Особенности решения уравнений процесса

Пользуясь формулами (III.36) — (III.38), не следует забывать, что они получены исходя из предположения о равнодоступности внешней поверхности частицы. При обтекании одиночной частицы потоком вещества это предположение явно несправедливо, так как условия массопередачи на участки передней и тыльной сторон частицы резко различны. Единственным строгим методом учета влияния внешней массопередачи на скорость гетерогенной реакции является, как отмечалось в разделе III. 1, решение уравнения (III.13). Неравнодоступность поверхности будет сказываться особенно сильно в сложных процессах, включающих последовательные реакции, приводя к уменьшению выхода промежуточного продукта. [c.112]

Система уравнений (VII.35), (VII.36) не решается аналитически даже для процессов с простейшей кинетикой. Тем пе менее, ее анализ позволяет установить некоторые особенности решения. При расчете экзотермического процесса наиболее интересной величиной является максимальный разогрев, достигаемый в горячей точке реактора. Если в реактор поступает исходная смесь с температурой, близкой к температуре теплоносителя Г,,, то в сечениях, близких к входному, теплоотвод окажется незначительным и процесс будет проходить в почти адиабатических условиях. В дальнейшем, по мере повышения температуры реагирующей смеси скорость теплообмена возрастает и в некотором сечении сравняется со скоростью тепловыделения. После этого температура реакции, пройдя через максимум, начнет убывать. Верхнюю оценку для достигаемой максимальной температуры можно найти, считая, что процесс протекает адиабатически вплоть до самой горячей точки . Тогда верхняя оценка температуры, при которой скорости тепловыделения и теплоотвода сравняются, может быть найдена по точке пересечения прямой теплоотвода q = а (Т — Т .) и кривой тепловыделения ф (Т) = hr (Т). Последнюю строят с учетом соотношения между концентрацией и температурой (VII.28), которое выполняется в адиабатическом процессе. Кривая тепловыделения и прямая теплоотвода изображены на рис. III.3 они пересекаются в нескольких точках, и верхнюю оценку максимальной температуры дает точка пересечения, соответствующая наименьшей температуре. По мере увеличения температуры теплоносителя прямая теплоотвода сдвигается вправо, и при некотором критическом значении низкотемпературная точка пересечения исчезает. При этом верхняя оценка температуры в горячей точке резко повышается. Формально значение максимальной температуры, конечно, не может измениться скачком. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что решение системы уравнений (VII.35), (VII.36) непрерывно изменяется с изменением всех параметров, в том числе и (см. также раздел VII.2). Однако в области значений параметров, близкой к той, где кривая тепловыделения касается прямой теплоотвода (рис. III.3, прямая 4), следует ожидать сильной чувствительности температуры в горячей точке к изменению параметров процесса. [c.288]

Особенности решения уравнений процесса [c.25]

Дальнейший анализ процесса - выявление особенностей решения уравнений математической модели и, следовательно, особенностей режима. [c.112]

Уравнения, описывающие химический процесс в реакторе, учитывают только наиболее принципиальные особенности, присущие множеству родственных, но отличающихся одно от другого явлений. При этом независимо от вида дифференциального уравнения его решение (при условии, если оно существует) в общем случае должно удовлетворять всем явлениям данного класса. Другими словами, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них отражает именно ту связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению. Это решение и будет представлять собой не только решение данного уравнения, но и решение данной задачи, связанной с конкретным процессом. Математически отыскание указанного однозначного решения сводится к нахождению решения уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, которые в большинстве случаев определяются физико-химической сущностью задачи. Дополнительные условия обычно принято называть граничными (краевыми) и начальными условиями. [c.8]

Особенность химико-технологического процесса, как уже отмечалось, состоит в многообразии определяющих его явлений, сложности взаимосвязи и вероятностном характере их протекания. Ввиду недостаточной изученности отдельных явлений математическое описание содержит эмпирические и полуэмпирические зависимости, которые нуждаются в экспериментальных данных для уточнения параметров. Различное математическое описание одного и того же процесса объясняется не только требованиями точности, простоты и т. д., но и отсутствием единого представления о механизме явления. Например, существует целый рЯд описаний условий фазового равновесия, основанных на различных теориях растворов, множество уравнений состояния, различных подходов к описанию кинетики массопередачи и т. д. Поэтому разработка математического описания химико-технологических процессов остается одной из основных задач химической технологии, однако ее решение может и должно проводиться качественно по-новому, а именно с позиций системного подхода. Анализ процессов как совокупности явлений позволяет выявить недостатки отдельных описаний, наметить пути их совершенствования. [c.96]

Таким образом, применение методики топологического моделирования позволило получить математическую модель гидродинамических особенностей фонтанирования, в которой оказались взаимосвязанными такие важные конструктивно-технологические параметры, как диаметр входного устья давление па входе в аппарат Р , конусность аппарата а, масса зоны ядра М , масса промежуточной зоны 71 2 с давлением в слое Р, расходом газа Q и эквивалентными скоростями перемещений масс ядра и промежуточной 1 2 зон. Численный анализ дал достаточно полную картину развития явлений гидродинамики фонтанирования во времени в широком диапазоне изменения определяющих параметров. Информация о процессе, получаемая при численном решении уравнений модели, позволяет судить не только о состоянии фонтанирующего слоя как гидродинамической системы в любой момент времени, но и дает возможность решать задачи конструирования аппаратов фонтанирования с заданными технологическими режимами. Наконец, индикация совместных колебаний Р и О позволяет легко опознавать характер режимов фонтанирования, контролировать и вмешиваться в технологический процесс с целью поддержания режимов устойчивого фонтанирования. [c.265]

Оптимизация накладывает большие требования на расчет целевой функции, т. е. на расчет схемы. Все итерационные процессы, необходимые для вычисления критерия Р [в нашем случав решение уравнений (11,115) и системы (11,116)1, желательно выполнять с высокой точностью. Последнее становится особенно важным при вычислении производных разностным методом. [c.61]

Рассмотренные особенности распада с энергетической обратной связью хорошо объяснимы в рамках неравновесной кинетической модели, основанной на решении уравнений баланса колебательной энергии, так называемых активных осцилляторов смеси с учетом релаксационных процессов, потерь колебательной энергии в актах диссоциации и выделения энергии в экзотермических стадиях. Наиболее простое соотношение для неравновесной константы скорости молекулярного распада может быть записано в виде [c.109]

Выбор численного метода, в свою очередь, связан с характером решаемой задачи и часто диктуется возможностями имеющейся вычислительной машины. Например, нельзя решить систему линейных уравнений сотого порядка на малой вычислительной машине прямыми методами, поскольку матрица ее коэффициентов может не поместиться в запоминающем устройстве или не может быть получена высокая точность. Таким образом, при анализе возможности решения математической задачи на ЦВМ требуется детальное знакомство с численными методами решения. С другой стороны, математическая задача в конкретной постановке является отображением физической сущности протекающего процесса со свойственными ему особенностями и ограничениями. Учет особенностей при составлении алгоритма решения часто значительно упрощает вычислительную процедуру без ограничения общности решения для процессов данного типа. Например, если известно, что решение лежит в области действительных чисел, то комплексные решения будут исключаться из рассмотрения при помощи логических операций. [c.98]

О подобии математических моделей разных процессов. Как уже было показано, процессы движения механического маятника и изменения силы тока в электрическом контуре могут быть представлены одинаковыми математическими моделями, т.е. описываться одним и тем же дифференциальным уравнением второго порядка. Решение этого уравнения есть функция х 1), которая указывает на колебательный вид движения этих разных по природе объектах. Из решения уравнения также можно определить изменение во времени положения маятника относительно вертикальной оси или изменение во времени направления тока и его величины. Это — интерпретация свойств математической модели на показатели изучаемых объектов. В этом проявляется весьма полезная особенность математического моделирования. Подобными математическими моделями могут быть описаны разные процессы. Такая универсальность математической модели проявляется в исследовании, например, процессов в емкостном 1 и трубчатом 9 реакторах на рис. 4.1 (см. разд. 4.1), изучении взаимодействия газообразного реагента с твердой частицей и гетерогенно-каталитического процесса (разд. 4.5.2 и 4.5.3), рассмотрении критических явлений на единичном зерне катализатора и в объеме реактора 8 на рис. 4.1 (разд. 4.7.2 и 4.10.3). [c.92]

Уравнения Фика решаются с условиями однозначности (см. разд. 1.7), формулируемыми в соответствии со спецификой конкретного процесса. При этом начальные условия описывают распределение концентраций в начальный момент времени, а граничные — отражают особенности массопереноса на границе сплошной среды с твердым телом. Результаты решения уравнений (10.71) позволяют установить распределение концентраций по объему зерна в любой момент времени. Сочетая это решение с подробно рассмотренными выше закономерностями переноса в сплошной среде, получают решение технологической задачи в целом — для сплошной и дискретной фаз, т.е. для массообменного процесса. [c.872]

Локальная модель массопередачи. На данном этапе учитываются макрокинетические особенности процесса. Совместное рассмотрение процессов переноса и химической реакции на основе уравнения конвективной диффузии, записанного для пограничного реакционно-диффузионного слоя, позволило получить приближенное уравнение (2.39) для расчета скорости поглощения, хорошо описывающее результаты численного решения. Уравнение (2.39) включает эмпирический коэффициент Рж и поверхность контакта фаз. [c.171]

Для систем, содержащих три и более компонентов, графические расчеты процесса ректификации утрачивают наглядность и единственным точным методом является рассмотренный ранее метод от ступени к ступени , заключающийся в совместном решении уравнений материального баланса (V.230) или (V.231) и энергетического баланса (V. 136) совместно с уравнениями, описывающими фазовое равновесие. Сложность этих расчетов заключается в том, что составы продуктов разделения чаще всего задаются не однозначно — регламентируется содержание основного вещества и суммарное содержание примесей. Поэтому содержанием каждого из компонентов этих примесей на начальных этапах расчета по методу от ступени к ступени приходится задаваться. Полный состав продуктов разделения определяется в результате последовательных приближений, как это было описано выше. Такие расчеты, особенно при большом числе компонентов, весьма трудоемки и выполняются с помощью ЭВМ. Предложены различные процедуры вычислений, отличающиеся выбором начальных приближений и критериев сходимости. Они рассматриваются в специальной литературе [13]. [c.555]

Для решения этой задачи применительно к простой ректификационной колонне особенно пригоден метод от тарелки к тарелке . Согласно этому методу в начале каждой итерации заданными являются составы продуктов разделения. При этих заданных составах все уравнения процесса ректификации решаются для каждой ступени разделения в отдельности. После завершения расчета всех ступеней разделения колонны составы продуктов разделения корректируются и начинается новый итерационный цикл. [c.273]

Таким образом, в работе [4] причины особенностей поведения численного решения уравнений кинетики для сложных химических реакций остались нераскрытыми, в силу чего в ней ошибочно отрицается возможность предварительного (без результатов численного интегрирования) определения тех уравнений, которые могут в процессе интегрирования сделать систему неустойчивой. Поэтому в [4] оказалось невозможным определить область применимости метода счета и дать оценку его точности. В силу этого применение метода затрудняется и в некоторых случаях (например, для реакций второго порядка, см. ниже) может привести к значительным ошибкам. [c.16]

Конечной целью в процессе интегрирования задачи на нервом этане является выход реакционноспособных компонентов на квазистационарный режим. При этом после каждого шага интегрирования производится сравнение 1) и ( ). Если разность между решением уравнения, обладающего рассмотренной выше особенностью, и его квазистационарным значением в какой-либо момент времени оказывается в пределах точности, то производится переход ко второму этапу интегрирования. При этом порядок системы понижается, а указанное дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим (путем приравнивания правой части его нулю). В общем случае, когда имеется несколько реакционноснособных элементов, в результате замены получается система нелинейных алгебраических уравнений. Как будет показано ниже, при условиях (4) и (5) подобная замена практически не вносит расхождений и не дает накопления ошибки, однако резко увеличивает эффективность счета, позволяя полностью снять указанные выше трудности. [c.22]

При математическом описании теплофизической модели процесса за основу принимаются уравнения теплового баланса (сохранения энергии) и различных видов теплопереноса. При этом также часто используют уравнения движения, диффузии примесей, кинетики реакций, исходя из специфических особенностей данного технологического процесса. При этом аналогичные уравнения могут записываться как для внешней среды, так и для обрабатываемого материала. Стыковка этих решений обеспечивается путем формулирования граничных условий (см. рис. 5.1). [c.379]

В литературе по гранулированию в ПС [32-35] приводятся некоторые решения уравнения (12.3,7.1) при различных видах функциональных зависимостей Л(г) и ф(г). Расчет процесса непрерывной сушки с гранулированием на слое собственных гранул состоит в совместном решении получаемых выражений для р(г) е уравнениями материального и теплового балансов непрерывного процесса. Основные трудности при этом состоят в сложном, взаимосвязанном характере зависимости многочисленных параметров процесса обезвоживания от температуры в ПС, устанавливающейся в ходе самого цроцесса, от свойств гранулируемого продукта и от конструктивных особенностей используемого гранулятора. [c.238]

При описании нелинейных случайных процессов с помощью функционального метода возникают серьезные трудности, связанные с новизной математического аппарата и с отсутствием не только общих методов решения уравнений в вариационных производных, которым подчиняются характеристические функционалы, но и самих формулировок задач. По существу, до недавнего времени была сформулирована лишь начальная задача о характеристическом функционале, описывающем турбулентное течение несжимаемой жидкости в безграничном пространстве. Между тем особенности [c.204]

Решение уравнений (5.6) и (5.8) дает более простые формулы (табл. 5.2), удобные для практических расчетов (особенно при использовании безразмерного аргумента времени а и замене постоянного отношения натурального времени полного или условно полного завершения процесса к номинальному времени пребывания материала в реакторе во/в величиной Ь). [c.219]

В данной модели отсутствует подробное физическое описание механизма процесса, т. е. в математическом описании не учитываются особенности химической реакции.- Эта модель включает следующие необходимые для решения уравнения [c.73]

При работе с уравнениями типа (3.31) необходимо соблюдать величайшую осторожность. Действительно, с первого взгляда видно, что Хг наследует весьма нерегулярные особенности поведения гауссовского белого шума и заведомо не может считаться обычной функцией. Тем не менее надежда избежать общей теории случайных процессов все же остается, если воспользоваться тем, что —производная в смысле обобщенных функций от винеровского процесса, и записать уравнение (3.31) в виде (4.13). Действительно, в уравнение (4.13) входят только обычные процессы. Разумно поэтому ожидать, что понятие X/ ость решение уравнения (4.13) удастся сформулировать в рамках теории обычных случайных процессов, если функция (.г) достаточно гладкая , как обычно бывает в приложениях. Имен- [c.115]

Однако важнейшие особенности соосаждения можно выявить, рассматривая изотермический захват примеси при отсутствии меняющихся внешних полей. Такой захват весьма распространен, так как при обычных скоростях кристаллизации теплообмен с внешней средой протекает значительно быстрее массообмена. При изотермическом захвате система находится вблизи теплового равновесия со средой в любой момент кристаллизации, так что отклонение свойств системы от равновесных определяется только кинетикой массообмена. Температура системы при этом близка к температуре термостата, и если в системе не происходит химических реакций, то имеет место простейший случай захвата, тем не менее отражающий характерные черты соосаждения. Этот случай, при котором количественное описание процесса сводится к решению уравнения баланса масс компонентов системы, будет проанализирован ниже. [c.49]

Третьей особенностью является возможность появления так называемых особых управлений при решении уравнений принципа максимума. В работе [30 ] было показано, что особые управления могут возникнуть даже в простых задачах оптимизации химических процессов. Обзор работ по исследованию особых управлений приведен в работе [31 ]. В работе [29 ] (см. также [4 ]) показано, что для расчета систем с особыми управлениями можно применять метод регуляризации, развитый академиком А. Н. Тихоновым для решения так называемых некорректных задач. [c.375]

Так как указанные уравнения даже при их линеаризации будут уравнениями в частных производных, то при решении их приходится применять трансцендентные функции комплексных переменных. Операции с ними представляют значительную сложность. Особенно трудно найти решение уравнений и выполнить обратные преобразования по Лапласу для определения переходного процесса теплообменников при возмущающих или регулирующих воздействиях. Анализ частотных характеристик становится сложным и их трудно интерпретировать. [c.224]

Для довольно широкого круга теплотехнических задач, особенно для стационарных режимов, процесс теплообмена достаточно полно описывается упрощенной математической моделью, связанной с решением уравнения переноса энергии в потоке жидкости при заданных температурных режимах на внутренней стенке трубы (канала). Обобщение основных результатов исследований советских и зарубежных ученых в данной области тепло- и массопереноса дано в [108]. [c.209]

Для решения уравнений математической модели могут быть использованы любые счетно-решаю1Цие устройства, а в отдельных случаях (если уравнения решаются аналитически, а число исследуемых вариантов невелико) и непосредственно ручной счет. Наибольшее распространение получили цифровые (ЦВМ) и аналоговые (АВМ) вычислительные машины. Они позволяют математическую модель представить в виде реальной модели, отличающейся по своей физической природе от изучаемого процесса, и с помощью ее провести всестороннее исследование физико-химических закономерностей процесса и промасштабировать опытные данные для промышленного реактора. Цифровые и аналоговые вычислительные машины являются машинами соответственно дискретного и непрерывного действия. Это предопределяет особенности возможностей обоих типов машин и подготовки математической формулировки решаемой задачи. [c.11]

Отметим еще одну особенность решения математического описания для неизотермического процесса. В правой части уравнения теп.т10В0Г0 баланса содержатся члены как линейно связанные с Г, так и нелинейные. Поэтому указанное уравнение может иметь несколько решений относительно величины Т (Ь). При заданной величине Т (0) возможно три таких решения (Ь), Гз Тд ( ), так что необходимо исследование для выбора устойчивого решения (см. главу V). [c.72]

Рассмотрение кинетики набухания в указанных аспектах приводит к проблеме решения уравнения нестационарной диффузии в условиях перемещающихся границ. Точное решение задач подобного рода известно лишь в очень ограниченном числе случаев [27, 28]. Метод аналитического решения задач диффузии (теплопроводности) при наличии движущихся границ предложен [29—31]. Этот метод основан на разложении искомого решения в ряд по некоторым системам мгновенных собственных функций соответствующей задачи. Таким образом, рассмотрение процесса набухания с учетом диффузионных явлений приводит к весьма сложной проблеме решения уравненийТмодели. Этот подход к описанию кинетики набухания нельзя признать исчерпывающим по ряду причин. Так, здесь недостаточно четко отражены физические особенности внутренней структуры полимеров. Параметры моделей не имеют явной связи с молекулярными характеристиками ноли- [c.299]

Таким образом, для автотер-мических реакций особенно большое значение имеет изучение динамики реактора, его устойчивости и условий пуска. Хотя реакция в пламени сопровождается весьма сложными процессами, она очень хорошо иллюстрирует все три случая совместного решения уравнений материального и теплового балансов, показанных на рис. У1П-18 состояние, соответствующее практическому отсутствию горения состояние устойчивого стационарного горения неустойчивое стационарное состояние, отвечающее неустойчивому горению. Важным свойством автотермических необратимых реакций является соответствие устойчивого состояния наиболее полному превращению основного исходного реагента. [c.227]

В этом случае в процессах пиролиза углеводородного сырья эволюция параметров функции нормального распределения состава продуктов при изменении жесткости пиролиза должна иметь квазилинейный характер. На примере пиролиза показана адекватность модели (табл.3 3 и 3.4), что при пиролизе органических веществ имеет место общая закономерность, связывающая среднее значение свободной энергии компонентов и фактор жесткости процесса пиролиза, принятого в качестве меры интенсивности внешнего воздействия на систему. 1 аким образом, учитывая особенности процессов пиролиза в газовой фазе, получено решение уравнения КФП. Результаты свидетельствуют о квазилинейном температурно-временном изменении параметров функции нормального распределения фракционного состава продуктов пиролиза (рис 3.4 и 3 5). Аналогичную картину наблюдаем для фактора жесткости Ван - Кампа (рис 3.6). Несмотря на то, что сама функция распределения нелинейна при изменении темперагуры, ее параметры изменяются линейно. Как сг(е-дует из рис.3.4 и рис.3.5 при малых временах контакта до 0.5 с. для легких углеводородных фракций модель удовлетворительно описывает изменение параметров функции распределения п]ри всех температурах. В отличие от приведенных ниже данных средняя [c.52]

Приближенный расчет концентраций от наземных источников может быть выполнен на основании аналитических или численных решений уравнений турбулентной диффузии. Однако особенности этих решений заключаются в том, что при неблагоприятных метеорологических условиях, таких как приземная инверсия температуры и ослабление скорости ветра до нуля, концентрация примеси неограниченно возрастает на всех расстояниях от источника и, следовательно, нельзя определить предельное значение выброса, при котором приземная концентрация не будет превышать ПДК. Это происходит потому, что для описания рассеяния выбросов от наземных источников в условиях устойчивой стратификации атмосферы и малой скорости ветра нельзя использовать решение стационарного уравнения диффузии в этих условиях. Следует учитывать нестацио-нарность процесса перемешивания. Необходимо также учитывать ограниченность времени существования неблагоприятных метеорологических условий и времени действия самого источника. [c.96]

Однако для определенных условий полимеризации может существовать более чем одно стационарное значение х. Это наступает, например, тогда, когда в системе очень сильно увеличивается скорость, в связи с ярко выраженным гель-эффектом, в особенности при скоростях, близких максимальным значениям. Явление возможно и тогда, когда концентрация мономера в загружаемых реагентах настолько велика, что происходит полимеризация в растворе. При таких условиях верхнее значениех обычно соответствует устойчивому процессу, т. е. при временном уменьшении конверсии увеличивается скорость и, таким образом, восстанавливаются стационарные условия. Однако более низкие значения х — неустойчивы, так как временное уменьшение конверсии уменьшает скорость полимеризации еще больше, так что она достигает очень малого предельного значения, которое соответствует третьему решению уравнения (IV.82). В таких случаях, поэтому, важно приближать процесс к устойчивой области и следить за тем, чтобы начальное содержание реактора также отвечало этой области. [c.217]

Далее цифровую вычислительную машину программируют на решение уравнения (5) в конечных разностях. Вывод полученных значений на печать осуществляется либо после каждого шага времени, либо через определенное число шагов. В процессе решения величина Дг оста ется постоянной в соответствии с выражением (12) или же медленно увеличивается по определенному закону. Медленное экспоненциаль ное возрастание Дг дает возможность охватить несколько порядков значений времени. Широкий временной интервал особенно полезен в случае реакций, в которых константы скорости последовательных стадий значительно различаются. Программы для многостадийных реакций должны составляться так, чтобы исключить неустойчивые решения. Использующаяся в настоящее время программа этого типа дана в работе [17]. [c.368]

В главе II, посвяш енной изложению теоретических основ газовой хроматографии, был показан подход к решению уравнений линейной неидеальной хроматографии с учетом процессов кинетики сорбции и внутренней диффузии. Здесь мы рассмотрим более детальную картину хроматографического процесса с учетом особенностей газоадсорбционной хроматографии, представляюш,ей интерес для катализа. Наиболее подробно эти вопросы теоретически и экспериментально были рассмотрены в цикле работ Кучеры и Грубнера [30—34]. [c.168]

Важной особенностью периодической кристаллизации, реализующейся во всех представленных здесь пршмерах, является то, что стационарное решение задачи в полном объеме нельзя получить из стационарных уравнений процесса, поскольку при отсутствии зависимости от времени кроме нестационарных слагаемых, содержащих производные по времени, обратятся в нуль и другие слагаемые за счет обращения в нуль движущей силы процесса — пересыщения раствора. Единственное, что может быть ощзеделено из стационарных уравнений, — это третий момент ФПРКПР (объем кристаллов) из закона сохранения вещества (14.2.4.4). [c.339]

Аналитическое решение уравнения (1-73) достаточно просто и наглядно лишь для простейшего случая (сушка протекает в первом периоде). В более сложных случаях, например описываемом выражением (1-95), решение теряет наглядность и становится слишком громоздким. Поэтому часто удобно решать это уравнение на, аналоговой электронной матине, особенно при исследовании динамических свойств процесса. При наборе уравнений возможна лишь одна независимая переменная — время. По остальным (в нашем случае влагосодер-жание Су,) уравнение должно быть представлено в конечных разностях. [c.73]