Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Статьи Рисунки Таблицы О сайте English

Эйлера метод решения дифференциальных уравнений

    Для нахождения приближенного решения системы дифференциальных уравнений можно использовать метод Рунге — Кутта и метод Эйлера. [c.123]

    Алгоритм и блок-схема решения дифференциальных уравнений методом Эйлера. [c.69]

    При решении дифференциальных уравнений по методу Эйлера производная аппроксимируется отношением конечных прирашений, что приводит к следующей итерационной формуле  [c.224]


    Если программа не предусматривает автоматического выхода из бесконечного цикла и прекращения вычислений по достижении заданной точности результата (так же, как, например, для интегрирования по методу Эйлера), то блок-схема алгоритма решения дифференциальных уравнений методом Эйлера имеет следующий вид (схема 15)  [c.219]

    Современная вычислительная техника позволяет преодолеть трудности аналитического вычисления предыдущего интеграла. Наиболее просто это можно сделать одним из численных методов решения дифференциальных уравнений — методом Эйлера. Заключается он в следующем. Заменим в уравнении дифференциалы конечными разностями  [c.39]

    При численном решении систем дифференциальных уравнений наиболее часто используют методы Эйлера и Рунге — Кутта. С другими методами можно ознакомиться в книгах по вычислительной математике [2, 3]. Оба эти метода удобны при программировании решения на ЭВМ для тех случаев, когда все граничные (начальные) условия заданы при одном и том же значении аргумента. Охарактеризуем кратко эти методы. [c.145]

    Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

    В связи с тем, что при расчете стационарных режимов работы технологических схем точное решение динамической модели не является необходимым, целесообразно при интегрировании системы дифференциальных уравнений использовать различные временные шаги интегрирования для каждой перемены, что в случае применения метода Эйлера запишется как [c.404]


    Возможны и более сложные реализации итерационных, рекуррентных и других подобных вычислений. Например, к ним сводится решение систем дифференциальных уравнений любыми разностными методами, например, Эйлера, Рунге—Кутта и др. [c.76]

    Блок-схема алгоритма приведена в работе [36]. Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс каталитического риформинга, первоначально использовался метод Рунге—Кутта. Разработанная программа позволила эффективно интегрировать дифференциальные уравнения. Однако, как показала практика, на расчеты затрачивалось много времени. Для сокращения времени счета была составлена другая программа, использующая более быстрый метод Эйлера. Сравнение точности вычислений по этим двум методам решения системы дифференциальных уравнений приведено в таблице III. 2. Данные таблицы показывают, что [c.126]

    Вариационные методы позволяют в этом случае свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы дифференциальных уравнений Эйлера, каждое из которых является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка с граничными условиями, заданными на обоих концах интервала интегрирования. Число уравнений указанной системы при этом равно числу неизвестных функций, определяемых при решении оптимальной задачи. Каждую функцию находят в результате интегрирования получаемой системы. [c.32]

    Лля решения системы нелинейных алгебраических уравнений (1-2) использовался переход к нестационарной задаче с последующим решением полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера. [c.159]

    Задача может быть сформулирована следующим образом Найти решение дифференциального уравнения Эйлера—Лагранжа, удовлетворяющее при = О и t = T заданным граничным условиям . Из граничных условий можно определить только две точки искомой экстремали. Однако неизвестно, как проходит экстремаль, соединяющая эти две точки. Нужно знать хотя бы производную в момент = 0 или = Г. В случае одномерной задачи для получения решения численными методами надо приравнять производную, например в момент = 0, некоторой величине и получить, исходя из этого, кривую у 1), удовлетворяющую при I = Т заданному граничному условию. Для примера допустим, что уравнение Эйлера—Лагранжа имеет вид [c.109]

    Рассматриваемая задача представляет собой двухточечную краевую задачу для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Используем для решения метод Ньютона, а в качестве промежуточных звеньев в программе — модифицированный метод Эйлера для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и метод Гаусса для решения систем алгебраических уравнений. [c.309]

    Такое поведение, типичное для жестких систем, мы рассмотрим на примере системы дифференциальных уравнений, описываю-шей кинетику химической реакции, причем эту систему можно решить также и аналитическими методами. Как поведет себя численный алгоритм, например алгоритм Эйлера, при решении такой системы (На данном примере будет показано, как решить эту проблему с помощью неявного метода Эйлера.) [c.395]

    IV. Для определения времени, требуемого для отгонки водно-спиртовой смеси, необходимо решить систему дифференциальных уравнений (5), (6) и (9). Решение системы дифференциальных уравнений осуществляется методом Эйлера [3]  [c.182]

    Решение указанной системы дифференциальных уравнений проводилось по программе, составленной применительно к универсальной цифровой машине Урал . Для решения был применен метод Эйлера, заключающийся в автоматическом нахождении шага интегрирования, отвечающего заданной величине точности расчета. Этой величине соответствует максимальное отклонение интегральных кривых, получаемых при численном решении задачи, от истинных значений величин, характеризующих изменение концентрации жидкости на тарелках колонны во времени. [c.238]

    Дифференциальное уравнение ячейки МИВ можно решать методом Эйлера аналогично примеру 1, но простая форма дифференциального уравнения позволяет найти решение и в аналитической форме. [c.20]

    Аналитическое решение этой системы по методу стационарных концентраций дает известное уравнение Михаэлиса — Ментен. Если же решать эту систему уравнений, не привлекая гипотезу о стационарности концентрации фермент-субстратного комплекса, то необходимо воспользоваться одним из численных методов. Для наглядности обсудим сначала метод Эйлера. Чтобы не усложнять задачу, ограничимся пока системой из двух дифференциальных уравнений. (Для сравнения справа приведено решение одного дифференциального уравнения методом Эйлера.) [c.231]

    Метод вариационного исчисления — используется в случаях, когда критерии оптимальности представляются в виде функционалов, решением которых являются искомые функции. Метод позволяет свести решение оптимальной задачи к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (дифференциальных уравнений Эйлера) с граничными условиями, число которых равно числу неизвестных функций. Значение каждой функции находят в результате интегрирования данной системы. [c.175]


    Таким образом, дифференциальное уравнение движения вязкой жидкости (1.67) оказалось выраженным полностью через безразмерные переменные и параметры, и, следовательно, решение этого дифференциального уравнения (независимо от того, возможно ли оно какими-либо методами) должно представлять собой некую функциональную зависимость между безразмерными величинами скорости (И ) и давления (П), безразмерными переменными (9 и Л) и безразмерными параметрами процесса (коэффициентами уравнения) - критериями подобия гомохронности, Фруда, Эйлера и Рейнольдса. [c.87]

    Метод Эйлера является методом численного приближённого решения дифференциального уравнения первого порядка. Найдём решение уравнения [c.17]

    В этом случае уравнения Эйлера — Лагранжа образуют, вообще говоря, нелинейную систему дифференциальных уравнений второго порядка. Чаще всего ее невозможно решить аналитически. Уравнение с двухточечными граничными условиями решают численно, применяя для отыскания решения, удовлетворяющего граничным условиям, метод проб и ошибок. Типичными граничными условиями для У1 и уг являются, например, такие  [c.100]

    Таким образом, из функционального уравнения динамического программирования мы получили нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных (19). Решение этого уравнения с учетом соотношений (20) — (27) привело к соотношению (28), которое оказалось тождественным уравнению Эйлера — Лагранжа, выведенному с помощью методов вариационного исчисления. При другом варианте применения метода динамического программирования f х, у) можно было бы получить непосредственно из уравнения (19). Для этого нужно найти производные в каждой точке (х, у). [c.146]

    Для расчета констант скоростей реакций используются данные исследования кинетики химической реакции, то есть опытные значения изменяющихся во времени кош1ентраций компонентов в реакционной среде. Эти данные позволяют установить предполагаемый механизм реакции, составить уравнения кинетики реакции в форме системы дифференциальных уравнений, и в ходе решения этой системы уравнений с различными подставляемыми значениями констант скоростей реакции подбирают такие значения констант скоростей реакции К, при которых расчетные значения кинетических кривых наиболее хорошо совмещаются с опытными в сходственных (реперных) временных точках (рис.2.1). Решение дифференциальных уравнений можно выполнить достаточно простым методом Эштера. Напомним, что в методе Эйлера искомая функция изменения параметра С (например, концентрации) во времени г задается дифференциальным уравнением (1С/(1т = (С) и в любой момент времени г,- расчетная величина С,- находится по уравнению [c.13]

    Биотехнологические процессы моделируются с помощью систем дифференциальных уравнений. Только немногие из этих систем можно решить аналитически, чаще требуется применение численных методов интегрирования прикидочное решение достигается с помощью метода Эйлера, более точное решение дает метод Рунге Кутта. [c.57]

    Седьмая глава является одной из основных глав книги. Здесь на примерах теплообменника и ректификационной колонны показана методика использования численных методов решения задач. Авторы связывают расчетные параметры с изучаемым процессом. Рассматриваются методы преобразования дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и затем в разностные уравнения. Сравнивается использование различных методов (Эйлера, Рунге—Кутта, Крэнка—Никольсона и метода авторов) с точки зрения сходимости, точности и возможности расчета с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Приводится расчет многокомпонентной ректификационной колонны. В заключение дается обзор численных методов. Следует отметить, что опущены некоторые математические рассуждения, очень простые для математиков и необходимые для понимания химикам-технологам. [c.7]

    Кратко опишем содержание этой главы. В разд. 2 рассматривается обычная одномерная вариационная задача. Приводятся общеизвестные положения и сведения из вариационного исчисления (уравнения Эйлера — Лагранжа, вариация, двухточечная граничная задача). В разд. 3 проводится сравнение методов отыскания оптимума с применением вариационного исчисления и дифференциального исчисления. В разд. 4—11 описываются некоторые трудности, возникающие при применении вариационного исчисления. К их числу относятся наличие ограничений, сложность решения двухточечной граничной задачи, линейность, а также наличие негладких функций. В разд. 7 указаны различные пути решения задач при ограничениях типа неравенств. На примере, приведенном в разд. 8, [c.97]

    Правую часть дифференциального уравнения вычисляют, исходя из известных уже значений x и. Поскольку метод решения дифференциальных уравнений такого типа работает как при положительных приращениях Дх , так и при отрицательных, было бы гораздо лучше, если бы можно было оценивать правую часть дифференциального уравнения между и К сожалению, непосредственно сделать это нельзя, поскольку еще не вычислено значение Однако с помощью так называемого прогноза можно найти вспомогательную величинуВ качестве прогноза примем приведенную выше рекуррентную формулу Эйлера  [c.224]

    Определение константы равновесия К проводилось путем решения дифференциального уравнения для конверсии (9) методом Эйлера на ЭЦВМ Минск-22 . Полученные зачения констант равновесия приведены в таблице. [c.53]

    Нх, 1) = Ах] - (1 - г)/ хО . Эта гомотопия часто называется глобальной гомотопией, так как решение ее канонического дифференциального уравнения методом Эйлера без шага коррекции эквивалентно методу Ньютона с демпфирующим фактором, т. е. траектория гомотопии, образованная применением этой функции гомотопии, глобализирует метод Ньютона. [c.265]

    Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

    Как следует из (10.28), метод Галеркина и метод локального потенциала приводят к одним и тем же уравнениям Эйлера — Лагранжа. Основное достоинство метода Галеркина заключается в его большой общности [87]. Он может быть использован в решении и несамосоиряженных и нелинейных систем дифференциальных уравнений. К сожалению, этот метод не имеет вариационной природы и потому не содержит никакого минимального свойства, позволяющего решить задачу о сходимости последовательных приближений (разд. 10.5—10.7) Именно в этом пункте метод локального потенциала вносит существенное дополнение к методу Галеркина, так как заранее постулирует свойство минимума. Кроме того, во всей области, где справедливо предположение о локальном равновесии, минимальное свойство допускает очень интересную физическую интерпретацию. Как показано в гл. 8, этот минимум соответствует наиболее вероятному состоянию, что согласуется с формулой Эйнштейна для флуктуаций около неравновесного состояния. [c.149]

    При составлении программы для второго этапа решения задачи обратить внимание на возможность использования программы для первого этапа с незначительной переделкой в первую очередь з астка программы, ответственного за решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера, [c.131]

    Целью данного раздела являлось описание идей и. методов, которые могут приводить исходную сформулированную на "прикладном языке практическую задачу к задачам вариационного исчисления. Поэтому следует от.метит тот факт, что выписанное выше во всех рассмотренных примерах уравнение Эйлера пе решалось аналитически и не исследовалось качественное поведение его решения. Эта задача не входит в наши планы и предста,вляет собой отдельную пробле.му, поскольку достаточно часто получение аналитического рец1ения для уравнения Эйлера не представляется зоз.уюжньш. В таких случаях. видимо, следует привлекать теорию численного интегрирования краевых задач для дифференциальных уравнений или другие соображения, позволяющие делать выводы о качественном характере поведения решения. [c.55]

    Наиболее яростым хметодом решения систем дифференциальных уравнений является известный упрощенный метод Эйлера, согласно которому значение производной, подсчитанное в начале интервала, принимается постоянным на всем интервале, При помощи этого метода проводится расчет колонны способом от тарелки к тарелке , предложенный Льюисом и Матисоном , При решении краевых задач важное значение приобретает выбор начальных условий. [c.27]

    Вариационные задачи. Среди оптимизационных задач особый класс составляют задачи, в которых требуется найти некоторую функцию, оптимизирующую данньЁй функционал. Эти задачи называются вариационными. Для их решения обычно применяют два общих метода. Метод Эйлера заключается в переходе от задачи минимизации функционала к задаче решения некоторого дифференциального уравнения. Метод Лагранжа основан на обобщении соответствующих свойств экстремальных точек функций, в результате чего решение вариационной задачи сводится к отысканию корней нужным образом определенного дифференциала функционала. [c.28]

    Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, естествепно, существенно упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вычислительный алгоритм решения уравнений направления и совместности обычно включает итерационный процесс, при этом первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.67]

    С другой стороны, теорию Гильберта всегда можно довести до конкретных результатов, так как методы решения уравнений Эйлера хорошо изучены, чего нельзя сказать о гидродинамических уравнениях высших порядков теории Чепмена—Энскога, представляющих собой дифференциальные уравнения всегда первого порядка относительно временных производных, но последовательно возрастающего порядка относительно производных макроскопических переменных по пространственным координатам. Разрешению этой трудности была посвящена работа Грэда [84], в которой показано, что для любого конечного значения времени результаты Гильберта и Чепмена—Энскога являются асимптотическими решениями уравнения Больцмана. Алгоритм построения последовательности решений Гильберта всегда можно реализовать получаемый результат ограничен при любом конечном времени гидродинамические уравнения высших порядков теории Чепмена—Энскога и, в частности, уравнения первого порядка (уравнения Навье—Стокса) приводят к решению, ограниченному при любых временах. Однако, если не удается решить уравнения теории Чепмена—Энскога, нам не остается ничего иного, кроме как использовать разложение Гильберта. В 5.10 мы вернемся к рассмотрению этого вопроса. [c.130]

Смотреть страницы где упоминается термин Эйлера метод решения дифференциальных уравнений: [c.281]    [c.92]    [c.64]    [c.126]    [c.26]    [c.213]   
Разделение многокомпонентных смесей (1965) -- [ c.27 , c.238 ]



ПОИСК





Смотрите так же термины и статьи:

Дифференциальных уравнений Эйлера

Уравнение дифференциальное

Уравнение решения

Эйлер



© 2025 chem21.info Реклама на сайте