Обобщения задачи Коши

Пример 1.14. Система квазилинейных уравнений первого порядка на плоскости (х, ) (явно выделим временную переменную 1). Для обобщения понятия характеристик на рассматриваемый случай (и более сложные случаи) используется тот факт, что на характеристике производные искомых функций по независимым переменным однозначно не определяются точнее говоря, если начальные данные задать па характеристике, то соответствующую задачу Коши нельзя решить в любой достаточно малой окрестности этой кривой. [c.259]

Представляет интерес вывод и физическая интерпретация функций влияния точечного источника, основанные на переходе от уравнений гиперболического типа для волнового поля в кристалле (задача Коши) к уравнениям эллиптического типа (задача Лапласа) [154]. Ниже кратко приводится теория построения функций влияния, как суперпозиции обобщенных плоских волн. [c.309]

Задачу Коши можно рассматривать в различных функциональных классах, например (в порядке усложнения) в классе Са аналитических функций, в классе Сое бесконечно дифференцируемых функций, в классах k (или Нк) функций конечной гладкости, в классе С непрерывных функций, в классе из.меримых ограниченных функций, наконец, в классах обобщенных функций. [c.64]

Обобщения задачи Коши. Начальные данные, т. е. значения всех искомых функций, можно задавать не только на гиперплоскости i — onst. Если носителем начальных значений является некоторая гиперповерхность Е, то говорят о постановке общей задачи Коши. Корректность такой краевой задачи можно гарантировать в том случае, когда Е всюду пространству подобна, т. е. когда иа Е вып0Jшяeт я строгое неравенство вида (3). Если же некоторые бихарактеристики лежат в гиперповерхности Е или даже только касаются ее, то общая задача Коши может быть некорректной. В каждом конкретном случае этот вопрос требует дополнительного исследования. [c.69]

В 4 исследованы бесконечномерные уравнения, связанные с операторами Дирихле. Здесь изучена гладкость обобщенных решений соответствующих эллиптических уравнений, а в случае гиперболических уравнений доказаны энергетические неравенства, дающие оценку решения задачи Коши через начальные данные. Из них вытекает, в частности, факт конечности скорости распространения возмущений, описываемого таким гиперболическим уравнением. Последнее позволяет применить в 4 гиперболические критерии самосопряженности гл. 5 к исследованию условий самосопряженности потенциальных возмущений операторов Дирихле. [c.509]

В случае сжимаемого газа нетрудно произвести полное обобщение постановки, используя аффинно-преобразованную плоскость годографа и рассматривая в ней псевдоаналитическую функцию — модифицированный комплексный потенциал [19]. Казалось бы, с помощью принципа подобия можно построить решение для докритиче ского крыла, используя в качестве прототипа решение для несжимаемой жидкости и сводя задачу к разрешимому интегральному уравнению. Однако этим способом можно преобразовать лишь непрерывные в В компоненты решения аналог непрерывной ветви логарифмической компоненты должен вычисляться другим способом, например с помощью обобщенного интеграла типа Коши [25]. Это позволит выполнить условие о постоянной величине разрыва потенциала скорости при Г О, которое нарушится, если преобразовать ветвь 1пг в нетривиальную псевдоаналитическую функцию с помощью интегрального уравнения. [c.152]

Обобщение понятия квазиконформности. Как уже говорилось в первой главе, возрастание скоростей течения приводит к необходимости учета сжимаемости, а значит (при изучении плоских задач), к замене системы Коши — Римана нелинейной системой двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и двумя искомыми функциями [c.96]