Уравнение Больцмана второе

Это — искомое кинетическое уравнение Больцмана. Таким образом, на основании общего уравнения для марковских процессов можно получить частный вид кинетического уравнения. Ранее на основании уравнения Смолуховского было выведено уравнение Фоккера — Планка. Последнее может быть получено и из кинетического уравнения Больцмана путем разложения интегрального оператора уравнения (1.89) по дифференциальным операторам и ограничения лишь дифференциальными операторами до второго порядка. При этом мы получаем явный вид для коэффициентов А и В уравнения Фоккера — [c.25]

Это означает, что скорости прямой и обратной реакций на первой стадии велики, а общая скорость процесса определяется скоростью реакции на второй стадии. При этом можно считать, что в системе не нарушается распределение молекул по энергиям (по Максвеллу-Больцману) и можно пользоваться уравнением Больцмана (см. 96), а соотношение концентраций А, В и (А—В) определяется условиями равновесия на первой стадии. [c.572]

Согласно второму допущению распределение ионов подчиняется уравнению Больцмана [c.105]

Вторым уравнением является уравнение Больцмана (XI.8), описывающее распределение частиц в рассматриваемом потенциальном поле. Согласно этому уравнению, для случая бинарного электролита, состоящего из одновалентных ионов [c.250]

Вторым уравнением является уравнение Больцмана (XI.8), описывающее распределение частиц в рассматриваемом потенциальном поле. Согласно этому уравнению, для случая бинарного электролита, состоящего из одновалентных ионов и , где с+ и с —концентрации положительных и отрицательных ионов в данной точке е —заряд электрона. [c.331]

А / < > удовлетворяет нелинейному уравнению Больцмана не только в приближении, соответствующем параметру А, но и А1/2. Для вторых моментов из (12.5.4) получаем [c.327]

Как и в случае частиц без внутренней структуры, интегралы столкновений записаны при двух следующих основных допущениях. Первое из них является общим почти для всех вариантов использования уравнений Больцмана и заключается в достаточной степени разреженности всей смеси, чтобы можно было учитывать только интегралы бинарных столкновений. Второе допущение состоит в предположении обратимости всех процессов, что и позволяет объединить интегралы прямых и обратных столкновений. Этот вопрос имеет принципиальное значение, так как выше было показано, что принцип микроскопической обратимости является необходимым и достаточным условием выполнения закона действующих масс в системе с одной химической реакцией. Кроме того, в работе Черчиньяни [193] в общем случае (без выписывания //-функции и определения условий равновесия) было показано, что //-теорема остается справедливой для классического газа многоатомных молекул, если уравнения движения обратимы во времени. [c.32]

Точное описание явлений в плазме требует полного исследования столкновений. Отличие кинетической теории плазмы от кинетической теории газов заключается в том, что в первой нельзя пренебречь межчастичным взаимодействием, в то время как во второй предполагается, что частицы движутся свободно, взаимодействуя только во время столкновений (из которых рассматриваются только двойные). При описании явлений в низкотемпературной плазме во многих случаях используют одночастичные функции распределения и к членам уравнения Больцмана, описывающим двойные столкновения, добавляют еще некоторые члены. В результате получается обобщение интегродифференциального уравнения Больцмана. Нелинейное уравнение Больцмана с членом, описывающим двойные столкновения, или со статистически определяемыми добавочными членами, описывающими рассеяние на малые углы, практически не решается. Однако оно дает полезную информацию о коэффициентах переноса, в чем и состоит в настоящее время его главное практическое значение [c.8]

До последнего времени считалось, что для изучения процессов переноса в разреженных газах наиболее точными являются решения уравнения Больцмана во втором и третьем приближении. Однако экспериментальная проверка этих уравнений методом распределения акустических волн в разреженных газах [87] показала, что уравнения Навье-Стокса приводят к правильным результатам в более широкой области,, чем второе и третье приближение, причем наихудшие результаты давало третье приближение. [c.30]

Если обратиться к рис. 1.1, то в настоящий момент мы находимся в области, схематически обозначенной вторым усилителем. Он ведет от БИ к теории кинетических уравнений. Само уравнение БИ1 важно для нас тем, что оно является предшественником всех кинетических уравнений — уравнений для одной неизвестной функции Fi (более полное определение будет дано ниже). Исключительное значение функции Fi заключается в том, что из нее следует большая часть гидродинамики. Связь с гидродинамикой мы подробно обсудим в начале гл. III, а в конце ее выясним, какое значение для гидродинамики имеет функция 2- Вопрос о соотношении между гидродинамикой и кинетической теорией снова встретится в гл. IV в связи с интегралом столкновений в уравнении Больцмана и, наконец, в гл. V при рассмотрении анализа Чепмена — Энскога уравнения Больцмана. [c.113]

С помощью первого метода описываются процессы механической релаксации при статических режимах (крип, ре.таксация напряжения). Основным уравнением является уравнение последействия Больцмана. Второй метод в настоящее время более распространен. Он часто используется для описания релаксационных [c.85]

Помимо разработки методов решения кинетического уравнения Больцмана и приложения теории, базирующейся на таком уравнении (а для плазмы и на максвелловских уравнениях электромагнитного ноля), к широкому кругу весьма различных задач поведения неравновесных газов, перед кинетической теорией стояла другая общая проблема, которая может быть названа проблемой обоснования кинетической теории. Эта проблема фагстически возникла сразу же после того, как Больцман предложил свое кинетическое уравнение. Дело в том, что хотя с помощью кинетического уравнения Больцмана оказывалось возмолсным дать определенное истолкование второго начала термодинамики и перепости вопрос о причине необратимости неравновесных явлений теплоты на атомно-мЬлекулярный уровень, вслед за этил сразу встал вопрос о том, почему динамические (механические) вполне [c.17]

Коэффициенты переноса в реагирующих средах могут быть получены по обычным формулам строгой кинетической теории газов в случае, когда Е 1. Однако при высоких температурах или в случае достаточно низких энергий активации число соударений молекул, приводящих к химическим реакциям, может стать сравнимым по порядку величины с числом упругих соударений. В этом случае формулы для расчета коэффициентов переноса в нереагирующей смеси газов становятся неприменимыми. Проблема исследования процессов переноса в кинетической теории реагирующих газов имеет два аспекта во-первых, построение феноменологической теории явлений переноса в реагирующих смесях газов на основе обобщенного уравнения Больцмана и, во-вторых, расчет сечений столкновений молекул в химических реакциях. 1 торая задача является предметом исследования в теории атомных и мо.лекулярных столкновений и, вообще говоря, может быть решена методами квантовой механики. В настоящей работе проводится рассмотрение первой из упомянутых задач. Для определения сечения столкновений молекул используются обычные в химической кинетике модели столкновений молеку.л. Система используемых обозначений максимально приближена к соответствующей системе обозначений книги [101. Все новые обозначения или обозначения, отличающиеся от системы обозначений книги [10], будут приведены в тексте. [c.89]

В силу малости второго члена в (6.58) уравнение Больцмана при условии [c.255]

В 1910 г. знаменитый математик Гильберт опубликовал исследование математической структуры уравнения Больцмана. Ограничившись случаем твердых сферических молекул, Гильберт показал, что уравнение Больцмана эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для которого оказалось возможным построить строгую математическую теорию. Таким образом, Гильберт смог доказать существование и единственность решения и установить некоторые из его свойств. Результаты Гильберта можно найти в его исследовании по теории интегральных уравнений [100]. Этот чисто математический [c.18]

Другой фактор, который снижает ценность уравнения Больцмана и сильно ограничивает область применимости получаемых с его помощью результатов, связан с тем, что это уравнение справедливо лишь для газов одноатомных молекул, тогда как почти все газы, и особенно те из них, которые представляют физический интерес, состоят из многоатомных молекул. Дополнительные сложности возникают в силу двух причин во-первых, многоатомные молекулы могут изменять свою форму, вследствие чего межмолекулярный потенциал уже не обладает сферической симметрией во-вторых, у многоатомных моле- [c.20]

В ЭТОЙ главе мы дадим вывод уравнения, лежащего в основе кинети-1>еской теории, — уравнения Больцмана. Как уже упоминалось в историческом обзоре (см. 1.2), это уравнение было впервые выведено Больцманом [7] в 1872 г. для описания процесса приближения разреженного газа к равновесному состоянию. Основные предположения больцмановского вывода таковы 1. одновременно могут взаимодействовать только пары частиц (т. е. столкновения являются событиями малой длительности, и в них участвует лишь по две частицы) 2. справедлива так называемая гипотеза о молекулярном хаосе (или 81о88-2аЫап а1г, в дословном переводе с немецкого — гипотеза о числе столкновений), т. е. предположение о том, что частицы распределены независимо. Первое предположение ограничивает область применимости теории газами относительно малых плотностей при высоких плотностях становятся существенными столкновения трех и более частиц, поэтому следует ожидать отклонений от результатов, получаемых с помощью уравнения Больцмана. Второе предположение имеет статистическую природу оно используется при вычислении среднего числа пар молекул, которые сталкиваются в течение данного (короткого) промежутка времени. Его справедливость выяснить гораздо сложнее. Как известно, именно второе предположение обусловливает необратимость во времени уравнения Больцмана. [c.35]

Определим теперь составляющую теплопроводности благодаря терм о диффузии и диффузионному термоэффекту. Вклад этой третьей составляющей тяжелых частиц (к которым можно отнести молекулы, атомы и ионы) по сравнению со значениями первой и второй составляющих настолько мал, что этой составляющей можно пренебречь. Это можно показать расчетом. Наибольший вклад от термодиффузии, который можно принять во внимание,— это приведенный выше вклад от термодиффузии электронов. Для газа Лоренца Валдман [Л. 6-11], пользуясь уравнением Больцмана для удара, вычислил термодиффузионный фактор а и кон- [c.269]

Уже само название раздела должно вызвать удивление читателя. Ведь выше мы рассматривали стеклование как релаксационный переход, и поэтому теория этого перехода, казалось бы, должна быть релаксационной, а никак не термодинамической и основываться на уравнении Больцмана — Аррениуса, разумеется, с учетом кооперативности переходов отдельных релаксаторов, нелинейной зависимости энергии активации от температуры и т. д. Теории именно такого типа мы рассмотрим в разделе VIII. 4. Однако экспериментальное исследование зависимости времен релаксации от температуры показало столь резкую зависимость эффективной энергии активации а-перехо-да от температуры (рис. VIII. 7), что потребовалось предположение при приближении к некоторой температуре То она неограниченно возрастает, а это типично никак не для релаксационного, а для настояш,его фазового перехода второго рода. [c.185]

Проницаемость фильтров типа спрессованных порошков оказывается меньше, чем проницаемость пучка длинных капилляров круглого сечения, при одинаковых значениях пористости и гидравлического радиуса. В первом случае траектории молекул в среднем будут длиннее, чем во втором, в полтора или два раза в зависимости от коэффициента извилистости [3.29, 3.30, 3.70] кроме того, частота столкновений молекул со стенками в первом случае будет значительно выше, и, как было отмечено раньше для капилляров, это также приводит к уменьшению вероятности проникновения молекул [3.66]. Из экспериментальных данных для фильтров в виде слоя шариков [3.30] получены значения 3к = 0,35 0,50. Модель извилистых капилляров, предложенная Хиби и Па-лем [3.32], также дает Рк==0,35. Теоретическая модель в виде слоя шариков приводит большей частью к более высоким значениям 3к модель броуновского движения Дерягина [3.34], решения уравнения Больцмана [3.39, 3.71—3.73] дают (3к=9/13, а решения уравнения Клаузинга (3.32)—еще большие значения [3.62, 3.74]. Бретон, решив обобщенное уравнение Клаузинга для v(x, 0), где 6 — угол между нормалью к поверхности шара и направлением потока газа, показал, что эти высокие значения для [c.64]

Записанные соотношения представляют собой математическую формулировку принципа Больцмана и называются интегральными уравнениями Больцмана — Вольтерры, поскольку теорию таких уравнений разрабатывал В. Вольтерра. Первое из них определяет напряжения в момент времени I как функцию всех предшествующих изменений деформации, второе — деформацию в зависимости от предыстории изменений напряжения. Можно, конечно, рассматривать их и наоборот, полагая, что при заданной функции а () первое свотношение представляет собой уравнение для определения неизвестной функции V ( )> а второе — уравнение для определения ст () при известной функции у 1). Такое рассмотрение позволяет связать между собой функции ф (() и ор (<), как это будет показано несколько ниже. [c.80]

На втором шаге полученное таким образом решение для Р подставляется в уравнение (3.25 ) и выводится соответствуюш,е выражение для 12 2 что приводит к характерной форме боголюбовского обобш ения уравнения Больцмана, [c.130]

Второе уравнение Грэда (4.92) дает точное описание газа из твердых сфер, для которого единственным имеюш им смысл распределением является / ,. В следующих разделах мы покажем, что это уравнение, кроме того, является естественным предшественником уравнения Больцмана. [c.210]

Для того чтобы представить второе уравнение Грэда (4.92) в форме уравнения Больцмана, рассмотрим сначала сферу которая изображена на рис. 4.25. [c.211]

Итак, мы ознакомились со свойствами наиболее широко применяемых кинетических уравнений. В главе V дано решение уравнения Больцмана методом Чепмена — Энскога и методом Грэда. В заключение вновь исследуется проблема релаксации к равновесию макроскопических систем как в духе классической статистической механики, где мы опять сталкиваемся с ансамблями в Г-пространстве, так и методом эргодической гипотезы. Первый, априорный подход, опирается на постулат равных априорных вероятностей, тогда как при втором (апостериорном) подходе делаются попытки доказать эргодическую гипотезу. Оба метода исследуют необратимое приближение к равновесию макроскопических систем. Они представляют собой статистическо-механиче-ский эквивалент метода теории кинетических уравнений, в котором с помощью ( -теоремы изучается та же самая проблема. [c.257]

Прежде всего нужно рассмотреть распределение молекул между вращательными, колебательными и электронными состояниями, которые образуют последовательность термов. Это распределение зависит только от температуры и может быть найдено из основного уравнения Больцмана. Уравнение, вывод которого можно найти в многочисленных книгах по статистической механике, может быть написано в следующем виде. Пусть N обозначает полное число молекул в одном моле газа и Л — число молекул в самом нижнем энергетическом или нулевом (основном) состоянии (без учета поступательной энергии). Высшие квантовые состояния располагаются над основным состоянием в соответствии с количеством энергии, которое требуется, чтобы перевести молекулу из основного состояния в данное. Это количество энергии будет наименьшим для первого состояния, для которого мы обозначим его через для второго состояния S., и т. д. Далее, пусть р, р , р..,. . . обозначают статистический вес (априорную вероятность) каждого состояния, характеризуемого индексом О, 1, 2. . . Пусть Г обозначает абсолютную температуру и —постоянную, известную под названием постоянной Больцмана. Тогда число молекул [c.303]

Планк (1912) высказал не связанное с первым и вторым законами термодинамики и экспериментально недоказуемое утверждение (постулат), согласно которому при абсолютном нуле энтропия чистого кристаллического вещества равна нулю. Постулат Планка оправдан теоретическими соображениями. Согласно уравнению Больцмана (70) энтропия тела равна нулю, если термодинамическая вероятность состояния тела равна единице. Значению 1 =1 отвечает единст- [c.133]

Статистический расчет энтропии смешения молекул первого типа и щ молекул второго типа может быть произведен следуюш,им приближенным способом. Рассмотрим решетку, состоящую из i + 2 ячеек, в каждой из которых может поместиться одна молекула любого типа. Число способов размещения п п молекул в решетке, очевидно, равно + Согласно уравнению Больцмана (11а) энтропия S такой системы равна k In ( i-i- ,) Это уравнение дает энтропию произвольного смешения молекул первого типа с п молекулзлми второго типа. Если теперь разделить эти молекулы так, чтобы молекулы первого типа могли занять только Пу ячеек решетки, то число способов размещения всех молекул будет nj пЛ-, по уравнению Больцмана получим энтропию системы с разделенными молекулами, равную k In пу пл). Отсюда рост энтропии при Смешении можно выразить следующим уравле- [c.151]

Все коэффициенты переноса в строгой теории Чепмена—Энскога выражаются через систему интегралов Допущения, принятые при их нахождении, накладывают определенные ограничения на теорию Чепмена— Энскога, которые в основном касаются свойств газов с высокой плотностью и весьма низкими температурами. Метод решения Чепмена—Энскога дает приближение в виде ряда. В условиях, когда градиенты скоростей и температур по средней длине свободного пробега молекул очень малы, справедливо первое приближение. В этом приближении потоки пропорциональны первой производной от плотности, скорости и температуры. Уравнения переноса, которые описывают изменение плотности, скорости и температуры по времени, называются уравнениями Навье—Стокса. Уравнения переноса, соответствующие второму приближению, это уравнения Барнетта. Уравнения Барнетта вводят в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и температур на средней длине свободного пробега молекул. Решение уравнения Больцмана в третьем приближении обычно называется супербарнеттовским решением и вносит дополнительные поправки к уравнениям движения и потока тепла. [c.26]

Некоторые формы энергии в определенных условиях не могут быть использованы для работы. Согласно второму закону термодинамики, который, развивая учение гениального Сади Карно, сформулировали Уильям Томсон и Клаузиус, а позднее лорд Кельвин, невозможно такое устройство, которое в одном цикле своей работы только потребляло бы теплоту и выполняло эквивалентное количество работы. Другая хорошо известная формулировка второго закона термодинамики гласит, что в изолированной системе энтропия не может уменьшаться. Концепцию энтропии в термодинамике установил Клаузиус. Позже Больцман определил энтропию как меру беспорядка на молекулярном уровне. Хорошо известное уравнение Больцмана, высеченное на его надгроб- [c.11]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология