Прямое произведение представлений

Это значит, что характер прямого произведения представлений равен произведению характеров. [c.30]

Найдите прямые произведения представлений [8 и Е2и группы Вбь, Е группы С4у на самих себя. Определите [c.27]

Показать, что матрицы прямого произведения представлений также образуют представление. [c.212]

Выше было рассмотрено прямое произведение представлений, которые, как уже говорилось, в общем случае тоже являются группами, образованными матрицами [c.216]

Вышеприведенный интеграл содержит оператор Я, который всегда принадлежит к полностью симметричному неприводимому представлению. Следовательно, симметрия всего подынтегрального выражения будет определяться симметрией прямого произведения /,- и 1 / . Как было показано в гл. 4, прямое произведение представлений и v /j принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению, только если и (/у относятся к тому же неприводимому представлению. Итак, подводя итог, можно утверждать, что интеграл энергии будет отличаться от нуля, только если ч , и ч/j принадлежат к тому же самому неприводимому представлению точечной группы изучаемой молекулы. [c.247]

Т. е. если прямое произведение представлений двух одинаковых функций о (функция с одинаковой симметрией) содержит представление Q . Нам известно, что прямое произведение двух функций с одинаковой симметрией всегда содержит полносимметричное представление. Следовательно, интеграл будет отличаться от нуля, если только принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению точечной группы молекулы. Отсюда мы можем сделать вывод, что координата реакции, за исключением точек максимума и минимума, принадлежит к полносимметричному неприводимому представлению точечной группы данной молекулы. [c.318]

Если одновременно возбуждается несколько частот разных колебаний, то волновая функция относится к представлению, являющемуся прямым произведением представлений, осуществляемых функциями, относящимися к каждой из колебательных частот. [c.663]

V. Прямое произведение представлений группы. Как было показано в 19, система собственных функций оператора Гамильтона Н образует базис для представления группы g one- [c.692]

Поскольку представления группы изображаются матрицами (например, Гф = (Гг (ф))), то прямое произведение представлений (Г, ГО) будет выражаться через прямое произведение соответствующих матриц (см. В, разд. VI). Из определения прямого произведения матриц непосредственно следует, что характер представления прямого произведения равен простому произведению характеров соответствующих представлений. Так, например, [c.693]

Перейдем к обсуждению второй категории операторов, т. е. к тем операторам, которые не удовлетворяют приведенному выше условию а). На основании самых общих соображений можно предположить, что оператор М при операциях симметрии преобразуется по представлению Гм, причем оно не обязательно должно быть неприводимым. Тогда функции ф/ (/=1,2,...) преобразуются по прямому произведению представлений [c.136]

Это выражение будет отличным от нуля, если одновременно будут отличны от нуля оба интеграла по электронному и ядер-ному пространству координат. Такое условие выполняется, если соответствующие прямые произведения представлений, по которым преобразуются все входящие под интегралы величины, будут [c.42]

При интерпретации фактора д следует, конечно, учитывать не столь упрощенную, а истинную симметрию поля лигандов. Большинство исследованных оптически активных комплексов в основном состоянии имеет, как правило, тригональную симметрию Фз) расчет по формальным правилам отбора сводится к обычной процедуре, при которой по таблице характеров для соответствующей точечной группы (например, для устанавливают, не содержится ли в разложении прямого произведения представлений основного и возбужденных состояний то представление, по которому преобразуется соответствующий оператор момента дипольного перехода. При таком подходе предполагается, что система в возбужденном состоянии имеет те же элементы симметрии, как и в основном состоянии. Обычно не учитывают возможные осложнения, связанные с тем, что "-электронные состояния, как основные, так и возбужденные, могут быть искажены вследствие эффекта Яна — Теллера ниже будет показано, что этот эффект можно учесть путем модификации простого спектроскопического подхода. [c.170]

Характеры матриц представления у, равного прямому произведению представлений а и Р, равны произведениям характеров соответствующих матриц этих представлений. [c.60]

Последнее утверждение требует пояснения. Прямым произведением представлений аир называется представление у, осуществляемое набором функций из попарных произведений где ф и фР — функции базисов представлений а и р. В случае, когда последние совпадают, новое представление с характерами, равными квадратам характеров исходного представления [Х(С)]2, распадается на два [29, с. 413] [c.60]

На более общем языке теории групп это условие отличия от нуля интеграла (1П. 32) сводится к требованию, чтобы прямое произведение представлений, по которым преобразуются подынтегральные функции фь f и х з2 содержало единичное представление. [c.63]

Этот интеграл, так как Ь преобразуется по представлению Г], отличен от нуля только тогда, когда прямое произведение представлений [Г,]2 X содержит единичное (см. раздел IX. 6), что возможно только при Т = 1 или Г = Гг. [c.147]

Оно относится к полносимметричному типу, так как прямое произведение представлений, соответствующих всем электронам, относится к типу Ль Поскольку каждая орбиталь занята двумя электронами, спины которых спарены, полный спиновый момент молекулы равен нулю и состояние синглетное. [c.60]

Использование симметрии молекул приводит к факторизации дзета-матрицы способом, подобным факторизации нормальных координат, рассмотренной в предыдущем разделе. Все выведенные выше соотношения, записанные через обобщенные координаты 5г, справедливы (с необ.ходимыми изменениями) и для координат симметрии. Свойства симметрии, которыми обладают матрицы М , С и позволяют значительно упростить расчет. Наиболее важное из этих свойств известно как правило Яна [244], на основании которого делается заключение, между какими колебательными состояниями имеет место кориолисово взаимодействие. Так, если Qi и Qj — нормальные координаты г-го и /-го нормальных колебаний, то 5 отлично от нуля в том случае, когда прямое произведение представлений Г(Сг)ХГ(С ), к которым принадлежат координаты Q и Qj, содержит представление Г(/ а) для вращения вокруг оси координат а. [c.293]

Соотношение (8.11) означает, что прямое произведение представлений нормальных координат содержит представление вектора. [c.277]

Таким образом, характеры прямого произведения представлений равны произведениям характеров обоих составляющих представлений. [c.203]

М Прямое произведение представлений не зависит от порядка сомножителей и от последовательности их перемножения. [c.205]

Первый интеграл обращается в нуль, если функции а и 5, не преобразуются по одному и тому же НП группы, поскольку в этом случае прямое произведение представлений не может содержать полносимметричное НП. Аналогично, чтобы второй интеграл не обращался в нуль, необходимо, чтобы прямое произведение представлений, [c.147]

Величина таких матричных элементов будет зависеть от 1) относительной симметрии основного (0) и возбужденного ( ) состояний (матричный элемент равен нулю, если прямое произведение представлений двух функций не содержит представления перемещения вдоль 2 2) локализации перекрывания между волновыми функциями 4 ° и (более определенно плотность переноса [52] рд, между ° и должна быть локализована в области ядер, которые вносят вклад в перемещение вдоль 2). (Для основного состояния с замкнутой оболочкой 4 ° и возбужденного состояния которые отличаются одноэлектронным переходом между двумя орбиталями [c.198]

С помощью понятия базисных функций можно определить понятие прямого произведения представлений. Пусть для двух представлений некоторой группы заданы соответственно два набора базисных функций Га (/ ) с матрицами А и матричными элементами < гк, ф — его базис размерности т а также Гв(/ ) с матрицами В и матричными элементами Ьц1, чр — его базис размерности п. Определим, с помощью каких матриц, т. е. по какому представлению, будет преобра-зовыЁаться набор функций (базис) ф -фй размерности. т-п. Это представление называется прямым произведением представлений Га и Гв и обозначается знаком X , т. е. [c.29]

Прямое произведение представлений. Очень часто в прикладных задачах встречаются выражения, которые содержат произведения функций, преобразующихся по тем или иным представлениям точечных групп. В частности, в 2 и 3 предшествующей главы уже встречались интегралы вида <ф /) ф>, в которых как функции и ф, так и оператор дипольного момента могут преобразовываться по различным неприводимым представлениям. Возникает естественный вопрос, по какому представлению в этих случаях будет преобразовываться подынтегральное выражение и как специфика получаемых преобразований будет отражаться на величине указанного интеграла. [c.206]

В целом же функция Лц) будет преобразовываться по прямому произведению представлений Гд и Г , тогда как все подынтегральное выражение матричного элемента преобразуется по прямому произведению трех представлений Г , Г и Г . Представление Гф совпадает с Г , если его матрицы вещественны (т.е. ортогональны). В противном случае Г и Г различны. Кроме того, если функции ф и гр суть базисные функции одного и того же пространства, на котором действует неприводимое представление Г, , то в Г 0Г,(, должен быть взят лишь симметри-зованный квадрат Г . [c.224]

Этот интеграл будет отличаться от нуля, еели прямое произведение представлений волновь[х функций и у, содержит представление, к которому принадлежит координата реакции [c.319]

В действительности, однако, с первым возбужденным состоянием бензола дело обстоит сложнее. В этом состоянии имеются две частично заполненные вырожденные орбитали. Это приводит не к одному, а к нескольким состояниям, возникающим из одной и той же конфигурации, подобно тому, как уже наблюдалось для многоэлектронных атомов с частично заполненными вырожденными уровнями. В данном случае представления для состояний, возникающих из конфигурации elg) e2u), можно найти, определяя прямое произведение представлений Е1д и 2 [т. е. используя дырочный формализм для субсостояния ( 1 ) ]. Это произведение можно получить последовательным попарным перемножением соответствующих характеров с последующим приведением результатов подобно тому, как было проделано в разд. 7.4. Однако существуют правила (основанные на теоретико-групповой номенклатуре) для перемножения представлений точечных групп. Эти правила сведены в табл. 14.2. Пользуясь ими, находим [c.291]

Как показано в мат. дополн., Г, интегралы, через которые выражаЕотся матричные элементы (136,6), будут отличны от нуля только в том случае, когда прямое произведение представлений, соответствующих волновым функциям и будет содержать представления х, у или г. [c.664]

К первой категории, очевидно, относится тривиальный случай, когда Ж (вообще говоря, onst). При этом соотнощение (6.62) обусловливает ортогональность некоторых функций только лищь на основании их свойств симметрии. Типичным примером может служить такая ситуация, когда Ж представляет собой гамильтониан (например, хартри-фоковский или одноэлектронный гамильтониан другого типа). Гамильтониан, инвариантен ко всем операциям симметрии данной группы и, следовательно, преобразуется по неприводимому представле нию Aig для этого (одномерного) представления характерно, что все его матричные элементы равны единице (см. табл. 6.4). Свойства симметрии функций <р в соответствии с (6.58) определяются свойствами прямого произведения представления A g (по которому преобразуется оператор Ж) и неприводимого представления Гг (по которому преобразуется базис функций ф, г = 1, 2,. ..), поэтому функции фь фг,. .., Ф/ обязательно должны образовывать базис неприводимого представления Гг. Тогда из соотношения [c.135]

В связи С тем, что для данного колебательного движения а также в связи с тем, что здесь рассматривается переход с бесколебательного уровня основного состояния, второе произведение представлений всегда содержит иолносимметричную компоненту таким образом, правила отбора будут определяться лишь первым произведением. Учитывая, как уже отмечалось, что основное состояние для большинства молекул полносимметрично, замечая также, что /"ш = Гдк = Гк, и отбрасывая Г ) , которое всегда содержит Г , получаем Го. Га - Гк Ч Г . Таким образом, второе слагаемое в Мо, пк будет отлично от нуля, если прямое произведение представления электронного состояния и представления колебания преобразуется, как одна из компонент радиуса-вектора системы [Гп Гк = Го.) этот результат определяет возможность наблюдения в спектре электронно-колебательных полос, представляющих собой наложение колебательного кванта на электронную частоту (vэл. кол = эл + > кол). [c.43]

Упрощенный подход, основанный на симметрии Од, позволяет дать разумное объяснение вращательной силы переходов в обоих комплексах, рассмотренных в табл. 2, так как правила отбора для точечной группы Од справедливы и в случае этих соединений. Фактически симметрия иона трис-(+)-пропилендиаминникеля(П) не выше Сд. Аналогично можно рассматривать и ион никеля в гексагидрате сульфата никеля, полагая, что он имеет симметрию учет тригонального возмущения — самый простой способ объяснить появление оптической асимметрии окружения иона металла. При этом представления А , и группы Од переходят соответственно в представления А , А - -Е и А - Е группы При исследовании циркулярного дихроизма кристаллов гексагидрата сульфата никеля [52 излучение проходило параллельно оптической оси кристалла при этом условии разрешен только переход Лг - Е, и в каждой области поглощения появляется только по одной компоненте (Е). В табл. 3 приведено отнесение для первой и второй полос в обозначениях Бозе и Чаттерджи [50]. Отнесение первой полосы к переходу Мд - Е подтверждается данными о температурной зависимости циркулярного дихроизма. Рассмотрим сперва общий характер изменений дихроизма при изменении температуры. Если прямое произведение представлений / и О содержит представление магнитного дипольного оператора в соответствую- [c.172]

В случае вырожденных точечных групп, к которым относятся юлекулы, имеющие оси симметрии третьего порядка и выше, по- учаемое прямым произведением представление может не быть не-риводимым представлением данной точечной группы. В таком лучае его следует изобразить в виде прямой суммы неприводимых редставлений. Если эта прямая сумма содержит полносимметрич-ые представления, переход разрешен. [c.29]

Для дальнейшего имеет основное значение следующее свойство прямых произведений представлений. Если составить пря1 юе произведение двух различных неприводимых представлений и потом разлол<ить его на неприводимые части, то в этом разложении не может содержаться единичное представление ). Если же составить прямое произведение неприводимого представления самого на себя ), то в его разложении всегда содержится единичное представление, причем только один раз. [c.203]

Рассмотрим прямое произведение неприводимого представления самого на себя. В этом случае одно и то же представление осуществляется при помощи двух различных наборов функций tpi,. .., )d и фь. .., фй и, следовательно, прямое произведение представления самого на себя осуществляется функциями 1 )1фй. Это приводимое представление можно разложить на два представления меньщей размерности. Одно из них осуществляется функциями г1)1-ф 1-Ь11зАф1-, а второе — функциями г ),фА—1 3),фг (/= . Первое называется симметричным произведением представления самого на себя, второе — антисимметричным (см. [20, 86]), Для характеров этих представлений имеем [c.206]

Прямые произведения представлений (типов симметрии) для некоторых наиболее важных точечных групп Типы симметрии в квадратных скобках Должны быть опущены в прямом произведении вырожденных типов представлений самих на себя. Они характеризуют антисимметризованное произведен1Л. [c.180]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология