Уравнение пограничного слоя и его точные решения

В ряде случаев течения в свободноконвективном пограничном слое точное решение определяющих уравнений методом автомодельности невозможно. Тогда можно обратиться к методам возмущений или локальной автомодельности или к численному решению методами конечных разностей или конечных элементов. В большинстве случаев эти методы достаточно сложны, поэтому в качестве альтернативы можно воспользоваться интегральными методами, дающими простые приближенные решения уравнений пограничного слоя с приемлемой точностью. [c.161]

Для проведения более точных расчетов выполнено исследование течения в сопловом элементе с учетом вязкости. Оценки показывают, что в реальных случаях, когда длина сопла не более чем на порядок превосходит диаметр, для чернил влияние вязкости сводится к образованию более или менее тонких пограничных слоев. В центральной части канала давление и скорость распределены однородно по сечению. При этом у границ сопла скорость быстро меняется в пределах узкого пограничного слоя. Гидродинамика этого слоя описывается уравнением Прандтля. Ввиду сложности решения этого нелинейного уравнения можно ограничиться рассмотрением частных случаев. Для фильеры и невысокой частоты, как правило, выполняется условие o/< F ,, и члены, содержащие производные по времени в уравнении пограничного слоя пренебрежимы. Тогда имеет [c.15]

В работе [61] проанализировано течение вблизи нагретого вертикального цилиндра, погруженного в насыщенную пористую среду. При этом принималось, что разность температур на поверхности to—-too пропорциональна некоторой степени расстояния вниз по потоку от передней кромки. При линейном распределении температуры п = 1 получается точное решение уравнений пограничного слоя (как в ньютоновских жидкостях). Для других распределений температуры с помощью методов локальной и нелокальной автомодельности были построены соответствующие приближенные решения. [c.376]

Точные решения уравнений пограничного слоя довольно сложны, за исключением лишь самых простых случаев. Их применяют обычно к задачам ламинарной конвекции, основные характеристики которой хорошо известны, но область практического использования ограничена. Для решения задач как ламинарной, так и турбулентной конвекции получили распространение методы приближенного интегрирования, не требующие детального описания физического механизма процессов. Эти методы привлекательны тем, что позволяют значительно расширить круг задач, для которых может быть получено аналитическое решение. При анализе турбулентной конвекции широко используется аналогия между переносом тепла, массы и количества движения, подтвержденная большим объемом достоверных опытных данных. [c.30]

Аналитическое решение уравнений пограничного слоя даже для жидкостей с постоянной вязкостью является довольно сложной задачей. В этой связи широкое распространение получили различные приближенные методы. Применительно к рассматриваемой задаче, если трактовать пограничный слой как слой конечной толщины б (л ), удобно воспользоваться методом осреднения ускорений по толщине слоя, приводящими к достаточно точным решениям [3]. Подстановка выражения [c.104]

Таким образом, число точных решений системы уравнений пограничного слоя значительно больше, чем системы уравнений Навье-Стокса, хотя и не исчерпывает всего многообразия важных для практики задач, для решения которых нужно привлекать численные и приближенные методы. [c.172]

Точное решение этих уравнений возможно для стационарных условий в неподвижной среде или ламинарном потоке при постоянном коэффициенте диффузии и линейном характере зависимости от концентрации вещества, т. е. для реакций нулевого и первого порядков. Кроме того, для решения уравнения (I. 17) требуется знание распределения скорости потока в пограничном слое. Последнее условие выполнить особенно трудно, поэтому найти решение уравнений диффузионной кинетики удается только для некоторых простых случаев [7]. [c.19]

Уравнения пограничного слоя допускают точное решение для случая обтекания полубесконечной пластинки, на передний край которой набегает поток жидкости, движущийся со скоростью (Уо (Рис. 1). [c.26]

Диффузия к вращающемуся диску представляет тот исключительный случай, когда уравнения конвективной диффузии допускают точное решение. В других случаях приходится прибегать к нахождению приближенных решений уравнения пограничного слоя. При этом целесообразно применение разработанного нами общего приема, позволяющего свести последнее к типу уравнения теплопроводности. [c.86]

Соотношение (4.124) называется уравнением Прандтля для пограничного слоя. Численные решения этого уравнения найдены для весьма многих задач [16, 19]. Указанные решения называются точными решениями задач пограничного слоя . С другой стороны, приближенных решений, т. е. решений, которые получают, задаваясь формой профилей для в уравнениях (4.125)—(4.127), записанных через толщину пограничного слоя, значительно больше. Подобные решения иллюстрируются помещенными выше примерами. Уравнение (4.125) обычно называют интегральным соотношением Кармана. [c.140]

В литературе, посвященной теории пограничного слоя [15], термин точное решение означает решение уравнений пограничного слоя Прандтля в противоположность более приближенным решениям. Нужно отметить, что указанные уравнения в действительности представляют собой асимптотические приближения уравнений сохранения и точны для двухмерного ламинарного течения при v x v 1. [c.539]

Интегрирование уравнений пограничного слоя при краевых условиях (1.13) связано с очень большими трудностями. Довести решение до конца оказалось возможным только для некоторых частных случаев распределения скорости во внешнем потоке. В большинстве случаев условия, соответствующие практическим задачам, таковы, что использование этих распределений даже при обычных для инженерных расчетов требованиях к точности результатов исключено. Поэтому точные методы [c.31]

В отношении выбора функций, принимаемых для представления распределений скорости, никаких общих правил установить невозможно. В принципе в равной мере допустимо использование функций любого вида. Однако существенные преимущества создает применение функций, построенных на основе результатов точных решений. В работе К. Польгаузена использованы степенные полиномы (полиномы четвертой степени). Согласование полиномов с граничными условиями приводит к уравнениям для определения содержащихся в них коэффициентов. Что касается таких индивидуальных особенностей процесса, как физические свойства жидкости и скорость ее натекания на тело, то влияние их должно быть отражено в решении через критерий Рейнольдса. Но из предыдущего ясно, что посредством соответствующего выбора переменных решению можно придать автомодельную форму, и, таким образом, исключить критерий Ке из числа аргументов. Разумеется, в приближенной теории пограничного слоя автомодельные решения играют столь же важную роль, как и в точной. [c.141]

Некоторые точные решения уравнений пограничного слоя, в ряде случаев уравнения пограничного слоя позволяют найти точные решения. Как правило, такие решения автомо-дельны, т. е. их определение сводится к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Получение и анализ таких решений не только поучительно методически, но и имеет определенное практическое значение. [c.168]

В [1, 21] описаны также точные решения уравнений пограничного слоя в плоском сужающемся и расширяющемся каналах, при обтекании цилиндра и сферы (с расчетным определением точки отрыва около 109° от лобовой точки). Приведено также точное решение, для закрученного осесимметричного течения в конической воронке, течения в полупространстве, ограниченном вращающимся диском, на начальном участке плоского канала и круглой трубы. [c.172]

Задача-о затопленной струе.дает пример точного решения уравнений пограничного слоя с помош,ыо переменных Прандтля — Мизеса 1). Положим в уравнении (1.32) ш = я перепишем его в виде ( 7 — 0) [c.39]

Еще в 11 было отмечено, что изучение класса точных решений уравнений пограничного слоя, соответствующих степенному распределению скорости на внешней границе слоя, позволяет установить [c.445]

Создание точного, экономичного и обладающего широкой применимостью метода решения уравнений пограничного слоя составляет главную цель данной книги. [c.90]

Точного решения уравнения пограничного слоя для теплопередачи с одновременной массопередачей при турбулентном режиме нет. Будет дано приближенное решение с помощью методов, примененных в гл. 33 при выводе уравнения (33. 26) для массопередачи. Данный вывод преследует цель рассчитать влияние массопередачи на теплопередачу. [c.564]

Интегрирование уравнений пограничного слоя при краевых условиях (1. 13) связано с очень большими трудностями. Довести решение до конца оказалось возможным только для некоторых частных случаев распределения скорости во внешнем потоке. В подавляющем большинстве случаев условия, соответствующие практическим задачам, таковы, что использование этих распределений даже при обычных для инженерных расчетов требованиях к точности результатов исключено. Поэтому точные методы решения, основанные на непосредственном интегрировании уравнений, могут быть применены для практических целей лишь в очень ограниченной мере. [c.30]

Более точное теоретическое решение задачи дано Берманом [20] на основе предложенной им физической модели взаимодействия в пограничном слое поперечного потока массы с продольным потоком парогазовой смеси. В работах [20, 23] приведена следующая система уравнений, описывающих перенос импульса, тепла и массы в пограничном слое при стационарном режиме в процессе конденсации пара из парогазовой смеси с учетом влияния поперечного потока активного компонента смеси на интенсивность тепло- и массоотдачи уравнение движения [c.157]

Иначе дело обстоит с решением вариационных задач газовой динамики и с точными решениями уравнений Навье—Стокса. Эти результаты своеобразно и тесно переплетены с численными и экспериментальными исследованиями. Решение краевых задач при оптимизации формы тел в сверхзвуковом потоке газа первоначально проводилось численно, итерационным путем. Обращение в нуль одной из рассчитываемых функций подсказало путь аналитического решения и открыло путь к исследованию необходимых условий минимума и к получению новых решений. При использовании этих результатов для практики в потоках внутри сопел рассчитывался пограничный слой, а результирующая сила тяги была проверена на специальной опытной установке. Расхождение между расчетной силой тяги и ее экспериментальной величиной не превысило 0,1%. [c.5]

Подчеркнем, что точные решения задач, связанных с массопередачей, получаются на основе гидродинамики, устанавливающей, что скорость жидкости или газа при обтекании твердого тела равна нулю на его поверхности. Далее в некотором пограничном слое тангенциальная составляющая скорости увеличивается и достигает значения, характерного для объема потока. Решение уравнений гидродинамики для ламинарного течения показывает, что толщина пограничного слоя обратно пропорциональна УЯе. Диффузионное сопротивление лежит в основном в пограничном слое, поэтому путь диффузии Д также обратно пропорционален У Яе. [c.263]

При больших числах Пекле (в приближении диффузионного пограничного слоя) в случае изотермической реакции порядка х = 1/2, 1, 2 проверка пригодности интерполяционного уравнения (5.6) проводилась во всем диапазоне изменения параметра к путем сравнения его корня Sh с точными результатами, полученными в 4, 5 для среднего числа Шервуда численным интегрированием соответствующ,их интегральных уравнений в случае поступательного стоксова обтекания сферы, кругового цилиндра, капли и пузыря. Результаты сопоставления точных и приближенных значений числа Шервуда показывают, что максимальное отклонение корня уравнения (5.6) от точного решения наблюдается при к Ре" = 1 -г- 5 и пе превышает 10%. [c.190]

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ [c.191]

В случае когда температура поверхности поддерживается постоянной, аналогичное решение для таких течений типа пограничного слоя на диске впервые получили Ротем и Клаассен [147]. Рассмотрены только случаи оттекания от оси, но численные результаты не приводятся. Бланк и Гебхарт [18] рассмотрели эти течения при более общем законе изменения температуры поверхности. Показано, что уравнения пограничного слоя допускают автомодельное решение при степенном законе изменения температуры поверхности to—to = Nx . Но физически реальные решения существуют при to > ta лишь для значений п в диапазоне —1/2 /г 2, а при to toa — B диапазоне —4/3 и —1/2. В статье [18] обсуждаются также точные решения для некоторых течений на диске и пластине. [c.237]

На рис. 18, а сплошными линиями нанесены величины скоростей, вычисленные с помощью выражения (П.8), полученного на основе решения уравнений пограничного слоя, а штриховыми — значения осевых скоростей, вычисленные на основе точного решения уравнений движения. Следует отметить, что описанная выше методика измерения скоростей использовалась для экспериментального исследования движения жидкости в объеме тигля, исключая пограничные слои, которые, как показывают расчеты, имеют незначительную толщину (порядка десятых долей миллиметра). Согласно принятой модели течения расплава, описанной в начале главы, ядро расплава предполагается свободным от радиальных скоростей течения. Этот факт подтверждается экспериментально. Под вращающимся кристаллом имеет место восходящий поток, скорость которого равна значению осевой компоненты скорости течения жидкости в пограничном слое на его внешней границе. Эта скорость может быть определена как из выражения (П.8) при г] = 1, так и из уравнения К ушкЯ( С ), для которого функция Я (сю) вычисляется исходя из точного решения уравнений пограничного слоя. Сплошными линиями на рис. 18,6, в даны величины окружных скоростей вращения жидкости, вычисленные теоретически на рис. 18,6 — по равенству = = г (1)к, на рис. 18,6 — из выражения (II 22). Все вычисления проводили при А = 1 и т = 1 и относятся к моде- [c.53]

Температурное поле вблизи плоской пластины и связанный с этим теплообмен рассчитаны также путем точного решения уравнений пограничного слоя для стационарного двухмерного потока. Решение для пластины с постоянной температурой поверхности получил в 1921 г. Е. Польхау-зен [Л. 78]. Он предположил, что скорости потока достаточно малы, и поэтому член уравнения, выражающий рассеяние, обусловленное вязкостью, не учитывается в уравнении энергии пограничного слоя. Это уравнение имеет тогда следующий вид [c.236]

В настоящее время найдено много точных и приближенных решений, описывающих течение в пограничных слоях. Все же остается еще многое сделать, чтобы применить эти методы к таким гидродинамическим системам, которые представляют интерес для инженерной практики. Например, течение в кормовой части догруженных в поток предметов не поддается расчету на основе уравнений пограничного слоя, поскольку в данной области наблюдается возвратное течение и прандтлевские уравнения пограничного слоя перестают быть справедливыми. [c.140]

Решения описанных выше задач методами пограничного слоя до сих пор были основаны на кармановских интегральных соотношениях (4.125), (11.100) и (18.76), которые получены интегрированием уравнений пограничного слоя Прандтля по координате у. Чтобы решить уравнения Кармана относительно толш,ин пограничных слоев б, бу, бс, необходимо задаться формами профилей скоростей, температуры и концентрации. В настоящем разделе приведен более строгий метод точного решения уравнений пограничного слоя [c.538]

Книга У. X. Дорренса Гиперзвуковые течения вязкого газа является первой монографией, в которой излагаются проблемы высокотемпературного пограничного слоя при наличии химических реакций. Содержание книги целиком относится к первому направлению численные методы решения в книге не затрагиваются. Поэтому естественно, что анализ исследуемых в ней задач имеет лишь чисто качественный характер. Автор в большинстве случаев рассматривает раздельно влияние различных факторов, и полученные выводы поэтому являются обычно лишь указанием на то, в какую сторону тот или иной фактор влияет. Но из-за существенной нелинейности уравнений пограничного слоя на основании этого еще нельзя сделать заключения о количественных эффектах при совместном воздействии различных факторов. Точные количественные характеристики могут быть получены сейчас только в результате численных расчетов с помощью вычислительных машин. Однако все же понимание физической картины явлений в пограничном слое имеет важнейшее значение и для точной математической формулировки задач, и для конструкторских работ при решении практической задачи теплозащиты гиперзвуковых аппаратов, указывая пути, на которых можно иайти их решения, после чего уже можно с помощью точных численных расчетов получить и некоторые количественные характеристики. [c.6]

В таком случае мы могли бы использовать в нашем решении любые из рекомендованных видов функциональной зависимости Г(Ме, Тю1Те). Однако нужно еще показать, что использование в таком виде приведенной температуры имеет некоторую связь с точным решением уравнений пограничного слоя. Сейчас мы это сделаем. [c.186]

Это соотношение применяется для расчета теплоо бмена в жидких металлах с числами Рейнольдса между 0,005 и 0,05. В этом диапазоне знаменатель мало зависит от Рг, так что критерий Нуссельта по существу зависит от произведения Не Рг, которое представляет собой критерий Пекле. Точное решение уравнений ламинарного пограничного слоя приводит к соотношению, которое имеет на месте знаменателя в приведенном выше уравнении слабую функцию Рг, которая изменяется нa 5% oкoлo величины 1,98 для данного выше диапазона чисел Прандтля [Л. 70]. Далее будет показано, что данное выше уравнение хорошо согласуется с этим результатом. [c.226]

В книге излагается сравнительно простой и эффективный инженерный метод численного решения полной системы уравнений пограничного слоя, позволяющий достаточно точно рассчитывать сопротивление и теплообмен поверхности, обтекаемой ламинарным или турбу-лоптпым высокоскоростным потоком газа прн учете вдува и отсоса. Дается обширный справочный материал и программа машинного счета. [c.2]

Из уравнения (2,16) видно, что поток приходит необед-ненным в точку зарождения диффузионного пограничного слоя т = О только в том случае, если /оо (0) == оо (здесь считается, что 7 (0) т = 0 в противном случае тривиальное решение z = О является точным решением исходной задачи (1.2) - (1.4)). [c.178]

Уравнение (1.88) — линейное, параболического типа. Для его решения при указанных краевых (т. е. начальных и граничных) условиях можно воспользоваться численным методом [например, методом сеток, заменив точное уравнение (1.88) приближенным конечно-разностным]. Такой путь уже давно освоен в теории пограничного слоя (С. Леви [92]. Флюгге-Лотц [85] и др.). Основным препятствием для их использования является незнание температурного профиля в начальном сечении. [c.52]

Профиль скорости, полученный таким образом, изображен на рис. 6-16. Здесь приводится также профиль, описываемый ураганением (6-26), с эквивалентной толщиной пограничного слоя. Из рисунка видно, что совпадение вполне удовлетворительное. Точные решения уравнений ламинарного пограничного слоя получены также для двухмерного потока на поверхности, когда скорость потока изменяется согласно соотношению [c.193]