Уравнения на плоскости годографа

Эти уравнения описывают движение в плоскости годографа и являются линейными. [c.77]

В плоскости годографа системе (6) соответствует уравнение [c.210]

Это и есть уравнение ударной поляры, связывающее между собой Уа и V2y координаты точки конца вектора скорости 2 в плоскости годографа скоростей. [c.219]

В методе годографа С. А. Чаплыгина [108] в качестве независимых переменных рассматриваются компоненты скорости. В этих переменных плоские потенциальные течения описываются линейными уравнениями, однако соответствующие краевые задачи оказываются линейными лишь для узкого класса течений с заранее известной областью определения в плоскости годографа (обтекание клина, струйные течения). И все же метод годографа продолжает использоваться в газодинамике как при качественных исследованиях, так и при решении задач численными методами. [c.28]

Как известно, якобиан отображения представляет собой отношение площадей соответствующих ориентированных элементарных площадок знак якобиана положителен при совпадающих ориентациях и отрицателен при противоположных. Как следует из (18), в области дозвуковых скоростей всегда выполняется неравенство J О, а в случае потенциальных течений — неравенство / 0. При этом / и J могут обращаться в нуль только в изолированных точках решение задачи Коши с начальными данными dp/dsi = О, dp ds2 = О (или d /dsi = О, d /ds2 = 0) на линии J = = О (или / = О для потенциальных течений) дает тривиальный случай равномерного потока. Аналогичным образом при рассмотрении уравнений движения в плоскости годографа устанавливается изолированность точек дозвуковой области, где J = ос (/ = ос для потенциальных течений). [c.31]

Следует иметь в виду, что для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения этот результат, вообще говоря, не справедлив. Так, система (31) имеет решение с прямой звуковой линией (г = О при г < О при (р < при этом ди д(р = О при г = О (гл.2, 5). Парадокс раскрывается тем, что приведение системы (31) к каноническому виду (32) неизбежно связано с переходом в плоскость годографа, в которой указанное решение определено так, что прямая звуковая линия изображается точкой излома границы дозвуковой области, т. е. условие теоремы Жиро о гладкости границы не выполнено. [c.50]

Найдем отображение окрестности точки К в плоскость годографа. Исключая из (21) переменную (р получим для определения ф кубичное уравнение [c.69]

Это решение определено на одном листе плоскости годографа. Оно не имеет предельных линий и может быть реализовано физически по-видимому, это останется в силе и для соответствующего решения уравнения Чаплыгина. Таким образом, можно утверждать, что при передвижении по характеристике АВ от точки А к точке В скорость монотонно возрастает (в связи с однолистностью решения в плоскости годографа). Профилирование контура АС методом простой волны дает кривую без самопересечений, так как прямые характеристики первого семейства в области АВС расходятся. Это доказывает отсутствие скачков уплотнения в области АВС и монотонность разгона потока в направлении от А к С. [c.88]

Рассмотренный случай плоского течения имеет методический характер. Практически важным является осесимметричное течение. В 3 гл. 4 приведено уравнение в переменных годографа, описывающее осесимметричное течение. Оно представляет собой обобщенное уравнение Чаплыгина с нелинейной правой частью, содержащей якобиан преобразования в плоскость годографа и значение расстояния от оси симметрии в физической плоскости. [c.107]

Наоборот, условие б1 = О (первое условие (30)) обеспечивает сходимость интеграла (31) в окрестности точек О1, О2 (а значит — ограниченность спрофилированного контура). Действительно в силу условия ф = О на дЕ С), имеем (с учетом уравнений движения в плоскости годографа (1.16) см. гл. 1, 8) [c.160]

Рассматривается течение с непрерывно дифференцируемым полем скорости в сверхзвуковой зоне (граница контура профиля обладает непрерывной кривизной). Из уравнений движения и геометрической оценки на контуре профиля в плоскости годографа (см. 3, рис. 3.2) [c.179]

Установим ряд свойств М-области, вытекающих из факта существования решения краевой задачи, сформулированной в плоскости годографа, и из общих свойств отображения в эту плоскость. Описываемые свойства справедливы при некоторых дополнительных ограничениях и для плоских вихревых течений, описываемых точными уравнениями идеального газа (см. 10), однако использование модели безвихревого трансзвукового течения позволяет достичь максимальной простоты и лаконичности доказательств. [c.242]

Исследование проводится в трансзвуковой аппроксимации поток безвихревой в плоскости годографа uv функция тока удовлетворяет уравнению [c.273]

Форма характеристик на каждом из листов физической плоскости показана на рис. 9.16 (ее нетрудно установить, пользуясь уравнением характеристик (1х/(1у = =Ьу с учетом их расположения на листах плоскости годографа). [c.276]

В трансзвуковой постановке уравнения характеристик в плоскости годографа [c.279]

Каменецкий Д. С. Численный метод решения одной сингулярной задачи для уравнения Чаплыгина в плоскости годографа // Препринт ИПМ им. Келдыша. 1992. №60. [c.314]

Особенно простую форму принимает уравнение (37) в случае плоскопараллельных течений (когда и = 0) после перехода к полярным координатам q,9) на плоскости годографа (см. рис. 2) [c.230]

С помощью стандартных формул перемены ролей зависимых и независимых переменных (аналогичных (34)) из (45) окончательно получается искомая система уравнений на плоскости годографа [c.232]

В силу неравенства Коши (и-Хь) < (1 +Л )g из (56) следует, что течение является сверхзвуковым. Кроме того, из (56) вытекает, что описание решения сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению на плоскости годографа. Оказывается, что последнее сводится к квадратуре. Для вывода этого уравнения надо перейти к полярным координатам (39), в которых величина Л равна [c.235]

Анализ и решение задач о струях сильно облегчаются, если все участвующие твердые стенки являются прямолинейными. Действительно, в этом случае каждый участок границы, вообще говоря, имеет известный годограф свободная граница, на которой известно постоянное значение модуля скорости 9, изображается дугой окружности радиуса д, а прямолинейная твердая стенка, на которой известен постоянный угол наклона в вектора скорости, — отрезком радиуса. Если при этом годограф всей границы ограничивает область на плоскости годографа, то соответствующая задача о струях может быть поставлена, вообще говоря, как некоторая задача для какой-либо из форм основных дифференциальных уравнений на плоскости годографа. [c.243]

Эта постановка краевой задачи для функции тока одна и та же как для плоскопараллельной, так и для осесимметричной струи. Однако решение ее сравнительно просто только в случае плоскопараллельной струи, когда уравнение для функции тока на плоскости годографа (22.47) линейно этот случай и рассматривается ниже. [c.245]

Постановка вариационной задачи для плоскопараллельных и осесимметричных сверхзвуковых течений газа на основе полных нелинейных уравнений с использованием контрольного контура принадлежит Гудер-лею и Хантшу [3], которые рассмотрели задачу об оптимизации формы сопла Лаваля для случая стационарного течения несовершенного газа. Результаты этой работы приводят к краевой задаче для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих искомые функции на контрольном контуре. К тем же результатам при решении задач внешнего обтекания независимо пришли Зандберген и Валле [4]. Несколько раньше в работах [5, 6] было опубликовано решение ряда вариационных задач газовой динамики для внешних и внутренних сверхзвуковых течений совершенного газа. В этих работах решена краевая задача для нелинейных дифференциальных уравнений на характеристике контрольного контура. В случае безвихревых потоков решение представлено в явном виде. В случае вихревых течений решение сведено к задаче Коши для дифференциального уравнения. Стернин [7] обратил внимание на то, что в одной точке характеристики контрольного контура, построенной на основе необходимых условий экстремума, ускорение может стать бесконечно большим, и нашел геометрическое место таких точек в плоскости годографа скоростей. Это геометрическое место встретилось в дальнейшем при исследовании необходимых условий минимума сопротивления. [c.46]

В плоскости годографа скорости, где по осям координат отложены величины и и<2у, уравнение (1.116) изображается кривой, которая называется строфоидой или гипоциссоидой. Часть строфоиды, соответствующая физически реальным значениям 2х и П2у, представляет собой замкнутую линию, которая в газовой динамике называется ударной полярной. Применительно к уравнению (1.117) она показана на рис. 1.64. Ударная поляра может служить для графического определения параметров скачка. Так если отклонение потока скачком б известно, то отрезок ОС, проведенный из начала координат под углом б, определит скорость Яг, т. е. 2. Для определения угла 3 следует опустить перпендикуляр 0Л1 на продолжение прямой АС. Угол, образуемый этим перпендикуляром с осью абсцисс, равен искомому углу р. В практических расчетах [c.75]

Напомним (см. 9), что предельной линией называется край складки отображения плоскости годографа в физическую плоскость она может возникать, когда решение первоначально строится в плоскости годографа, а лишь затем находится его образ в плоскости течения. В силу нелинейности уравнений, предельная линия в общем случае не будет характеристикой она является огибающей характеристик одного семейства и множеством точек возврата характеристик другого семейства. Классический пример течения с предельными линиями дает решение Ринглеба [64]. Характеристика может быть предельной линией, если она несет разрыв первых производных поля скоростей. В принципе может возникнуть ситуация, когда характеристика является одновременно и линией ветвления и предельной линией в этом случае якобиан отображения при переходе через характеристику не изменяет знак, хотя область определения решения в плоскости годографа двулистна двулистным будет и отображение в физическую плоскость. Пример такого течения приводится в гл. 9 9. [c.37]

Современное состояние теории линейных уравнений смешанного типа и вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений представлено в монографиях [92, 93, 20]. Движение идеального газа описывается квазилинейными уравнениями смешанного типа. Использование теории линейных уравнений для изучения свойств трансзвуковых течений оправдано тем, что каждое решение нелинейного уравнения принадлежит множеству решений некоторого линейного уравнениями, значит, свойства трансзвуковых течений принадлежат совокупности свойств решений линейных уравнений. В связи с этим ряд теорем теории линейных уравнений может быть выражен в терминах аэрогазодинамики. Однако при такой интерпретации могут возникать трудности при формулировке условий реализации свойств, классифицируемых по типам линейных уравнений. Линейное уравнение Чаплыгина в плоскости годографа скорости и его упрощенный вариант — уравнение Трикоми — стали первыми и наиболее полно разработанными объектами теории. Следует все же отметить, что большинство полученных математических результатов имеют пока лишь ограниченное или косвенное приложение в трансзвуковой аэродинамике. Это связано с тем, что области определения считаются заданными и, следовательно, рассматриваемые задачи могут иметь отношение лишь к проблеме профилирования контура тела. В то же время одна из главных задач аэродинамики — прямая задача внешнего или внутреннего обтекания тела заданной формы, формулируемая в плоскости годографа как задача со свободной границей, остается мало обоснованной. [c.49]

Рассмотренная в [93] задача Франкля возникла при обсуждении формы скачка уплотнения, замыкающего местную сверхзвуковую зону у профиля, после того как Ф. И. Франклем было построено точное решение уравнения Трикоми в плоскости годографа, призванное дать асимптотическое описание такого течения [104]. Это решение, однако, не могло быть физически реализовано ввиду образования складки в физической плоскости. К сожалению, математические исследования этой задачи (рис. 1.20) концентрировались лишь вокруг вопросов ее разрешимости (в плоскости годографа), в то время как аэродинамику интересует конечный результат — существование такого течения в физической плоскости. [c.52]

В связи с вопросом об автомодельных решениях уравнений Кармана-Фальковича отметим следующее обстоятельство. Образ в плоскости годографа скорости каждого такого автомодельного решения представляет собой решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка, общее решение которого выражается через гипергеометри-ческие функции. Система этих решений, дополненная формулами аналитического продолжения, приведенная в монографии [32], воспроизведена в 4. [c.60]

Недостаток использования плоскости годографа для описания автомодельных решений связан с возможной неоднолистностью обратного отображения, при которой начало координат является точкой ветвления. В этом случае в плоскости uv начало координат будет седлом линий ф = 0. Выявление этого факта, когда корень уравнения = О не является [c.63]

Рассмотрим подробно задачу о течении в бесконечном сопле с параллельными стенками на входе. В силу вышесказанного, в области С получаем обобщенную задачу Дирихле для функции тока с разрывным (кусочно постоянным) граничным условием. В плоскости годографа ф удовлетворяет в точной постановке уравнению Чаплыгина, а в приближенной постановке, часто применяемой для выявления главных качественных особенностей трансзвукового характера — уравнению Трикоми. [c.91]

Течение в области АВСВЕ в плоском случае описывается уравнением Чаплыгина. Минимальная область влияния может быть выбрана так, чтобы подобласть дозвукового течения изображалась прямоугольником. (Такой выбор делается для простоты в общем случае форма дозвуковой подобласти произвольна, однако желательно, чтобы каждая часть границы области, соответствующая той или иной стенке канала, располагалась в плоскости годографа монотонно относительно прямых постоянной скорости, что соответствует монотонному изменению скорости потока вдоль стенки. Это важно, так [c.105]

Аналитические исследования проводились Ф.И. Франклем [104] при малых изменениях решения относительно исходного — задача формулировалась в плоскости годографа для линейного уравнения в вариациях. Строгие доказательства теоремы единственности в малом были получены в [61, 74]. [c.111]

В работе [43] для этого используется разложение в ряд. Другой способ, употреблявшийся в работе [80], состоит в использовании точного решения (2.20), являющегося асимптотикой соответствующего решения в плоскости годографа. Данные на характеристике ЕЕ, достаточно близкой к точке К, получаются из этого решения, после чего методом характеристик строится решение в области ЕЕА2В. Контур АС, ограничивающий область простой волны, получается как решение обыкновенного дифференциального уравнения по данным на последней характеристике узла АВ. [c.118]

В случае сжимаемого газа нетрудно произвести полное обобщение постановки, используя аффинно-преобразованную плоскость годографа и рассматривая в ней псевдоаналитическую функцию — модифицированный комплексный потенциал [19]. Казалось бы, с помощью принципа подобия можно построить решение для докритиче ского крыла, используя в качестве прототипа решение для несжимаемой жидкости и сводя задачу к разрешимому интегральному уравнению. Однако этим способом можно преобразовать лишь непрерывные в В компоненты решения аналог непрерывной ветви логарифмической компоненты должен вычисляться другим способом, например с помощью обобщенного интеграла типа Коши [25]. Это позволит выполнить условие о постоянной величине разрыва потенциала скорости при Г О, которое нарушится, если преобразовать ветвь 1пг в нетривиальную псевдоаналитическую функцию с помощью интегрального уравнения. [c.152]

В общем случае многолистной римановой поверхности граница Е[С), рассматриваемая как проекция на плоскость годографа, имеет точки самопересечения или самоприкосновения. Область Е[С) может при этом быть и локально однолистной (но неоднолистной в целом). Если многолистную область разрезать на простые листы, то каждый разрез представляет собой жорданову кривую. Действительно, прообраз каждого разреза в однолистной области С (в физической плоскости) является совместной границей соседних непересекающихся областей, т. е. жордановой кривой. Если бы в плоскости годографа какой-то разрез состоял из изолированной точки ио = иоо, то задача Коши с данными и - - гу = уо на кривой в физической плоскости — прообразе этой точки — имела бы в силу равномерной эллиптичности уравнений движения лишь тривиальное решение (по теореме Коши-Ковалевской). Далее, каждый разрез, являясь границей соседних простых листов не имеет точек самопересечения, т. е. является жордановой кривой. [c.156]

На границе Е С) имеют место условия, следующие из условия непротекания. Одно из них ф = О ф — функция тока), другое, выражающее равенство кривизн контура профиля и прилегающей линии тока (всюду, кроме критических точек), после использования уравнений движения (что предполагает непрерывность соответствующих частных производных в замкнутой области определения, кроме критических точек) дает связь между фи фу и кривизной контура крыла (см. гл. 1, 16). В прямой задаче оба эти условия заданы на заранее неизвестной, свободной границе. В задаче профилирования, когда задана граница Е С), условие ЩдР с) используется при решении краевой задачи, а второе — для построения контура крыла по найденному решению. Задача профилирования сводится при этом к задаче Дирихле в многолистной ограниченной области (однолистной после указанного выше отображения), если присоединить асимптотические условия (4), (14) в точке уо = уо о. Однако искомое решение задачи профилирования должно еще удовлетворять двум (при а ф 0) дополнительным условиям, имеющим характер условий разрешимости, вытекающих из требований физической реализуемости решения, построенного методом годографа О. (Напомним, что задание сингулярных членов асимптотики (4), (14) обеспечивает замкнутость прообраза (в физической плоскости) любого замкнутого контура в плоскости годографа, охватывающего точку и] = г оо, в том числе и контура профиля, если он при этом получается ограниченным.) [c.159]

Рассматривается класс решений уравнений газодинамики в плоскости годографа (в трансзвуковом приближении рассматриваются решения уравнения Трикоми), которым в физической плоскости соответствуют течения с угловой точкой, вблизи которой происходит переход через скорость звука. Устанавливается форма звуковой линии вблизи угловой точки. [c.203]

Итак, функция тока плоского потенциального трансзвукового течения в плоскости годографа иу является решением уравнения Трикоми [c.203]

Это решение существует. Действительно, соответствующее решение в плоскости годографа ф и,у) принадлежит классу решений уравнения Трикоми [c.214]

Будем исходить из того, что главный член функции тока фо и,у), описывающий трансзвуковое течение вблизи А (выше по потоку от характеристики АС), принадлежит классу точных решений уравнения Трикоми, однолистных в плоскости годографа и имеющих распределение ф на звуковой линии по степенному закону (от у). Таким решением, например, является решение [157]. [c.273]

Таким образом, для асимптотического описания течения в области AD необходимо решить следующую задачу найти в области da2 в плоскости годографа функцию v), удовлетворяющую уравнению Трикоми и граничным условиям [c.275]

Уравнения на плоскости годографа. Метод годофафа и состоит в рассмотрении определяющих течение величин как функций переменных годографа (u.v). Существует несколько вариантов получения преобразованных уравнений (23) на плоскости годофафа, каждый из которых имеет свои преи.мущества и недостатки. Ниже излагаются два наиболее часто используемых варианта такого преобразования. [c.229]

В каждой такой задаче необходим специальный анализ вопросов единственности решения и однолистности отображения плоскости течения на плоскость годографа. Единственность решения обычно устанавливается с помощью принципа максимума и леммы Зарембы о положительности нормальной производной в граничной точке максимума для решений эллиптических уравнений второго порядка. Этими же средствами доказывается отличие от нуля якобиана отображения, Те.м самым гарантируется локальная однолистность отображения. Для установления глобальной однолистности используются достаточные условия топологического характера из общей теории дифференцируемых отображений плоских областей. Одним из них является условие односвязности, согласно которому если при непрерывно дифференцируемом отображении с не равным нулю якобианом односвязная область переходит в односвязную, то в этой области отображение взаимно однозначно. Другое условие дается принципом соответствия границ, в котором предполагается, что граница Г области П при непрерывно дифференцируемом отображении замкнутой области П с не равным нулю якобианом переходит в кривую Г, ограничивающую некоторую область Г) (или ее дополнение П")- Тогда, если Г отображается на Г взаи.мно однозначно, то образом П является П (или П") и отображение П — П (или Г) — П") также взаимно однозначно. И.меются и другие, более тонкие достаточные условия глобальной однолистности. Так как поместить более подробное изложение всего этого математического аппарата в данном тексте [c.243]

Тем самым задача об истечении струи сводится к отысканию функции тока = ф д, в) как решения соответствующего дифференциального уравнения в заданном секторе АВВ А плоскости годографа с краевым условием (2), т. е. как решения задачи Дирихле. В силу очевидной симметрии значение ф на оси симметрии равно пулю, и потому достаточно найти решение задачи Дирихле в половине АВС указанного сектора с граничными условиями [c.245]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология