Уравнение Фоккера Планка

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА [c.199]

Вывод уравнения Фоккера — Планка 199 [c.3]

В сущности, это уравнение Фоккера — Планка для диффузии агрегатов вдоль оси Л/з. [c.278]

Для плотности распределения катализатора р(0) в рамках диффузионной модели частиц имеем уравнение Фоккера — Планка [c.62]

Первая часть содержи основные положения теории. Ее задача — предоставить физику и химику логически последовательное и достаточно полное изложение основ теории на понятном им языке. При этом глубокое интуитивное пони.мание материала считается более важным инструментом исследования, чем. математическая строгость и общность. Физические системы в лучшем случае лишь приближенно удовлетворяют математическим условиям, на которых основаны строгие доказательства, и физик должен постоянно сознавать приближенность своих выкладок. (К примеру, колмогоровский вывод уравнения Фоккера — Планка ничего не говорит о том, к каким реальным системам приложимо это уравнение.) Физику также не нужны самые общие формулировки, но глубокое понимание частных случаев позволит ему, когда в этом возникнет необходимость, распространить теорию на новые примеры. В соответствии с таким мнением теория в этой книге развивается в тесной связи с многочисленными приложениями и примерами. [c.8]

Диффузионная модель связана -с предположением о пренебрежимо малой вероятности передачи порций знергии порядка кГ и более. В этом случае интегродифференциальное уравнение сводится к дифференциальному уравнению 2-го порядка в частных производных — уравнению Фоккера-Планка. Подробный вывод диффузионного уравнения можно найти в работах [100, 116]. [c.195]

Составные марковские процессы 190 Глава 8. Уравнения Фоккера — Планка и Ланжевена 195 [c.3]

Линейное уравнение Фоккера— Планка в случае многих 212 переменных [c.3]

По определению, уравнение Фоккера — Планка всегда линейно по Я. Поэтому прилагательное линейное можно использовать в разных смыслах. Мы будем называть уравнение Фоккера — Планке [c.196]

УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА —ПЛАНКА И ЛАНЖЕВЕНА [c.195]

Если Al <0, то стационарное решение (8.1.4) гауссово. Действительно, в этом случае с помощью сдвига и изменения масштаба переменной у уравнение (8.1.5) можно свести к (4.3.20) и таким образом прийти к выводу, что стационарный марковский процесс, определяемый линейным уравнением Фоккера — Планка, является процессом Орнштейна — Уленбека. При Лх О стационарного распределения вероятности не существует. [c.196]

Уравнение Фоккера — Планка является частным случаем основного кинетического уравнения и часто используется как его приближенная форма. Уравнение Ланжевена отличается от уравнения Фоккера— Планка, но математически эквивалентно ему. Оба уравнения оказываются полезными в линейных задачах, хотя для нелинейных систем их использование наталкивается на некоторые трудности. [c.195]

Уравнение Фоккера—Планка является частным случаем основного кинетического уравнения, в котором W представляет собой оператор второго порядка, а именно [c.195]

Уравнение Фоккера — Планка (7.1.1) называют также уравнением Смолуховского, вторым уравнением Колмогорова или обобщенным уравнением диффузии. Первый член в правой части уравнения (8.1.1) называется переносным, конвективным или дрейфовым, а второй — [c.195]

Затем Планк из произвольного основного кинетического уравнения вывел общее нелинейное уравнение Фоккера — Планка, предположив только, что скачки малы. И наконец, Колмогоров дал математически строгий вывод этого уравнения,, перейдя к пределу бесконечно малых скачков. [c.197]

Мы ввели уравнение Фоккера — Планка как частный вид основного кинетического уравнения. Однако в основном его используют для приближенного описания произвольного марковского процесса [c.197]

Y t), у которого отдельные переходы (скачки) невелики. В этом смысле линейное уравнение Фоккера — Планка использовалось в частных случаях Рэлеем , Эйнштейном , Смолуховским и Фоккером . [c.197]

В качестве приближенной замены основного кинетического уравнения общего вида (5.1.5) уравнение Фоккера — Планка обладает двумя привлекательными чертами. Во-первых, оно является ди рфе-ренциальным, а не дифференциально-интегральным уравнением. [c.197]

Это уравнение отождествляется с макроскопическим уравнением движения системы, которое предполагается известным. Таким образом, функция А (у) определяется из наших сведений о макроскопическом поведении. Затем получаем В (у), отождествляя (8.1.4) с равновесным распределением, которое, по крайней мере для замкнутой физической системы, известно из обычной статистической механики. Таким образом, для вывода уравнения Фоккера — Планка и, следовательно, для вычисления флуктуаций достаточно знать макроскопический закон и равновесную статистическую механику. [c.198]

Планк вывел уравнение Фоккера — Планка как аппроксимацию основного кинетического уравнения (5.1.5) следующим образом. Сначала выразим вероятность перехода W как функцию скачка г и [c.199]

Эйнштейн и другие с большим успехом использовали это феноменологическое определение функций А н В (см. 8.3), но только для линейных уравнений Фоккера — Планка. Если макроскопический закон нелинеен, то, как впервые отметил Макдональд, возникают трудности. [c.198]

Таким образом, мы вывели уравнение Фоккера — Планка (8.1.1) из основного кинетического уравнения и одновременно выразили коэффициенты через вероятности перехода W. Эти выражения с точностью до обозначений совпали с (8.1.6). [c.200]

Упражнение. Вычислите величины (8.1.6) для случайного блуждания (6.2.1) и постройте уравнение Фоккера — Планка. Покажите, что асимптотическое распределение (6.2.12) удовлетворяет этому уравнению. [c.199]

Упражнение. В / С-цепи с неомическим сопротивлением уравнение Фоккера — Планка для напряжения и в соответствии с изложенными выше феноменологическими аргументами имеет вид [c.199]

Упражнение. Найдите высшие uv для случайного блуждания и заметьте, что они не малы. Почему, несмотря на это, уравнение Фоккера — Планка дает правильный результат (6.2.12) [c.201]

Упражнение. Постройте уравнение Фоккера—Планка для симметричного случайного блуждания и выведите из него (6.2.12). [c.201]

Покажите также, что они являются точными следствиями основного кинетического уравнения. Отметим, что аналогичные соотношения для высших моментов уже не удается правильно воспроизвести с помощью уравнения Фоккера—Планка (ср. с 5.8). [c.201]

Уравнение Фоккера — Планка станет не приближенным, а точным, если коэффициенты в W будут зависеть от параметра е таким образом, чтобы сделанные предположения были точными в пределе е О [1, р. 333]. Мы продемонстрируем этот подход на асимметричном случайном блуждании, которое описывается основным кинетическим уравнением (6.2.13) в виде [c.201]

Это линейное уравнение Фоккера — Планка. С точностью до константы, которую можно устранить масштабным преобразованием, оно совпадает с уравнением (4.3.20), описывающим вероятность перехода для процесса Орнштейна — Уленбека. Стационарное решение уравнения (8.4.6) совпадает с Р, заданным (4.3.10). Тогда в состоянии равновесия У(/) —процесс Орнштейна — Уленбека. [c.206]

Таким образом, мы получили уравнение Фоккера — Планка как точный результат в пределе е- 0. Однако этот вывод неудовлетворителен, потому что на практике параметр е не стремится к нулю. Возникает вопрос насколько хорошим приближением является приближение Фоккера —Планка для заданных а, р (или в более общем случае для заданной W) На этот вопрос дает ответ вывод уравнения, принадлежащий Планку, или более систематический вывод, приведенный в следующей главе. [c.202]

Уравнение Фоккера — Планка для перехода имеет вид [c.203]

Получающееся уравнение Фоккера — Планка имеет вид [c.203]

Тогда уравнение Фоккера — Планка имеет вид дР(У, I). . д, 2,0 д р [c.206]

Таким образом, наше дополнительное приближение для окрестности п приводит к линейному уравнению Фоккера — Планка, имеющему такой же вид, как и (4.3.20) и (8.4.6). Следовательно, флуктуации в стацио арном состоянии опять оказываются процессом Орнштейна — Уленбека. В 10.4 будет показано, что приближение (8.5.6) является непротиворечивым. [c.210]

Упражнение. Получите уравнение Фоккера—Планка для задачи о популяции (6.10.7) и используйте его для нахождения <п> и Упражнение. Сделайте то же для (6.9.12). [c.210]

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА - ПЛАНКА В СЛУЧАЕ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [c.212]

Обобщение линейного уравнения Фоккера —Планка на случай, когда существует г переменных у,-, имеет вид [c.212]

Уравнение (2.25) однозначно определяет стохастический процессх(г), f> 0. Это марковский процесс, и вероятность перехода P(x,t xQ, to) (из значения хд при fo в интервал х,х+с/хпри t) подчиняется уравнению Фоккера-Планка [c.45]

Упpaжlteниe. Примените к уравнению (8.1.1) нелинейное преобразование у = ф(1 ) и покажите, что преобразованная плотность Р (у, 1) подчиняется уравнению Фоккера — Планка с коэффициентами [c.199]

Упражненне. Для процесса распада, рассмотренного в 4.6, постройте уравнение Фоккера—Планка, используя (8.1.6). Покажите, что оно правильно дает первый и второй моменты, но не для Р . [c.201]

Упражнение. Частица на большой скорости пересекает среду, в которой сталкивается со случайно расположенными рассеивателями, которые ее слегка отклоняют с дифференциальным сбченнем а(0). Найдите уравнение Фоккера— Планка для полного отклонения, предполагая его малым. Упражнение. Выведите из (8.2.5) соотношения [c.201]

Упражнение. Сформулируйте задачу первого прохождения для процесса, описывающегося уравнением Фоккера — Планка, и найдите выражение для распределения вероятности времени первого прохождения, аналогичное (6.10.1). Упражненне. Сформулируйте непрерывный предел (6.10.11). [c.211]

Введение в теорию кинетических уравнений (1974) -- [ c.239 , c.242 , c.244 , c.248 , c.251 , c.259 ]

Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах (1983) -- [ c.33 , c.34 , c.85 , c.86 , c.124 , c.126 , c.206 , c.207 ]

Образование структур при необратимых процессах Введение в теорию диссипативных структур (1979) -- [ c.241 , c.248 ]

Принципы когерентной связи (1966) -- [ c.114 , c.136 , c.147 ]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология