Сходимость метода итерации

Таблица 7. Скорость сходимости метода итераций в пространстве управлений для задачи 1

Метод простых итераций во многих случаях расходится или имеет медленную сходимость. Существует ряд способов ускоряющих сходимость метода простых итераций. [c.18]

Сложнее вопрос о быстродействии для итерационных методов. Во-первых, сходимость метода обеспечивается при выполнении определенных для каждого метода условий. Например, при решении уравнения /(Г) =0 по формуле (1-24) процесс будет сходящимся, если / (Г ) < 1. Во-вторых, количество итераций, которое необходимо выполнить для получения решения, зависит от начального приближения и требуемой точности. Чем ближе начальное приближение к истинному решению, тем быстрее оно будет достигнуто. Более того, от начального приближения зависит вообще возможность получения решения. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения начальных условий и параметров процесса. Решению этой проблемы уделяется основное внимание при разработке универсальных моделирующих алгоритмов. [c.24]

При использовании метода Гаусса — Зейделя условия сходимости, сформулированные теоремой сходимости простой итерации, остаются в силе. [c.261]

Конечно, этот результат в значительной мере обусловлен медленной сходимостью метода простой итерации в описываемой задаче. Применение более сильных методов приведет к уменьшению преимущества, но оценки показывают, что последнее все равно останется достаточно заметным. [c.226]

Модификации метода Ньютона можно подразделить на две группы к первой относятся методы, уменьшающие количество вычислений на каждой итерации, ко второй — методы, увеличивающие область сходимости метода. [c.269]

Итак, стационарный режим гомогенного реактора с рециклом будет устойчив, если выполняется условие (XI,131). Интересно отметить, что в этом случае условия устойчивости стационарного режима совпадают с условиями сходимости метода простой итерации при расчете того же режима данной схемы (см. Приложение книги [31). [c.265]

При помощи такого метода определения удается улучшить сходимость, проводя итерации с введением коэффициента х (стр. 270). В данном случае этот коэффициент вводится при нахождении приближений и , которые, как показали предварительные подсчеты, склонны к колебаниям. Таким образом, (р Ь1)-ые приближения и определены по формулам [c.724]

Решение можно выполнить методом итерации, используя для ускорения сходимости формулу Ньютона. Поскольку [c.292]

Как только принята определенная характеристика работы массообменной тарелки (например, эффективность, эквивалентная теоретической ступени разделения), задача расчета ректификационной колонны в целом становится математически однозначной. Поэтому не требуется никаких дополнительных допущений, которые, например, были вынуждены делать авторы приближенных способов расчета (допущения о постоянстве мольных потоков по колонне, о постоянстве температур по высоте секций, о паре компонентов, определяющих разделение сложной смеси и т, д. — см. главу И). В этом смысле расчет на машинах является точным (методы расчета изложены в главе П1). Поскольку можно разработать надежные методы итераций, которые обеспечивают сходимость расчета, нет нужды и в дополнительных допущениях, касающихся распределения компонентов в продукты разделения. [c.12]

Как и в методе итераций для отдельных уравнений, здесь возникают вопросы о точности и сходимости метода. [c.224]

Сходимость метода Ньютона сильно зависит от хорошего начального приближения, поэтому иногда при расчете прибегают к разнообразным вариантам итеративных расчетов с запоминанием результатов предыдущих итераций, среди которых наиболее известен метод Вольфа [20]. [c.142]

Отметим, что согласно уравнению (5.2.13) на каждой итерации требуется обращать матрицу, а следовательно, чтобы избежать плохой обусловленности, необходимо использовать эффективную вычислительную программу. Сходимость метода Ньютона гарантируется, если функция ф (Р) дважды дифференцируема и если матрица [Уф 1 является положительно определенной. [c.159]

Определение степени превращения в реакторах сводится к нахождению корня уравнения УП1,83), который расположен между О и 1. Решение можно выполнить методом итерации, используя для ускорения сходимости формулы Ньютона. Поскольку [c.305]

Использование именно этого метода при иллюстрации алгоритмов объясняется его простотой и наглядностью. В математической литературе Л. 7-1—7-12] описаны другие методы итераций, которые без значительного усложнения расчетных алгоритмов позволяют ускорить сходимость решений и, следовательно, сократить время счета. [c.248]

Метод Ньютона также применяется для уточнения решений. Он сопровождается большим объемом вычислений, чем метод итераций, однако сходимость его лучше. [c.251]

Таким образом, изложенный метод обеспечивает надежную и быструю сходимость в самой широкой области Ошибка в начальном задании д может составлять несколько порядков (в некоторых случаях больше 10) и тем не менее сходимость метода обеспечена. Принципиально изложенный метод применим и для случаев разделения с переменными молярными переливами и переменными летучестями компонентов. В этом случае лишь необходимо дополнить систему уравнений, описывающих процесс ректификации, уравнениями теплового баланса и зависимостями летучестей или констант фазового равновесия от температуры. Алгоритм итераций в этом случае полностью сохраняется. [c.290]

Метод градиента и его частный вариант — метод наискорейшего спуска наиболее широко применяются для нахождения экстремумов функций многих переменных. Для отыскания минимума плохо организованной функции более предпочтителен метод градиентов с постоянным или дробящимся шагом а, так как в этом случае на каждой итерации уточняется направление быстрейшего убывания функции Ф(а). Объем вычислений при использовании метода градиентов значительно больше, чем при поиске минимума методом наискорейшего спуска. Однако программа поиска а на ЦВМ методом градиентов существенно проще, чем аналогичная программа для метода наискорейшего спуска, оптимальный рабочий шаг в котором определяется из уравнения (IX. 23) или приближенным способом. Метод наискорейшего спуска выгодно применять, если известно, что функция ф(а) достаточно хорошо организована, например, не имеет оврагов или близка к квадратичной функции. При попадании изображающей точки а в овраг скорость сходимости методов градиента и наискорейшего спуска резко уменьшается, а траектории движения практически совпадают. На рис. IX.4 изображена траектория движения изображающей точки a t) [в соответствии с уравнением (IX. 22, а) при а = onst] на [c.226]

Практические исследования показали, что качественное улучшение описания отображения (11.14) достигается преимущественно при введении в (11,17) новых членов на каждом шаге итерации, что свидетельствует о предпочтительности испольео-вания для расширения базиса первой стратегии. Предлагаемый алгоритм выбора вводимых в (11.17) новых членов позволяет минимизировать максимальные относительные невязки уравнений на каждом шаге итерации, что непосредственно влияет на скорость сходимости метода. [c.599]

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предьщущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура мат эицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению. [c.79]

Методы решения систем нелинейных уравнений можно р азбить на три группы. К первой относятся метод простой итерации и его модификации, а также методы, ускоряющие сходимость простой итерации (методы DEM [22], GDEM [23]) ко второй — метод Вольфа и его модификации [3, с. 35 1, с. 84] к третьей — квази-ньютоновские методы. Здесь мы рассмотрим только метод Ньютона и квазиньютоновские методы решения систем нелинейных уравнений, идейно очень близкие к методу Ньютона и квазиньютоновским методам оптимизации. В дальнейшем будем говорить, что метод обладает р-шаговым свойством линейного окончания, если он обеспечивает решение системы линейных уравнений при числе шагов, не превышающем р. [c.29]

Вводя локальный потенциал, вместо самосогласованного метода можно использовать метод пробных функций в вариационном методе итераций. Например, для стационарной задачи теплопроводности, исходя из произвольной функции Го, удовлетворяющей граничным условиям, первое приближение для Г вычисляется путем минимизации локального потенциала точно так же, как в методе Релея — Ритца. Затем полученный результат для Г беретея за исходное распределение Го и по нему вычисляется второе приближение и т. д. Критерии сходимости (10.46), (10.47) и (10.51), полученные выше для самосогласованного метода, могут быть доказаны и в данном случае независимо от выбора первой пробной функции [60]. Другой, несколько отличный от этого критерий был получен ранее Крускалом [97] для частного случая одномерной стационарной задачи теплопроводности. [c.139]

Система (II, 6) должна быть близка к линейной это условие будет выполняться, если начальное приближение находится достаточно близко от решения системы (И, 6). Действительно, при этих условиях шаг в соответствии с (II, 14), (II, 23) будет почти ньютоновским, примененным к системе, близкой к линейной, а, как мы видим, метод Ньютона дает решение системы линейных уравнений за один шаг. При невыполнении этих условий трудно ожидать хорошей сходимости метода. А поскольку при плохом начальном приближении второе условие часто не вьшолняется, то и метод в этих случаях сходится не очень быстро. И, действительно, типичная картина зависимости нормы правых частей системы от номера итерации проиллюстрирована на рис. 9. Вначале достаточно долго наблюдается очень медленная сходимость, и только в конце итерационного процесса норма начинает очень быстро уменьшаться, т. е. сверхлинейная сходимость появляется только в конце итерационного процесса, когда выполняются оба условия, матрица Я становится близкой обратной матрице Якоби, а система (II, 6) вследствие близости итерационной точки к точке решения становится близкой к линейной. [c.71]

Эффективность метода сопряженных направлений объясняется тем, что при его применении используется квадратичная аппроксимация функции. При этом непосредственно вторые производные не вычисляются. Информация о них находится в несколько итераций. Ясно, в свяэи с этим, что скорость сходимости метода ниже скорости сходимости метода Ньйтона, однако, трудоемкость выполнения каадой итерации меньше. Кроме того, при втом не вносятся погрвашости, связанные с явным вычислением вторых производных. [c.44]

При решении уравнений фильтрации используются два метода (по выбору). По умолчанию используется полностью неявный метод решения, обеспечивающий устойчивость вычислений при больших временных шагах. При использовании этого метода обеспечивается заданная точность решения нелинейных уравнений, и погрешность материального баланса сохраняется пренебрежительно малой. Для решения нелинейных уравнений используется метод итераций Ньютона, при этом матрица фильтрационных коэффициентов разложима по всем переменным, что обеспечивает квадратичную (высокую) скорость сходимости. При решении сильно нелинейных задач используются различные методы ускорения сходимости. Система линейных уравнений на каждой ньютоновской итерации решается методом Nested Fa torisation с ускорением за счет применения метода Orthomin. [c.178]

Сходимость метода Ньютона — Гаусса в среднем высокая, причем в большинстве случаев потребность в применении релаксационной методики не возникает. Обычное число итераций при оценке двух энергетических параметров моделей локального состава по данным для бинарной системы, при аналитическом расчете производных dFa ild j, составляет от 5 до 15. При численном расчете производных число итераций выше. Скорость сходи-мости падает с уменьшением степени неидеальности системы. [c.236]

Выше указывалось, что расчет многокомпонентной ректификации способом от тарелки к тарелке может оказаться затруднительным из-за неустойчивости решения. Однако существует обширный класс задач, решение которых указанным спо-с5обом наиболее эффективно. К этому классу относятся ректификация тройных смесей, разделение многокомпонентных смесей в том случае, когда в дистиллят или кубовый остаток отбирается соответственно самый легкий или самый тяжелый компонент, а также ректификация смесей, компоненты которых близки по физическим свойствам (близкокипяшие компоненты). Для рёшения перечисленных задач необходимо либо указать достаточно точные начальные данные, либо разработать простой метод итераций, обеспечивающих сходимость расчета даже при нечетком разделении. [c.48]

При использовании способа от тарелки к тарелке обеспечение сходимости в процессе приближения представляет весьма сложную задачу. Для решения этой задачи Гринштадт и др. применили метод итерации Ньютона. Расчет ректификации 12-компонентной смеси (при числе тарелок в колонне, равном 13) на большой машине 1ВМ-704 по методу Гринштадта и др. продолжался 12 мин. Расчету процесса ректификации близкокипящих компонентов по способу от тарелки к тарелке посвящен ряд других работ. [c.60]

Метод сопряженных градиентов обладает тем нреимущист-вом, что здесь используется вся информация о предшествующих итерациях, поскольку направление движения определяется рекуррентным соотношением (18). Недостатком этого метода является то, что нри значительном удалении начальной точки поиска 6 от точки минимума в процессе вычислений по уравнению (18) происходит накопление ошибок, сказывающееся на быстроте сходимости метода. Другой недостаток заключается в трудности выбора единичного шага а в выражении (19). Метод сопряженных градиентов не нашел такого широкого применения, как метод крутого спуска и метод градиента. В литературе имеется пример использования этого метода для обработки данных ИК-спектров [c.96]

Практические рекомендации по выбору а приводятся в работах [66 — 71]. Сходимостт, итераций (28) к ближайшему от 6 минимуму (0) пок азана Хартли [66]. Для доказательс гва сходимости метода потребовалось суш,ествование первых и вторых производных 5 (6) по 0 и непрерывность (6). Недавно было показано [72], что итерации (28) сходятся к минимуму со скоростью геометрической прогресии. По оценке Бокса [73[, применение этого метода сокращает число вычислений в сравнении с градиентными методами в среднем в (р- -2)/2 раз, где р — число определяемых параметров. Ясно, что чем ближе зависимость (20) к линейной, тем быстрее будет достигнут минимум. В связи с этим приобретают интерес такие преобразования параметров [c.98]

Мы рассмотрели метод решения системы линейных разностных уравнений. Однако на практике часто встречаются задачи, сводящиеся к системам нелинейных дифференциальных уравнений. Во многих случаях показано, что реп1ение линеаризованной формы уравнений методом последовательных приближений (или итерациями) дает правильный ответ. Иначе говоря, если линеаризовать уравнения вблизи некоторого пробного решения, то в результате решения линеаризованных уравнений мы приближаемся к решению нелинейной задачи. Найденное решение можно рассматривать как пробное для получения второго приближения, и дальше весь процесс повторяется, пока не будет достигнута нужная точность. Как показывает опыт, сходимость метода не очень чувствительна к выбору первого пробного решения. [c.451]

В колонных аппаратах за основу алгоритмов расчета по ступеням равновесия для многокомпонентных систем экстракции чаще всего принимают метод Ньютона—Рафсона, использующий кусоч-ио-линейную аппроксимацию нелинейных уравнений математической модели. Решение осуществляется матричным методом на интервале, где справедлива линеаризация. Описание алгоритма проектного расчета многокомпонентной экстракции по ступеням равновесия дано Рохе [55]. Данный алгоритм использован для решения задачи разделения смеси ацетона и этанола с помощью экстракции двумя растворителями — хлороформом и водой в колонне с 15 ступенями. Расчет многокомпонентного равновесия проводился по трехчленному уравнению Маргулеса. Описанный алгоритм имеет двойной цикл итераций внутренний итерационный цикл заключается в расчете профиля концентрации при заданных граничных условиях, внешний цикл заключается в коррекции составов продуктов на выходе из колонны, удовлетворяющих регламенту. Коррекция осуществлялась за счет изменения расходов растворителей. Для достижения сходимости внутреннего цикла требовалось от трех до семи итераций, тогда как для получения заданного состава понадобилось 14 коррекций по расходам растворителей. Высокая скорость сходимости метода подтверждена работой А. В. Измайлова и Ю. Г. Мицкевича [56]. [c.391]

Известно также, что сходимость метода Ньютона к решению зависит от близости начального приближения к этому решению. В связи с этим начальное приближение в точке г + 1 целесообразно задавать посредством экстраполяции искомых функций с использованием их значений в предшествующих точках. И, наконец, время расчета существенно зависит от точности задания данных в начальной точке отрезка интегрирования, если эта точка находится в околоравновесной области, как, например, для течений в соплах. Даже незначительные ошибки в начальных данных (в четвертой — пято11 значащих цифрах) в силу малых значений т могут привести к длительному счету начального участка из-за медленной сходимости итераций. Поэтому в начальной точке целесообразно тоже решать систему (2.7) методом Ньютона с переменной матрицей, полагая второй член в. левой части (2.7) равным а - [c.65]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология