Сходимость решения

Создание развитого методо-ориентированного пакета прикладных программ связано с решением ряда взаимосвязанных задач. Сюда относятся выбор конфигурации вычислительных средств, определяющей в конечном итоге размерность задачи, время ее решения, сервисное обслуживание, разработка в определенном смысле универсального алгоритма (алгоритмов), обеспечивающего заданную точность и надежную сходимость решения, обеспечение требований по минимизации памяти, занимаемой программами и информацией. Последнее важно вследствие матричного способа представления информации, когда значительная часть массивов [c.274]

Рис. 4.11. Характер сходимости решения для алгоритмов первого и второго порядков (а) и их объединения (б)

Для сложных систем (У.2) при больших к нахождение точного решения потребует выполнения большого числа расчетов поэтому часто ип ут не точное, а приближенное решение этой системы, используя различные итерационные методы. Как правило, программы для ЭВМ при использовании итерационных методов значительно компактнее и время вычислений гораздо меньше. Известен [1] ряд итерационных методов решения системы (У-2), однако каждый из них применим лишь в ограниченной области условий, позволяющих быстро свести итерационным процессом плохое решение к хорошему. Вне этой области сходимость решения будет медленной. [c.142]

Решающее значение при численных расчетах имеет устойчивость схемы расчета, т. е. ограниченность отклонения рассчитываемой и истинной величин при возрастании г и /. Показано 13, 4], что устойчивые схемы расчета обеспечивают сходимость решения. Из выполненных исследований [4], очевидно, что неявная схема более устойчива, и ей следует отдать предпочтение. Ряд неявных схем расчета процессов химической технологии, описываемых уравнениями в частных производных, приведен в литературе [5]. [c.151]

Основная трудность расчета массообменных процессов заключается в обеспечении решения систем уравнений материального и теплового балансов, причем сложности в обеспечении сходимости решения обычно возрастают при разделении смесей с сильно неидеальными свойствами. [c.134]

Ускорение и обеспечение сходимости решения систем уравнений баланса производится часто путем введения форсирующих процедур, основанных на особенностях решаемых задач или путем объединения положительных сторон методов различных групп. Так, объединение методов линеаризации и релаксации для получения хорошего начального приближения позволяет решать более широкий класс задач при высокой скорости сходимости. На рис. 4.11 приведено характерное изменение невязки (например, по материальному балансу) для методов со скоростью сходимости первого и второго порядков в зависимости от числа итераций и изменение последней при объединении этих методов [48]. [c.135]

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

Для оценки скорости сходимости решения по методу Ньютона рассмотрим итеративный метод вычисления квадратного корня X = У А. [c.192]

Подход, лежащий в основе данного метода, использован в моделирующей системе Дистилляция [54, 58], он показал высокую эффективность при расчете как колонн, так и комплексов. Сходимость решения существенно ухудшается при расчете режимов с зонами постоянных концентраций. [c.338]

Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]

Однако при таком способе коррекции оказываются нарушенными общие материальные балансы но компонентам для всей колонны, что существенно сказывается на скорости сходимости итерационного метода. Для устранения этого противоречия и ускорения сходимости решения используется 6-метод коррекции концентраций в колонне 146]. [c.316]

Сложнее вопрос о быстродействии для итерационных методов. Во-первых, сходимость метода обеспечивается при выполнении определенных для каждого метода условий. Например, при решении уравнения /(Г) =0 по формуле (1-24) процесс будет сходящимся, если / (Г ) < 1. Во-вторых, количество итераций, которое необходимо выполнить для получения решения, зависит от начального приближения и требуемой точности. Чем ближе начальное приближение к истинному решению, тем быстрее оно будет достигнуто. Более того, от начального приближения зависит вообще возможность получения решения. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения начальных условий и параметров процесса. Решению этой проблемы уделяется основное внимание при разработке универсальных моделирующих алгоритмов. [c.24]

Разработка в определенном смысле универсального алгоритма (алгоритмов), обеспечивающего заданную точность и надежную сходимость решения. [c.58]

Контроль сходимости решения. [c.136]

Рис. У-53. График сходимости решений системы уравнений математической модели ХТС.

При разработке алгоритмов решения типовых задач прежде всего необходимо обеспечить сходимость решения и его точность. Это лучше всего достигается с помощью систем автоматического программирования, при котором объем исходной программы значительно меньше и меньше вероятность ошибок в связи с простотой ее записи. [c.40]

Последнее обстоятельство не всегда удобно при решении итерационных задач. Действительно, итерационный процесс заключается в многократном повторении одних и тех же вычислений, но с различными значениями некоторых параметров, обеспечивающих сходимость решения. При этом предыдущее приближение часто оказывается наилучшим начальным значением последующего расчета. Чтобы обеспечить сохранение значения этой переменной после однократного выполнения цикла, являющегося отдельным блоком, ее необходимо описать как глобальную величину, хотя она нигде более не используется. [c.68]

Метод наименьших квадратов эффективен в том случае, когда аппроксимирующая зависимость линейна относительно параметров. В противном случае для определения параметров приходится решать систему нелинейных уравнений, сходимость решения которой не всегда может быть обеспечена простыми методами. Поэтому чаще всего нелинейные зависимости стараются привести к линейному виду путем соответствующих аналитических преобразований или заменой переменных. [c.329]

Пример 3. Для условий задачи, рассмотренной в главе 8 (стр. 200), составить программу расчета профилей концентраций по высоте ректификационной колонны для разделения бинарной смеси. Для обеспечения сходимости решения использовать метод деления отрезка пополам. Результаты расчета напечатать в виде таблицы и вывести в виде графика. [c.460]

Высокое качество оценки переменных состояния при достаточно большом уровне помех достигается за счет использования в алгоритме интегральных операторов, способствующих сглаживанию помех. Хорошая сходимость решения обусловлена конструкцией дуального фильтра с конечной памятью, применение которого позволяет на каждом шаге интегрирования системы полностью исключить влияние шума объекта w и помехи измерения v. [c.493]

Сходимость решения численной схемы к решению системы (2.64) — (2.67) подтверждали тестовой задачей. Для тестовой задачи условно принимаем следующие функциональные зависимости [c.166]

Так как при достаточно малых т тИ(1) + тЛ) 11 < 1, то С/ О при оо, и, следовательно, итерационный процесс (26) является сходящимся. Легко показать, что условие сходимости итераций обеспечивает сходимость решения разностной задачи к точному решению дифференциальной задачи, т. е. сходимость итераций может служить критерием выбора временного шага т. [c.138]

Построены балансные разностные схемы, доказана сходимость решения разностных задач к решению системы дифференциальных уравнений. [c.168]

При решении каждой из указанных задач используются одни и те же соотношения и параметры различие заключается только в порядке расчета и методе обеспечения сходимости решения. Таким образом, всю процедуру расчета удобно разбить на отдельные блоки, которые могут быть использованы во всех основных вычислительных программах. [c.55]

Ранее отмечалось, что одной из важнейших проблем расчета является обеспечение сходимости решения. Неустойчивость решения в значительной степени зависит от накопления ошибок округления вследствие конечности представления чисел в памяти. Особенно существенные ошибки появляются при выполнении операции вычитания сравнимых по величине чисел. Алгоритм, используемый для решения трехдиагональной системы уравнений материального баланса, не содержит операции вычитания сравнимых величин и поэтому обладает устойчивой сходимостью. Тем не менее при наличии зон постоянных концентраций возможна колебательность решения, устранить которую в большинстве случаев удается с помощью форсирующих процедур. Скорость сходимости и затраты машинного времени на решение существенно зависят от числа компонентов разделяемой смеси, числа тарелок и в меньшей степени от начального приближения. Существенным является также выбор метода определения равновесной температуры, так как эта операция выполняется на каждой итерации и для каждой тарелки. [c.341]

Для расчета по этой программе совсем не нужен двойной итерационный цикл удовлетворительную сходимость решения обеспечивает обычный метод последовательных приближений. Хотя в процессе решения определяются две различные переменные — давление и состав пара, которые оцениваются по двум различным критериям, почти всегда справедливо утверждение, что при согласовании по одному из них достигается согласование и по другому. Еще одним преимуществом расчета равновесия в изотермических условиях является то, что не требуется проведение интерполяции и каких-либо приемов поиска решения сходимость обеспечивается простой итерацией. [c.64]

Следует отметить быструю сходимость решения и специфику изменения параметров. Коэффициенты активности с изменением температуры изменяются очень слабо, в то время как фугитивности и стандартные фугитивности очень чувствительны к изменению температуры. Время расчета на машине IBM-7094 примерно 0,01 мин. [c.98]

Для обеспечения устойчивой сходимости решения систем нелинейных 3 равнений используют метод Вольфа [127], сснованный на линейной аппроксима1дии уравнений с истемы по вычислен1шм значениям функций (невязок) для конечного числа точек. Для системы /(X) -О, (1.3) [c.19]

Проверить, сходится ли решение задачи определения стоимости эне,ргообеспечвния. Если сходимости решений нет, то принять текущее полученное значение стоимости и возвратиться к этапу 6. В противном случае решение задачи продолжается. [c.304]

Метод трехдиагональной матрицы оказывается малоэффективным при расчете ширококипящих и сильно неидеальных смесей. Возможно появление колебательности и даже отсутствие сходимости. Имеется целый ряд модификаций метода и, в частности, линеаризация уравнений фазового равновесия [59]. Если положить, что концентрация компонента в паровой фазе определяется количеством его жидкости, то при сохранении структуры матрицы существенно улучшается скорость сходимости решения. В этом с.пучае коэффициенты трехдиагональной матрицы вычисляются по формулам [c.341]

Общая последовательность решения системы уравнений математического 01шсания при этом остается такой же, как и для модели 3. Однако в некоторых случаях возможны затруднения со сходимостью решения, обусловленные тем, что в процессе расчета составов по тарелкам колонны с использованием определенных эффективностей контакта могут появиться отрицательные значения концентраций. Для этого используют специальные приемы. [c.318]

Чтобы записать программу в виде процедуры, необходимо выбрать формальные параметры и написать заголовок процедуры. В список формальных параметров целесообразно включить переменные, которые будут определять подкоренное выражение и скорость сходимости решений. Пусть а — подкоренное выражение, в простейшем случае число, xf — начальное приближение корня, eps — точность вычислений, х — выходной параметр процедуры. Тогда процедура ROOT запишется в виде [c.109]

В программе для ускорения сходимости решения очередное начальное приближение корпя (начинаясо второго значения параметра цикла) полагается равным предыдущему значению корня. Это достигается за счет того, что выходным параметром процедуры после замены формальных параметров на фактические будет переменная г1, значение которой присваивается переменной гО при очередном выполнении цикла. [c.110]

На примере решеция задачи оценки переменных состояния нелинейного объекта химической технологии показано, что высокое качество оценки переменных состояния нри достаточно большом уровне помех (до до% уровня полезного сигнала) достигается за счет использования в алгоритме интегральных операторов, способствующих сглаживанию помех хорошая сходимость решения обусловлена конструкцией дуального фильтра с конечной памятью , применение кохорого позволяет на каждом шаге интегрирования системы почхи полностью исключить влияние шума объекта и помех измерения. [c.495]

Решение для одного шага по времени можно получить с помощью простого метода, называемого релаксационной процедурой Гаусса—Зайделя. В этом методе значения всех переменных по очереди нычнсляются из конечно-разностных уравнений, в которых они расположены слева, причем в правые части уравнений подставляются значения переменных в соседних точках. Так как при смещении на одну ячейку корректируется значение температуры, использовавшееся до этого при вычислении значения температуры в соседней ячейке, то очевидно, что процесс нужно повторять много раз. Не столь очевиден, по тем не менее имеет место тот факт, что при многократном повторении величйны изменений температуры в каждой ячейке делаются все меньше и наконец становятся пренебрежимо малыми. Тогда говорят, что достигнута сходимость решения. Затем можно перейти к следующему шагу по времени. [c.37]

В подпрограмме PHIMIX для расчета коэффициентов фугитивности фг всех компонентов смеси используется уравнение состояния паровой фазы. Коэффициенты фугитивности являются функциями как температуры и давления, так и состава паровой фазы. Поэтому расчет должен повторяться каждый раз при изменении этих параметров это наиболее часто повторяемая часть основной программы. Значительные изменения температуры, давления и состава паровой фазы не приводят к существенным изменениям коэффициентов фугитивности. Эта особенность используется при выборе эффективного метода, обеспечивающего быструю сходимость решения. [c.57]

Как только будет получено постоянное значение величины SUMY, последняя сравнивается с единицей. Если сумма концентраций равна единице в пределах допустимой ошибки, то полученная температура отвечает условиям равновесия в противном случае вновь корректируется температура и выполняется еще одна итерация по температуре. Последующие уточнения температуры производятся по способу Ньютона . В программе предусмотрен соответствующий контроль сходимости решения. [c.61]

Затем переменная ЗиМХ сравнивается с единицей, и если она не равна последней, то вместе со своей предыдущей величиной она используется для расчета нового значения температуры по способу Ньютона. Как и в предыдущей программе, здесь предусмотрен контроль на сходимость решения по методу Ньютона. Если сумма концентраций компонентов жидкой фазы равна единице в пределах допустимого отклонения, значит найдены равновесные значения температуры и состава и основная программа вызывает подпрограмму вывода для печати результатов. Для расчета равновесия тех же компонентов в других условиях необходимо повторить [c.63]

Вычислительная часть программы начинается с присваивания переменной SUMX значения, равного единице. Параметр SUMX используется в качестве нормирующего фактора для ускорения сходимости решения программы АСТСО в случае изменения мольного состава жидкой фазы. [c.92]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология