Уравнения решение самое общее

Наличие трех степеней свободы приводит к тому, что в решении уравнения (1.24) появляются три величины, которые могут принимать только целочисленные значения — три квантовых числа они обозначаются буквами п, I и т . Эти величины входят в выран<е-ния как радиальной, так и угловой составляющих волновой функции. В самом общем виде результат решения уравнения Шредингера для атома водорода можно выразить записью [c.21]

В этом случае вблизи эквивалентной точки концентрация недиссоциированной, неоттитрованной кислоты невелика, так как дихлоруксусная кислота является не очень слабой кислотой. Поэтому применим при решении самое общее уравнение (18). Мы получаем [c.199]

До сих пор мы рассматривали задачу об инвариантности уравнений в самом общем виде, не ограничивая свободу подобных преобразований никакими специальными предположениями. Выяснилось, что на таком понимании задачи остановиться невозможно, так как при этом она фактически сводится к вопросу о тех ограничениях, которым надо подчинить структуру уравнений для того, чтобы они обладали инвариантностью по отношению к любым подобным преобразованиям. Эти ограничения оказываются чрезвычайно жесткими. Поэтому поставим, в известном смысле, обратную задачу. Попытаемся решить вопрос о тех ограничениях, которым надо подчинить подобные преобразования для того, чтобы уравнения были инвариантны, независимо от своей структуры. Идея решения очень проста. [c.192]

С другой стороны, несмотря на сложности аналитического-решения, уравнение (1.15) все же не является самым общим, поскольку существует широкий класс задач, в которых происходит выделение или поглощение целевого компонента в каждой точке движущегося потока. Это может происходить, например, вследствие гомогенной химической реакции с участием целевого компонента или за счет изменения фазового состояния компонента, если уравнение сохранения записывается относительно одной из фаз. Уравнение конвективно-диффузионного переноса (1.15) при наличии источника компонента дополняется слагаемым ту в правой его части. Объемная мощность источника гп г имеет положительный знак, если целевой компонент возникает в результате химической реакции или фазового перехода, и отрицательный знак в противоположном случае. Существенно, что поглощение или возникновение целевого компонента на границах потока не входит в слагаемое ту, которое учитывает только источник, распределенный по всей области, занимаемой анализируемым потоком. Влияние источника, действие которого происходит только на границе потока, должно отражаться в соответствующем граничном условии. Разумеется, что анализ уравнения (1.15), дополненного источником ту, усложняется, тем более, что мощность источника в практических задачах в большинстве случаев не может быть принята постоянной, а является функцией изменяющихся параметров анализируемого процесса. [c.21]

Наиболее общей является интегральная форма уравнений газовой динамики. Уравнения в этой форме допускают разрывные решения, представляющие течения самого общего вида. Законы сохранения массы, изменения количества движения и сохранения энергии в случае плоских и осесимметричных стационарных течений совершенного газа соответственно могут быть записаны в виде [c.48]

Задачи горения, следовательно, можно охарактеризовать как нестационарные задачи турбулентной массо- и теплопроводности при наличии динамических источников вещества и тепла. Но хотя такое представление и определяет пути анализа процессов горения, конкретное решение задач теории горения при этом затруднено. Исследование процессов горения должно развиваться по пути составления систем интегро-дифференциальных уравнений, соответствие которых истинному ходу процесса следует проверять сопоставлением результатов решений этих систем с данными эксперимента. Именно так и развивается ныне теория горения, причем наиболее подробно исследуются крайние случаи, когда в сложном комплексе вопросов можно абстрагироваться от некоторых из них. В частности, установилось деление процессов горения на области протекания. Так, при анализе явлений термического распада природных топлив для мелких частиц при низких температурах можно пренебречь временем прогрева и рассматривать процесс как чисто кинетический распад сложного вещества на более простые соединения. Наоборот, при прогреве крупных кусков топлива в среде высокой температуры основным является ход нагрева. Можно принять, что сам термический распад происходит мгновенно. Появляется деление процесса на крайние области — кинетическую и тепловую, в каждой процесс может быть описан более простыми уравнениями, чем в общем случае протекания процесса в промежуточной области. [c.5]

Рещение полного уравнения в сочетании с аналогичным уравнением для теплопередачи дает самое общее и точное математическое описание реакции в потоке. К сожалению, в общем виде эта задача не решается и приходится прибегать к различным упрощенным методам и приемам. Решение этой задачи принято называть математическим моделированием химической кинетики. Оно позволяет также решать очень важный вопрос об изменениях в кинетике при переходе от одного (например, меньшего) реактора к другому (большему), т. е. установить принципы подобия кинетики химических реакций. Это имеет первостепенное значение при переходе от лабораторных к промышленным реакторам. [c.268]

В самом общем случае в целях недопущения усложнения решения уравнения [c.131]

Итак, в самом общем случае движения газированной жидкости для определения Рзаб при известном давлении на устье Ру требуется решить совместно основные уравнения (17), (39) и (50) или (42) [1]. При этом коэффициент сопротивления X в уравнении (17) [1] должен быть определен как функция четырех критериев (9) [1] из экспериментальных исследований. Вязкость газированной смесп, как функция растворимости газа и температуры, должна быть установлена также опытным путем. Только при наличии указанных зависимостей возможно строгое решение задачи путем численного интегрирования. Приближенные решения могут быть получены при следующих упрощениях [c.139]

Без существенных усложнений метод множителей Лагранжа можно применить для оптимизации процессов со сложной топологической структурой, т. е. не только многостадийных, а также распространить на процессы, математические описания которых, наряду с конечными уравнениями, содержат и дифференциальные. Разумеется, что во всех перечисленных случаях метод множителей Лагранжа дает лишь самые общие соотношения оптимальности, и наиболее трудной частью решения задачи становится решение получаемых конечных и дифференциальных уравнений для переменных процесса и вспомогательных переменных. Однако сейчас уже разработаны в достаточной мере удобные приемы и алгоритмы решения [4], позволяющие, как правило, получать конечные результаты на вычислительных машинах для процессов высокой степени сложности. [c.201]

Для нелинейных уравнений трудно указать какие-либо эффективные методы поиска значения x(№- -At), за исключением самого общего, который заключается в решении задачи минимизации рассогласования рассчитанного и заданного значений х(№]. На конце интервала интегрирования с этой целью формируется определенный критерий рассогласования. На практике поиск значения х (№ - - t) иногда, кроме того, осложняется еще неустойчивостью решения, приводящей к значительным колебаниям рассчитанного значения х(№] при относительно малых изменениях величины х(№ + Д/). [c.232]

Вопросы коррозии блуждающими токами в справочнике излагаются по материалам самых ранних публикаций с использованием крайне упрощенных моделей. В СССР уже в 1960-е гг. распределение токов и потенциалов в системе реле — земля — подземные сооружения было рассмотрено в самой общей постановке вопроса определялось распределение потенциалов в проводящем полупространстве, в котором расположены хорошо проводящие тела. В математическом отношении задача при этом сводится к нахождению решения уравнения Лапласа, которое должно удовлетворять на поверхности проводящих тел граничным условиям, связывающим значения тангенциальной производной потенциала с током утечки данного проводника. Такая задача легко сводится к системе двухмерных интегрально-дифференциальных уравнений. Для одиночных круговых цилиндров бесконечной протяженности решения получены в аналитическом виде, для более сложных случаев решения найдены в численном виде с применением ЭВМ. [c.14]

Условие перехода от стационарного к нестационарному режиму протекания реакции заключается в том, что система уравнений (I, 8) перестает иметь конечные вещественные положительные решения. Это и будет в самом общем виде условие цепного воспламенения. [c.13]

Сложность большинства задач гидродинамики и массообмена в стекающих пленках не позволяет надеяться на получение аналитических решений. К числу возникающих трудностей можно отнести, например, нелинейность уравнений Навье — Стокса, общие граничные условия на межфазной поверхности для двухфазных потоков, априорную идентификацию формы межфазной поверхности и т. п. Метод возмущений [5, 85] широко используется в данной области исследований, и в частности в настоящей книге. Согласно этому методу, решение дифференциальных уравнений ищут в виде разложений по степеням малых параметров, которые могут быть непосредственно получены из тех же самых уравнений, представленных в без- [c.45]

Дифференциальное уравнение — это математическая модель явления, взятого в самом общем виде. Оно имеет множество различных решений, отвечающих различным краевым задачам. Если различным явлениям отвечает одно дифференциальное уравнение и однотипные краевые условия, то решение краевой задачи с одинаковой полнотой описывает все эти явления. Благодаря этому такие явления можно принять как бы за одно явление, но заданное в различных масштабах, определяемых различными значениями параметров и физических переменных, описывающих эти явления. Если теперь перейти от исходных (размерных) параметров к безразмерным, то получим решение краевой задачи в виде единственного уравнения, связывающего безразмерные параметры. [c.62]

Более совершенен матричный метод, который можно применить для точного разложения весьма сложных спектров. В самом общем виде задача сводится к решению интегрального уравнения вида р [c.245]

Пути исследования процессов химической технологии. Сущность теории подобия и моделирования процессов. Изучение процессов с целью получения уравнений, необходимых для их анализа и расчета, можно проводить чисто теоретически. Этот наиболее желательный путь исследования сводится к составлению (на основе самых общих законов физики и химии) и решению математических зависимостей, чаще всего дифференциальных уравнений, полностью описывающих процесс. [c.64]

Некоторые темы, развитые в этой главе, найдут применение в последующих главах. Переменные действие — угол будут использованы в анализе Пригожина уравнения Лиувилля, представленном в гл. II. Концепция констант движения применяется при нахождении самого общего решения уравнения Лиувилля и в заключительной дискуссии этой книги, касающейся эргодической теории. К динамической обратимости орбит мы будем часто возвращаться в связи с парадоксом видимой необратимости [c.43]

Самым общим называется такое решение уравнения, которое включает в себя все решения как частные случаи. Какая-либо определенная функция всех констант движения не будет являться самым общим решением уравнения Лиувилля. Например, решение В = / 1 2. .. / 2IV не включает решения В = -1-/ 4. Следовательно, самое общее решение может быть только вида В = = В (/ 1, 112, Чтобы построить это решение, надо запи- [c.61]

Из предшествуюш,их рассуждений следует, что, зная самое общее решение уравнения Лиувилля, мы тем самым знаем движение всех частиц, составляющих систему. Такова вторая интерпретация функции В, В первой интерпретации В определялась как плотность ансамбля точек системы в фазовом пространстве. Разумеется, эти две интерпретации взаимно согласуются. Так как самое общее решение уравнения Лиувилля является произвольной функцией всех констант движения, то оно само будет константой движения." Как мы знаем, константа движения — это динамическая функция, которая остается неизменной при эволюции системы во времени. Она постоянна вдоль динамической траектории точки системы в Г-пространстве. Примечательно, что плотность точек ансамбля около любой точки, изображающей систему, остается постоянной. Плотность изображающих точек в бесконечно малой окрестности произвольной точки системы остается связанной с этой точкой, когда последняя движется по своей динамической траектории. Плотность точек системы [c.62]

Получение самого общего решения уравнения Лиувилля хотя й поучительно, связь его с классом решений, относящихся к проблеме ансамбля , является не больше чем академической. Более целесообразно рассматривать задачу с начальными данными. Пусть задана функция = В р, д, 0). Каково будет значение В через бесконечно малое время Л Разложение В в ряд Тейлора около = О имеет вид [c.63]

Так как уравнение Власова описывает движение частицы под влиянием силы, осредненной по всем оставшимся частицам, то можно предполагать, что траектория частицы будет гладкой. Это можно показать, найдя решение уравнения (3.110). Из предыдущих рассмотрений в гл. И нам известно, что самое общее решение этого уравнения будет являться функцией решений характеристических уравнений ) [c.150]

Уравнения диффузии в движущейся среде носят самый общий характер и аналитическое решение их имеется только для частного случая — ламинарного движения жидкой пленки на плоской поверхности, что явно недостаточно для решения многих практических вопросов. [c.463]

Решение уравнения Шрёдингера для атома водорода в полярных координатах (П1.23) после разделения переменных удается представить в виде произведения трех отдельных функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента. В самом общем виде это приводит к волновой функции вида [c.30]

В разделе 5 Ж мы покажем, что система уравнений (32) в самом общем виде решается лишь численно, но для отдельных случаев можно получить точные решения, которые будут рассмотрены в этом и следующем разделах. [c.166]

Началом процедуры является построение самых общих структурных схем или диаграмм процесса, аналогичных рассмотренным выше, которые затем детализируются. При этом переход от диаграмм к математическим моделям осуществляется не в лингвисти-чески-смысловой форме, как это делается, например, в [4], а автоматизированно. Программный комплекс BOND метода включает 17 основных программ на языке Фортран и позволяет воспринимать информацию в виде диаграмм процессов перерабатывать эту информацию сообщать пользователю, какой вид системы уравнений соответствует введенной диаграммной информации и, если этот вид удовлетворяет пользователю, то ЭВМ идентифицирует параметры модели находит решение уравнений математической модели и построит графики изменения требуемых переменных состояния процесса [10J. Пользователь оценивает полученную количественную информацию с физико-химической точки зрения, и если она его не удовлетворяет, то он вносит коррекцию в рисунок процесса в виде диаграммы, которая изображается на экране дисплея. Так в результате диалога пользователя с ЭВМ итеративно рождается правильный диаграммный образ физико-химического процесса и параллельно с ним в ЭВМ автоматически формируется система уравнений, представляющая адекватную математическую модель процесса в рамках представлений данного пользователя til, 12]. [c.226]

Дву группа вое приближение для реактора с замедляющим отражателем. Самой общей из рассматривавшихся до сих нор задач был расчет реактора с отражателем в многоскоростном приближении, причем предполагалось, что сечения зависят от энергии, а и отраи ателе отсутствует замедление. Сначала был рассмотрен во всех деталях общий подход к решению как этой, так и более простых задач. Затем было показано, как, взяв различные приближенные вырая ения для плотности удалений, можио получить из этих общих результатов соответствующие частные системы уравнений, позволяющие решить задачу до конца. В заключение были показаны упрощения, которые можно сделать в двугрупповом приблшкении для случая реактора без отражателя. [c.369]

Хироми с сотр. [7] предложил кинетическое решение для совместного или последовательного действия двух ферментов, эндо-и экзотипа (Е) и Ег соответственно) на линейный гомополимер со степенью полимеризации N. Под последовательным здесь понимается такое действие, когда эндофермент Е1 катализирует деградацию полимера до определенной глубины превращения, затем его действие прекращается (например, путем быстрой инактивации), и в действие вступает экзофермент Ег. Подобная последовательность действия используется в промышленном производстве глюкозы в качестве основного продукта из крахмала, когда а-амилаза в течение нескольких минут при 95—105°С разжижает крахмал (при этом быстро термоинактивируется) и затем полученная смесь мальтодекстринов обрабатывается глюкоамилазой. В самом общем виде уравнения выглядят следующим образом [c.123]

Для решения данных систем уравнений большой размерности, содержащих нелинейные зависимости самого общего и произвольного характера, практически не существует каких-либо достаточно строгих и вместе с тем эффективных вычислительных процедур, кроме общих положений об организации итерационнь(х процессов на базе линеаризации (метод Ньютона и его модификации) или градиентных методов. Речь может идти лишь о гибких методах, обязательно учитывающих физическую сущность и сетевой характер задач. [c.112]

Последние годы характеризуются интенсивным развитием напр авлений, связанных с применением современных математических методов в различных областях науки о химической технологии. Этот процесс математизации науки имеет два аспекта. Один из них заключается в том, что построение и исследование математических моделей химической технологии открывает математикам обширное поле деятельности, позволяющее им демонстрировать эффективность весьма тонких и изящных методов современного анализа. С другой стороны, стремление добиться наибольшей общности математического описания тех или иных процессов приводит к необходимости численного решения на ЭВМ систем нелинейных дифференциальных уравнений, разнородных по своей структуре, что порой затрудняет применение математических методов в иженерной практике при проектировании химических производстз. Пе является исключением в этом плане и раздел химической технологии, посвященный изучению кристаллизации в дисперсных системах. Добиться более широкого применения математических методов в инженерной практике возможно за счет разработки моделей, основанных на самых общих предпосылках, не требующих применения сложных вычислительных методов, допускающих простую физическую интерпретацию, и создания на их основе автоматизированных систем проектирования. Настоящая книга, как надеются авторы, в какой-то мере восполнит этот пробел. [c.6]

При других граничных условиях, а также в том случае, когда имеет место скольжение или чистый дрейф , уравнение (П-42) принимает более сложный вид. Для полного решения в самом общем случае необходимо вернуться к уравнениям (П-38) и (П-39) и ввести дополнительные члены, учитывающие условия передачи количества движения и кпудсеновскую диффузию. [c.96]

Задача общей количественной теории динамики сорбции и хроматографии сводится к установлению самых общих закономерностей распределения веществ в сорбционных, хроматографических колонках в процессе динамической сорбции независимо от конкретных физико-химических механизмов сорбции. С этой целью составляются в общем виде системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс ди-на 1ики сорбции, и даются общие решения этих уравнений. Анализ полученных решений позволил сформулировать ряд общих закономер-носте динамики сорбции и хроматографии, а также позволил систематизировать эти закономерности [4, 5, 7—12]. Результаты работ в области общей теории динамики сорбции и хроматографии обобщены в монографии автора [5, 13, 14]. [c.80]

Которые являются решениями динамических уравнений движения. Отсюда мы заключаем, что самое общее решение уравнения Лиу-вилля эквивалентно знанию всех N динамических орбит. Одноединственное уравнение Лиувилля описывает поведение всей системы. [c.61]

Из уравнения (7.20) с.чедует, что при фильтрации вещества по трещине образуется размывающийся во времени фронт, т. е. расстояние, на котором концентрация меняется (непрерывно) от О до увеличивается со временем. Фронт тем длиннее, чем бо.тьше При этом первое слагаемое в формуле (7.22) описывает размывание, обусловленное диффузией вещества вдоль трещины, второе и третье — внешней и внутренней диффузией соотнетственно. Формулы (7.20)—(7.22) описывают процесс в самом общем виде и включают в себя, как частные случаи, решения задачи образования геохимического ореола во внутридиффузионной области [когда второе слага-елше в формуле (7.22) мало и им можно пренебречь] и во внешнедиффузионной (когда можно пренебречь третьим слагаемым). Распределение сорбированного вещества вдоль трещины [уравнение (7.21)1 такое же, как и на рис. 27. [c.163]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология