Двойные группы

Как мы видим, спин-орбитальные эффекты не расщепляют Г,, но они расщепляют Г4 и Г, на четыре состояния. Мы можем получить представления двойных групп, превратив L и S в J и использовав уравнение [c.85]

Состояния Г7 и Га соответствуют J = 1/2 и 7 = 3/2 для свободного иона. Эти обозначения получены путем разложения произведения (орбитальная часть) и Е 2 (Г для спина равно 1/2) в двойной группе О. [c.217]

Рис. 13.15. Диаграмма энергетических уровней низкоспиновой -системы в полях и Оз, которые расщеплены спин-орбитальным взаимодействием и магнитным полем. При учете спин-орбитальных эффектов используются представления двойной группы Дз (штрихованные значения).

ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДВОЙНЫХ ГРУПП [c.420]

Двойная группа состоит из пары связанных между собой кружков, ни один из которых не связан с каким-либо другим кружком Л/-частич-ного графа. В соответствующем члене разложения индексы I и / молекул двойной группы встречаются только при функции оба вместе, но не встречаются в комбинации с другими индексами (под интегралом нет сомножителей вида /, , где к Ф /, или где к Ф г). [c.298]

Электронный спин обусловливает мультиплетность электронных состояний, равную 25+1. Если спин-орбитальное взаимодействие мало, то влияние спина можно учесть почти таким же образом, как это делалось в случае связи Ь по Гунду для двухатомных и линейных многоатомных молекул (стр. 47 и сл.)- Так обычно можно поступать в случае нелинейных молекул, состоящих только из легких атомов. При сильном спин-орбитальном взаимодействии рассмотрение оказывается значительно более сложным. В частности, при четной мультиплетности необходимо пользоваться так называемыми двойными группами. Более подробное обсуждение таких случаев можно найти в [1П]. [c.122]

Одинарная группа Двойная группа Г, Г, Г+ Гд- г+ г. г,, Г7 г+ Г,2 Гв" [c.80]

ПОНЯТИЕ О ДВОЙНЫХ ГРУППАХ [c.65]

Во избежание этих трудностей вводится понятие о двойных группах. Если в обычную точечную группу формально ввести дополнительный элемент С — поворот на угол 2л вокруг некоторой оси — и считать, что он отличен от единичного элемента, Q ф Е, но что = Е, то число элементов удвоится (каждому элементу С в исходной группе будет соответствовать элемент QG в новой группе). В частности. С" = С1 = Е, = 0 = Е и т. д. [c.65]

Двойные Группы незаменимы в случаях, когда в системе велико спин-орбитальное взаимодействие и невозможно отделить орбитальные состояния от спиновых. Эта ситуация актуальна для многоатомных систем, содержащих тяжелые атомы, что довольно типично для координационных соединений (см. разд. IV. 4 и У.4), [c.66]

Неприводимые представления двойной группы [c.135]

Двойная группа Ог Двойная группа 0 [c.136]

Введем предположение, что молекула переходит сама в себя не при повороте на 2п вокруг оси, а только после поворота на угол 4л, или 2 X 360°. Вводится элемент новой группы — поворот на 2л, и этот элемент в комбинации с элементами обычной симметрии используется для построения новых, так называемых двойных групп. Таблицы характеров и трансформационные свойства волновых функций, электрического дипольного оператора и тензора комбинационного рассеяния получают обычным путем. [c.102]

В настоящее время комбинационные переходы с участием электронных уровней, которые принадлежат представлениям двойных групп, найдены для ионов редкоземельных элементов и переходных металлов. В качестве примера может быть выбран ион трехвалентного иттербия. Если рассматривается этот ион (кристаллическое поле с симметрией Dq), то мультиплетные компоненты Ф /, и F5/г конфигурации [Хе] (4/) расщепляются на четыре и три дважды вырожденных уровня кристаллического поля. Чтобы найти представления, соответствующие этим уровням, надо использовать двойную группу D 2. Характеры этой группы указаны в табл. IV-2. [c.102]

Необходимость появления этих тензоров становится очевидной, если редкоземельный элемент с четным числом 4/-электронов замещен в месте симметрии Дг. Теперь электронные уровни принадлежат представлениям А, В, В2 и В3, и тем же представлениям должны принадлежать тензоры комбинационных переходов. Таким образом, разрешен только один из четырех возможных тензоров, приведенных выше. Двойные группы встречаются и в комбинационном рассеянии ионов переходных металлов. Для иона двухвалентного кобальта в позиции с симметрией Оз низколежащие электронные уровни принадлежат двум двумерным представлениям двойной группы Оза- Тензоры комбинационных переходов входят соответственно в следующие произведения представлений Е>/ X Х% = Л,+ Л2-f X 7. = 2Л1 + 2Л Ву,ХЕъ = Е + Е-, [c.103]

Элементы симметрии указаны непосредственно над характерами групп. Элемент симметрии Я является искусственным, он имеет место только в обобщенных или двойных группах. Для этих групп порядок классов, связанных с осями второго порядка и плоскостями симметрии, равен удвоенному порядку, приведенному в таблицах. Типы представлений двойных групп показаны в нижней части таблиц, а их характеры —во втором столбце. [c.171]

Для большей ясности рассмотрим некоторые примеры. Если полуцелое, для определения эффектов спин-орбитального взаимодействия необходимо воспользоваться двойными группами. Поскольку спин-ор-битальные эффекты обусловлены взаимодействием спинового и орбитального моментов электрона, мы занимаемся представлением прямого произведения этих двух эффектов. В качестве примера определим влияние октаэдрического поля и спин-орбитального взаимодействия на F-свободноионное состояние -иона. Как и в предыдущем разделе, мы можем получить полное представление в точечной группе О и разложить его [c.85]

Ион в слабом поле О,, дает, как показано в диаграмме Танабе — Сугано, основное состояние и возбужденное состояние и В двойной группе О эти состояния соответствуют Т Г. ), Т 2 Г ) и /IjiF2). Взяв S = 3/2 и подставляя вместо I в уравнение (10.9) S, мы порождаем в точечной группе О неприводимое представление С(Гд), т.е, одно из новых неприводимых представлений двойной группы. Возьмем прямые произведения спиновой и орбитальной составляющих и разложим их, как и раньше, что даст [c.85]

Важно помнить, что, имея дело с эффектами спин-орбитального взаимодействия (с которыми нам часго придется сталкиваться в последующих г.гтавах) в системах с полуцелыми значениями J, необходимо применять двойную группу. [c.86]

Соответствующие величины энергии таковы = — /2, = /2, 3 = — /2, 4 = — /2, 5 = и g = . Из этого анализа видно, что снин-орбитальное взаимодействие снимает шестикратное вырождение состояния Т, приводя к совокупности из двух уровней и совокупности из четырех уровней более низкой энергии, соответствующих Г, и Fg в двойной группе О . Далее нам необходимо определить влияние магнитного поля. Поскольку система с симметрией 0 магнитно изотропна (х, у и z), необходимо рассчитать только влияние Н . Оператором Гамильтона Я (параллельным z) является i(L, + Результирующие энергии получены в гл. 11 и представлены на рис. 13.9. Расщепление в низкоэнергетической совокунности невелико при втором порядке по Я (т.е. Я ). Решение для д АЕ = д Н) приводит к дрЯ = 4р Я /3 или g = 4РЯ/3 0 для наинизшего уровня . При заметном разделении Fg и Г7 (например, = 154 см для Ti ) сигнал ЭПР не будет регистрироваться, несмотря на то что состояние F, заселено. Решая это уравнение [c.217]

Поэтому, зная элементы двойных групп, их неприводимые предстаЁ-Ления и характеры последних, можно рассматривать и состояния с полуцелым спином точно так же, как это было выполнено выше. [c.66]

Характеристики двбйных групп можно найти теми же способами, что и для простых групп, используя общие теоремы теории групп. Удвоение числа элементов не обязательно приводит к удвоению числа классов (и следовательно, числа представлений) в группе. Например, в группе вращений куба О 24 элемента и 5 классов (раздел И1.2), а в двойной группе О (двойные группы обозначаются штрихами) 48 элементов и 8 классов. В табл. 111.2 приведены новые представления, которые появляются в группе О (плюс к тем, которые имеются в О) и их характеры. [c.66]

Некоторые пояснения необходимо сделать относительно обозначений. Представления двойной группы, соответствующие двузначным представлениям обычных групп, по Маликену, обозначают штрихами Е — двукратные. О — четырехкратные. В литературе часто встречаются, особенно в случае двойных групп, обозначения Бете. Поэтому приводим таблицу соответствия [c.66]

Качественно это расщепление определяется сравнительно легко методами теории групп (глава III). В случае целых / расщепления полностью совпадают с ожидаемыми для целых L, ибо определяются совершенно идентично. Для полуцелых / необходимо привлечь к рассмотрению введенные в главе III двойные группы. В этом случае состояния классифицируются по неприводимым представлениям Е, Е 2 и т. д. (двукратные) и G (четырехкратные), где штрихи указывают на принадлежность представлений к двузначным (в обозначениях Бете — Гб, Г и Fg, соответственно), а расщепление исходных термов на эти компоненты находятся по тем же правилам, что и в общем случае [т. е. с применением формулы (III. 31), см. раздел IV. 2]. Некоторые результаты приведены в табл. IV. 9. [c.104]

Oq можно выразить в виде линейной комбинации величин ссра при помощи соотношений из табл. 1. Таким образом, проблема установления правил отбора в электронном КР сведена к нахождению трансформационных свойств s-, р- и d-орбиталей. Особый интерес представляют, разумеется, трансформационные свойства антисимметричных компонент тензора рассеяния. Как было показано, можно определить эти свойства, исследуя симметрию Рх-, Ру- и / z-орбиталей, которые аналогичны координатам X, у и Z соответственно, а типы, по которым преобразуются эти координаты, приведены в таблицах характеров для наиболее распространенных точечных групп. В заключение следует отметить, что иногда для выведения соответствующих правил отбора должны использоваться двойные группы, но даже в таких случаях можно непосредственно получить трансформационные свойства полного тензора. [c.128]

Позиционная симметрия иона редкоземельного элемента описывается точечной группой 02, поэтому кристаллические компоненты расщепленного основного состояния будут описываться при помощи неприводимых представлений этой группы. Однако в данном случае возникают определенные осложнения. Число оптически активных электронов у иона иттербия составляет 13, и для описания всех уровней энергии должна использоваться двойная группа. Уровни энергии в УОаО УЬ должны описываться при помощи неприводимых представлений двойной группы >2. Аналогично компоненты тензора рассеяния должны принадлежать некоторым из эти представлений соответствующее отнесение кристаллических уровней и компонент [c.135]

Для общего случая (394) легко вывести следующее правило отбора переход двойной группы разрешен по симметрии для основного состояния, еслит- п = 4 -)-2, и для возбужденного состояния, если т- -п = Ад т и п — числа л-электронов, а = О, 1, 2. ..). Правило применимо к анта-раповерхностному по отношению к обоим компонентам процессу оно обращается, если процесс антараповерх-ностен только для одного компонента. Если возникает возможность инверсии при К, то правило должно быть модифицировано (ср. разд. 11). [c.155]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология