Неявные методы решения

Явные методы решения. В принципе, существуют два метода численного решения рассматриваемой системы уравнений. Один из них — явный метод решения, обсуждаемый в данном пункте, а другой — неявный метод решения, который будет рассматриваться в следующем пункте. [c.140]

Это преобразование улучшает обусловленность якобиана системы, т.е. уменьшает жесткость задачи. Затем полученная в результате преобразования система уравнений решается по неявной схеме Эйлера методом Ньютона. При такой конструкции алгоритма в преобразованном уравнении правые части быстрых переменных содержат члены с большими константами и называются авторами алгоритма быстрыми комбинациями. У медленных переменных в слагаемых скоростей будут отсутствовать члены с большими константами. Однако надо отметить, что константа скорости химической реакции сама по себе не является оценкой характерного времени би- и тримолекулярных процессов. Для такой оценки необходимы скорости элементарных стадий, а эти скорости могут быть получены только в процессе решения системы кинетических уравнений. Поэтому в некоторых случаях предложенный алгоритм может не привести к желаемому разделению на быструю и медленную подсистемы и фактически сведется к интегрированию неявным методом Эйлера системы обыкновенных дифференциальных уравнений, практически не отличающейся от исходной по жесткости. [c.133]

В неявном методе решения системы линейных дифференциальных уравнений надо на каждом шаге итерации обращать матрицу. Матрица А соответствует матрице Якоби для нелинейных систем. [c.398]

Неявные методы решения. Неявный метод решения примера, представленного выше, использует при аппроксимации значение функции для времени t + At вместо ее значения в момент времени Ь [c.141]

Обычно необходимо рассчитать стационарный режим при различных значениях управляющих переменных и. Различают два режима расчета системы (II, 6) при изменении переменных и. В первом случае расчет системы (II, 6) проводится для небольшого числа значительно отличающихся одно от другого значений управлений и. Во втором случае проводится многократное решение системы (II, 6) для многих значений вектора и, мало отличающихся одно от другого. Типичный пример такого случая — это решение задачи оптимизации ХТС, когда переменные и меняются в соответствии с некоторой стратегией поиска, и при каждом значении и приходится решать уравнения (И, 6), описывающие стационарный режим схемы. Ко второму случаю сведется также решение систем нелинейных уравнений методом продолжения по параметру, а также решение систем нелинейных уравнений на каждом шаге интегрирования при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений каким-либо неявным методом. Рассмотрим отдельно эти случаи, поскольку учет их специфики может существенно повысить эффективность процедуры расчета системы (И, 6). [c.71]

Е. Более экономичные методы решения. На практике в программах для ЭВМ, предназначенных для экономичного решения крупномасштабных задач, метод Гаусса— Зайделя применяется редко. Обычно используются методы, позволяющие получать решение быстрее, такие, как неявный метод переменных направлений, метод последовательной верхней релаксации и др. [c.37]

Такое поведение, типичное для жестких систем, мы рассмотрим на примере системы дифференциальных уравнений, описываю-шей кинетику химической реакции, причем эту систему можно решить также и аналитическими методами. Как поведет себя численный алгоритм, например алгоритм Эйлера, при решении такой системы (На данном примере будет показано, как решить эту проблему с помощью неявного метода Эйлера.) [c.395]

Метод решения систем разностных уравнений (для неявных схем). [c.179]

Если начать с шага Д/ = 1Е — 7, то оба численных метода верно описывают накопление и расходование промежуточного продукта К. После 100 шагов достигается стационарное состояние по веществу К. Поскольку при таком шаге концентрация вещества А практически не меняется, т. е. еще очень мала степень превращения, шаг интегрирования увеличивают с 1Е — 7 до 1Е — 3. При использовании метода Эйлера решение относительно концентрации вещества К становится неустойчивым и [К] может принимать очень большие значения, ограниченные только допустимой величиной констант данной ЭВМ. Неявный метод дает верные значения [К] и при таком шаге. [c.397]

Зависимость (11.6.11) и ее агрегированная запись (11.7.9) отличаются соответственно от (11.6.10) и (11.7.8) тем, что при влиянии нижнего бьефа они приобретают вид неявного уравнения, что, впрочем, мало существенно с точки зрения метода решения задачи. В уравнении [c.426]

Система уравнений (5-6) является системой нелинейных уравнений в частных производных параболического типа. Для решения был использован неявный метод сеток [8]. Уравнение (6) приводилось к нестационарному виду, после чего вычислялось распределение температуры в фазе I по радиусу трубки по известному распределению температур и концентраций в фазе 2, Для этого из решения системы (I) и (2) рассчитывается температура по. оси трубки 1а,. Определяя распределение температуры по радиусу фазы I из решения уравнения (6) на каждом шаге по радиусу решалась система уравнений (5), в которой при заданных значениях концентраций и температур в фазе 2 и температуры в фазе I вычислялись значения концентраций в фазе I. Вычисление распределения температуры в фазе I производилось с помощью итераций до установления стационарного состояния. После этого вычислялись значения температуры и кон -центраций в фазе 2 на следующем шаге по длине слон из решения системы (7)-(8). Процедура повторяется до выхода из трубки реактора. Рассчитанные профили концентраций и температуры приведены на рис.2-5. [c.162]

Таким образом, использование линейных многошаговых неявных методов представляется нам наиболее предпочтительным при решении задач физической и химической кинетики. [c.17]

В работах [ 2 ], [ 5 ] описаны методы решения систеш (I), основанные на применении неявного метода Эйлера. Однако у этой разностной схемы ошибка на каждом шаге интегрирования длины 11 имеет порядок ъ. и по этой причине для достижения нужной точности все-таки требуется мелкий шаг. При моделировании химических процессов мы использовали неявную разностную [c.28]

Так, иапример, в [26, 27] предложен метод медленных комбинаций. Суть его заключается в следующем. Исходная система (1) записывается в виде у =A V, где Л — есть стехиометрическая матрица V—вектор скоростей стадий. Затем полученные уравнения преобразуются с помощью матрицы Q к системе Qy = AF, к которой II применяется неявный метод Эйлера. Здесь А есть треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами. Преобразование выполняется с целью выделения малых величии в самостоятельную комбинацию, что улучшает обусловленность вариационной матрицы. В [28] после применения неявного метода Эйлера система приводится к удобному для итерирования виду, причем итерации проводились с применением метода Зейделя. Исследование формулы Эйлера в случае применения ее для решения жестких систем приведено в [29]. Отметим, что схема Эйлера имеет всего лишь первый порядок точности, и поэтому проведение расчетов с достаточно высокой точностью приводит к большим вычислительным затратам. [c.55]

Метод решения заключается в переходе к нестационарным задачам, которые аппроксимируются системами конечно-разностных уравнений. В одномерном случав для осуществления неявных разностных схем применяется метод прогонки ( I ) [c.471]

Некоторые авторы применяли неявный метод Рунге — Кутта [35, 57, 58]. В этом случае расчеты у, включают решение нелинейного уравнения (или системы уравнений), таких, как у/ = / (у,), с использованием численного метода. [c.175]

Расчетные зависимости содержат температуру в неявном виде. Решение системы уравнений равновесия осуществляется методом последовательных приближений. [c.283]

Для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений (2)— (4) используем разностный метод. Разностные методы в последние годы получили широкое распространение при решении разнообразных задач гидродинамики и теплообмена, для расчета течений в пограничном слое, трубах и каналах [Г]. Наиболее эффективными оказались неявные методы, которые по сравнению с явными свободны от ограничений, налагаемых на выбор величины шага в продольном направлении. Неявным методом были исследованы некоторые задачи ламинарного течения и теплообмена ньютоновских и неньютоновских жидкостей в трубах [8—И]. [c.89]

Неявные схемы, как правило, лишены этого недостатка, но их использование связано с другой трудностью нахождение значений искомой функции сопряжено с необходимостью решения системы линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных. Поэтому возникает необходимость поиска эффективных методов решения систем, получающихся при использовании неявных схем. Одним из наиболее эффективных и распространенных методов является метод прогонки (см. [41, с. 375]), называемый так-/ке методом исключения. [c.45]

Неявные методы важны для решения жестких систем дифференциальных уравнений, которые типичны для задач, связанных с моделированием процессов горения, главным образом, из-за химической кинетики (см. 7.3). Хотя один шаг по времени в неявной схеме требует ббльших вычислительных затрат (из-за необходимости решения системы линейных уравнений), чем в случае явной схемы, более высокая устойчивость неявных схем делает возможным ббльшие шаги по времени и, следовательно, в неявной схеме требуется меньшее число шагов. В результате получается значительный выигрыш во времени, необходимом для вычислений. [c.142]

Кинетическая модель — помимо переменных состояния — содержит в себе параметры (константы скорости, константы равновесия элементарных реакций, энергии активации), смысл которых вытекает из детального механизма реакции. Численные значения этих параметров на сегодняшний день не могут быть получены чисто теоретическими расчетами. Для их определения необходимы лабораторные экспериментальные данные по исследованию кинетики на данном катализаторе. На базе этих экспериментов уточняется форма кинетической модели, определяются неизвестные значения параметров — путем приведения в соответствие экспериментальных данных с предполагаемой формой кинетической модели. Содержание, адекватность, предсказательная сила конечного продукта — содержательной кинетической модели — зависит от того дизайна , который применялся при его построении. В настояш,ее время кинетический дизайн или построение адекватной кинетической модели представляет собой самостоятельное научное направление. Оно базируется на искусстве целенаправленного планирования кинетических экспериментов с целью получения информативного массива данных, на правильной оценке погрешности в данных и их коррекции строгими статистическими методами. Определение численных значений параметров — или другими словами параметрическая идентификация — использует необходимый для этой цели арсенал математических, статистических и вычислительных методов. Вычислительные методы решения задач параметрической идентификации существенно зависят от характера экспериментальных данных, полученных либо в проточном реакторе идеального перемешивания, либо в проточном реакторе идеального вытеснения, либо в реакторе закрытого типа и др. Это очевидно, поскольку уравнения математического описания перечисленных типов реакторов относятся к разным классам уравнений математической физики. В одних случаях работа ведется с системой дифференциальных уравнений с нелинейными правыми частями, в других — с системой нелинейных алгебраических уравнений, неявных относительно измеряемых в эксперименте переменных состояния. [c.68]

Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, практическое использование неявных методов типа Рунге—Кутта является еще весьма и весьма ограниченным. Причины этого заключаются в больших вычислительных затратах на шагах интегрирования. Из (П7.8) видно, что для вычисления ki требуется организовать итерационный процесс. Простой итерационный процесс является малоэффективным при решении жестких задач, так как он приводит фактически к такому ограничению на размер шага, что и явные методы. Поэтому возникает необходимость использования метода Ньютона—Рафсона или какой-либо его модификации. Это, в свою очередь, приводит к необходимости обращения матрицы размерности тхМ, что соответствует скалярным произведениям. Некоторого сокращения вычислительных затрат достигают за счет Ьи — разложения итерационной матрицы, а также за счет использования одной и той же матрицы на нескольких шагах интегрирования. Это оправдано тем, что итерационная матрица не влияет на порядок точности численной схемы и поэтому необходимость в ее направлении возникает только при значительном замедлении сходимости итерационного процесса. [c.276]

При решении уравнений фильтрации используются два метода (по выбору). По умолчанию используется полностью неявный метод решения, обеспечивающий устойчивость вычислений при больших временных шагах. При использовании этого метода обеспечивается заданная точность решения нелинейных уравнений, и погрешность материального баланса сохраняется пренебрежительно малой. Для решения нелинейных уравнений используется метод итераций Ньютона, при этом матрица фильтрационных коэффициентов разложима по всем переменным, что обеспечивает квадратичную (высокую) скорость сходимости. При решении сильно нелинейных задач используются различные методы ускорения сходимости. Система линейных уравнений на каждой ньютоновской итерации решается методом Nested Fa torisation с ускорением за счет применения метода Orthomin. [c.178]

Этой проблемы неустойчивости решения можно избежать, если использовать так называемые неявные методы решения ([Hirs hfelder, [c.124]

Попытка распространить теоретические представления, используемые при описании равновесия в многокомпонентных системах жидкость — пар, на системы жидкость — жидкость предприняты в системах расчета NRTL Ренона и Праузница, а также Вильсона. Общим для этих моделей является то, что они берут начало из описания равновесных бинарных смесей и распространяются затем на многокомпонентные системы. Система NRTL строится с учетом энтальпии и энтропии растворения и исходит из выдвинутой Праузницем концепции регулярных растворов [108], которая более всего подходит к неполярным жидкостям, т. е. к таким системам, которые чаще всего ис-лользуются в ректификации. Для регулярных растворов энтропия смешения равна энтропии смешения идеальных растворов. Жидкие углеводороды или другие неполярные соединения часто образуют растворы, которые приближенно можно считать регулярными . В указанных выше моделях используются уравнения с коэффициентами активности. Поскольку коэффициенты активности в действительности являются неявно выраженными нелинейными функциями состава фаз, то приходится использовать оптимизационные процедуры для поиска констант, входящих в уравнения связи. Система этих уравнений может быть решена только итерационным путем на ЭВМ. Основная трудность при этом состоит в разработке методов решения, обеспечивающих надежную сходимость итераций к истинному решению при произвольном задании начальных ус- [c.150]

Неявное решение дифференциальных уравнений в частных производных. В неявных методах решения аппроксимирующие разности и коэффициенты А, В ж С рассматриваются для времени i -Ь Дi. Если коэффициенты А, В и С линейные функции зависимых переменных /, это приводит к блочно-трехдиагональной системе линейных уравнений для Блочно-трехдиагональные [c.142]

Как уже подчеркивалось ранее, система конечно-разностных уравнений является алгебраической и поэтому к ней применимы известные методы решения алгебраических уравнений. В то же время отметим, что каждое неявное конечно-разностное уравнение содержит только три значения искомой функции в соседних узлах. Вследствие этого матрица коэффициентов системы конечно-разностных уравнений имеет специальный, так называемый, трехдиагональный вид. Для системы (13.9) матрицей является [c.389]

Наличие двух параметров (а и /г), имеющих к тому же ясный кинетический смысл (что важно, если ММР используется для ретроспективного анализа механизма полимеризации [21]), делает это распределение достаточно гибким, тем более, что к может иметь отрицательные или дробные значения. В настоящее время развиты более изысканные методы решения прямых и обратных задач, связанных с ММР, в частности, основанные на кинетическом анализе [25], но обсуждение их завело бы нас слишком далеко. Рассмотрение ММР потребовалось нам потому, что все экспериментальне методы исследования формы и размеров макромолекул явным или неявным образом связаны с ММР, и избавиться от них можно только при работе с практически гомодисперсными образцами, получить которые довольно трудно. [c.53]

Расчет кинетики колебательной релаксации двухатомных молекул в электрических разрядах производился в работе [19]. Интегрировалась система 50 уравнений с нелинейными правыми частяш. Использовались методы Рунге-Кутта четвертого порядка, прогноза и коррекции типа Адамса четвертого порядка, а также неявные методы (1),(2). При низких концентрациях электронов для заселенностей верхних колебательных уровней в некотором интервале времен наблюдается наличие квазиста- 0 ционарного участка. Решение задачи в этих условиях удалось (О получить только методами (I) и (2) (при1 5енение методов Рунге- Кутта, прогноза и коррекции приводит к чрезмерному уменьшению шага, появлению отрицательных концентраций). [c.17]

Переходя к нестационарной задаче и применяя для ее решения неявный метод переменных направлений Писмена-Рекфорда [3 ], подучаем следу щго систему алгебраических уравнений [c.65]

Для многих -устойчивых методов функция роста такова, что Q x) - i при —оо. При этом приближения к быстро затухающим фундаментальным решениям релаксируют очень медленно. Поэтому было введено понятие -устойчивости [15], которое означает Л-устойчивость плюс дополнительное требование I (a )l 0 при —оо. Неявные методы тина Рунге—Кутта, функции роста которых являются верхними или нижними диагоналями таблицы Падэ для построены Батчером [33] и Эйле [34]. Мы ограничимся записью L-устойчивой двустадийной формулы третьего порядка точности [34] [c.56]

Дан обзор численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых характерна жесткость. В частности, дается сравнение явных и неявных методов. Приведены ( юрму.ды, удобные для генерации подпрограмм вЕлчисления правой части и матрицы Якобй дифференциальных уравнений химической кинетики, иа основе которых в ВЦ СО АН СССР в г. Красноярске и ИХКиГ СО АН СССР разработан комплекс программ, позволяющий автоматизировать решение прямой 1 инетической задачи. Биб-. тиогр. 94 назв. [c.286]

Все сказанное выше отнюдь не отрицает возможности установить некоторые представления, законы, правила и закономерности, которые позволяют в известной мере (rio не полностью) определить физические, физико-химические, и химические свойства вещества, основываясь на внутреннем строении его частиц, однако результаты такого метода решения указанного вопроса будут иметь ограниченный характер, они могут быть правильными до тех пор, пока можно пренебречь взаимодействием отдельных част1щ вещества, их взаимными отношениями, или если созданные при решении указанного вопроса этим путем методы и представления позво.ляют в какой-то мере учесть (хотя бы и в неявной, усредненной форме) взаимодействия частиц вещества, взаимоотношения отдельных частиц в массе вещества. [c.44]

Рассматривается разностный метод решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих ламинарное течение и теплообмен пластичных дисперсных систем в круглой трубе. Дифференциальные уравнения аппроксимируются неявной симметричной шеститочечной схемой на сетке с переменным шагом система линейных разностных уравнений решается методом прогонки. Описывается методика расчета и приводится блок-схема программы. [c.110]

Алгоритм АУР состоит из двух блоков задания исходной информации и операционного , с помощью которого решается система нелинейных уравнений, заданных в явной и.5и неявной форме. Решения производятся итемционными методами [21, 22, 35]. Если приближенное решение Уо известно достаточно точно, то АУР его уточняет. Если о неизвестен, то он определяется с помощью алгоритма приближенного расчета. АПР также содержит два блока исходной информации и операционный, рассчитывающий 7o= f Xo) по приближенным соотношениям, полученным на основе теории соответствующих установок. [c.138]

О численном решении задачи об автоволне в нестационарной постановке. В качестве метода решения начально-краевой задачи (1.8) был выбран метод прямых [29]. Использовалась аппроксимация второго порядка точности по пространственной переменной. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрировалась с помош,ью неявной схемы Рунге-Кутта 5-го порядка точности, программная реализация которой эффективно учитывала ленточный вид матрицы Якоби правых частей. [c.64]

В математическом отношении расчет периодической ректификации многокомпопентной смеси в приближении теоретической тарелки сводится к интегрированию обширной системы обык]к )вениых дифференциальных уравнений. На практике, главным образом, используются два метода численого решения задачи Коши машинные варианты метода Рунге—Кутта [1, 2] и неявный одношаговый конечно-разностный метод, имеющий в основе квадратурную формулу трапеций [3, 4]. В первом случае известные трудности представляет нахождение явного вида прои родной от температуры по времени, кроме того, система уравнений периодической ректификации относится к типу жестки.х систем, для которых методы Рунге—Кутта могут потребовать очень малого шага интегрирования или вообще ие будут работать [5]. Неявный метод более подходит для интегрирования жест.ких систем, но требуег большего объема вычислений иа каждом шаге, поскольку сводит решение нестационарной задачи к последовательному решению нелинейных систем алгебраических уравнений. [c.62]

По-прежнему целесообразно решать обратную задачу, задаваясь распределением давления по длппе сопла. Разностный метод решения этой системы по аналогии со случаем химически неравновесных течений основан на использовании неявных разностных схем при численном решении релаксационных уравнений. [c.283]

Трудности с реализацией неявных методов Рунге—Кутта привели исследователей к поискам более простых их модификаций. Батчером был рассмотрен класс полуявных формул типа Рунге—Кутта, то есть таких методов, для которых = О при I < 3. В этом случае итерационная матрица является блочно-диагональной, причем число блоков совпадает с числом стадий, а размерность каждого блока с размерностью вектора решения. В результате вместо обращения матрицы размерности тхН теперь нужно обратить матриц размерности N каждая. Систематическое исследование полуявных методов содержится в работах Нерсетта (см. [309]). Дальнейшего сокращения [c.276]

Для решения системы матричных уравнений используются прямой метод исключения Гаусса или итеративные процедуры, в частности, типа неявного метода переменных направлений, широко применяемого в фильтрационных расчетах. Этот вариант блочных итерационных методов особенно эффективен при криволинейной координатной сетке (см. ниже), поскольку в противном случае велика роль диагональных составляющих переноса. Чем больше число узлов, тем относительно эффективнее итерационные методы [13] — ввиду все возрастающих требований к оперативной памяти в прямых методах. Например, доея МКЭ при числе узлов 100х1(Ю требуется 16 мегабайт только для хранения коэффициентов ленточной матрицы. Кстати, в этом смысле, падает и эффективность МКЭ (в сравнении с МКР), поскольку он требует многочисленных предварительных операций с матрицами для приспособления к оптимальным итерационным процедурам (блочным итерационным методам). [c.370]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология