптимальности. [c.310]

Система уравнений (VII, 21) является системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных Xk, где величины [c.316]

Здесь bij — алгебраические дополнения матричных элементов Bij, которые определяются путем решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от компонент тензора сдвига 0 [c.231]

При помощи модели МН-7 решаются обыкновенные линейные и нелинейные дифференциальные уравнения до шестого порядка включительно или система, содержащая шесть уравнений первого порядка. Конструкция модели позволяет объединить в единую схему две машины и более, что соответственно увеличивает порядок уравнений моделируемого процесса. [c.88]

Одним из главных элементов этой схемы является расчет механических характеристик шин, который включает почти все виды математического аппарата системы линейных и нелинейных уравнений, векторный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, краевые задачи, случайные процессы и математическая статистика, численные методы и т. п. Важным является то, что имея математическую модель можно проводить машинные эксперименты по оптимизации конструкции покрышки, по изучению влияния изменений исходных данных на характеристики шины и автомобиля. В результате расчетов можно получить следующие характеристики шины данной конструкции в зависимости от условий эксплуатации, механических и термических свойств конструкционных материалов прочность и долговечность, сопротивление качению, выходные характеристики, материалоемкость, шум и другие экологические характеристики, ремонтопригодность. [c.476]

Значительные сложности возникают при переходе от линейных уравнений к нелинейным. Системы линейных алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений можно решить аналитически в общем виде (по крайней мере, когда этих уравнений не слишком много). Всякая нелинейность усложняет процедуру решения. [c.39]

Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат функции лишь одной независимой переменной. Линейные уравнения (и их системы) могут быть решены аналитически. Нелинейные уравнения чаще всего целесообразно решать на ЭВМ, причем аналоговые вычислительные машины специально предназначены для решения систем дифференциальных уравнений [6]. На аналоговой машине решение получают очень быстро, но точность его невелика. При необходимости получить более точное решение обращаются к цифровым ЭВМ. [c.45]

Одним из способов представления связи между входными и выходными сигналами системы, описываемой дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, является использование передаточных функций. Например, рассмотрим общее п-го порядка обыкновенное дифференциальное уравнение (частным случаем может быть единственное линейное уравнение) [c.99]

На основе принятия линейности изменения показателей процесса по всей длине аппарата можно с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений едиными методами моделировать динамические характеристики как процессов теплообмена, так и диффузионных процессов. Найденные при этом характеристики будут являться первыми приближениями в описании рассматриваемых процессов. Если разбить аппарат на отдельные участки (ступени) и проводить такую линеаризацию на этих участках, то можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений с условиями связи, вытекающими из непрерывности процессов по длине аппарата. При решении этой системы получаем более точные характеристики процесса, а точность этих описаний увеличится с увеличением числа ступеней [14]. [c.136]

Нелинейные свойства уравнения обусловлены зависимостью коэффициентов от величины возмущающих воздействий. Аналитическое решение такой системы связано с большими трудностями и может быть получено лишь при некоторых упрощениях. Рассматривая поведение процесса при малых отклонениях от стационарного состояния, коэффициенты в уравнениях математической модели могут быть приняты постоянными. Дальнейшее упрощение достигается за счет усреднения движущей силы процесса по высоте колонны. Тогда исходная система уравнений с частными производными превращается в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В первом приближении изменение концентраций фаз по высоте колонны аппроксимируется линейной зависимостью, а средние концентрации выражаются как среднеарифметические их начальных и конечных значений (модель 1). Однако при расчете нестационарных режимов процесса в условиях, когда движущая сила изменяется более чем в 2 раза, такое упрощение может привести к значительным отклонениям от точного решения, в особенности на начальном участке временной характеристики. В этом случае необходимо использование среднелогарифмической движущей силы. [c.368]

Моделирование линейных САР сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как нелинейные системы, а также системы с запаздыванием требуют специальных приемов моделирования. [c.261]

Таким об1й13ом, задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальна уравнений о одновременным решением на каждом шаге интегрирования системы линейных алгебраических уравнений (уравнения (14) линейны относительно ( Л ) и Полезно заметить, что система (II) линейна по Лтп [c.421]

Итак, в кинетической теории, благодаря введенным упрощениям, система дифференциальных уравнений в частных производных (XXV.5.2), (XXV.5.3), предложенная Э. Хаксли, заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений (XXV.5.6), (XXV.5.7). Это позволило, в отличие от теории Хаксли, получить оба уравнения Хилла (XXV.2.1) и (XXV.2.2), а также зависимость жесткости мышцы от нагрузки аналитически, т. е. в виде формул. Это означает, что совпадение теоретических кривых с экспериментальными зависимостями в кинетической теории не связано с подгонкой произвольно постулируемых параметров цикла мостика от его координаты, как в теории Хаксли, а полностью обеспечивается особенностями кинетического цикла мостика. Однако кинетическая теория, как и теория Хаксли, позволяет получить только линейное соотношение между скоростью энергопродукции и нагрузкой, что, согласно современным данным, справедливо лишь для Р > Pq. По-видимому, это связано с тем, что при высоких скоростях скольжения нитей какие-то из упрощений кинетической теории перестают выполняться. [c.245]

Таким образом, мы свели задачу исследования устойчивости стационарных режимов к решению системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (VIII.И), (VIII.12). Решение этой системы выражается линейной комбинацией двух экспоненциальных функций и (где Xj, 2 — корни уравнения) [c.327]

Разностная аппроксимация вида (3) совместно с применением метода Й>ютона была использована Джиром в его программе [16]. При этом порядок метода и величина шага менялась в процессе счета. Эта программа позволяет быстро рассчитывать системы с большим разбросом собственных значений. Кроме линейных многошаговых методов при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений используются неявные методы типа Г нге-Кутта. [c.15]