Коэффициент диффузии в уравнении Фоккера Планка

Примечание. Модель диффузии в настоящем разделе приводит к нелинейному 1(х), но второй коэффициент 2 остается постоянным. Такие уравнения Фоккера —Планка в 8.7 мы называли квазилинейными. Причина, по которой в этом примере уравнения оказались квазилинейными, связана с нелинейностью, обусловленной наличием внешнего потенциала и (х), который изменяет вероят- [c.264]

Выражения (1.59) и (1.60) можно интерпретировать как коэффициенты ди( )фузии для диффузионного процесса , происходящего на энергетической лестнице (рис. 1.13). Коэффициенты диффузии в основном зависят от Ег. Другие способы преобразования основного уравнения (1.34) к более простым формам описываются в работе [98] для k Ej E )=F Ej)F2 Ei) и в работе [100], где это уравнение приводится к диффузионному уравнению Фоккера — Планка. [c.72]

Уравнения диффузии и Фоккера — Планка равнозначны, если рассматривается диффузия невзаимодействующих частиц, т. е. коэффициент диффузии не зависит от концентрации. В этом случае переход от вероятности и к концентрации с осуществляется умножением на полное число частиц. Следует обратить, однако, внимание на различную форму записи уравнения диффузии (1.7) и уравнения Фоккера — Планка (1.22). Уравнение Фоккера — Планка (1.22) можно переписать в виде [c.12]

Процесс диффузии, заключающийся в выравнивании концентраций частиц со временем, описывается уравнением диффузии (1.7), совпадающим по форме с уравнением Фоккера — Планка. Но в уравнение диффузии вместо плотности вероятности, которая входила в уравнение Фоккера — Планка, входит концентрация частиц. Если мы рассматриваем диффузию частиц, присутствующих в очень малом количестве в некотором веществе, или частиц, которые по своим физико-химическим свойствам практически не отличаются от частиц окружающей среды, то для описания поведения совокупности частиц можно использовать либо уравнение Фоккера — Планка, либо уравнение диффузии. Коэффициент уравнения Фоккера — Планка, характеризующий случайные смещения частиц, будет при этом совпадать с коэффициентом диффузии. [c.36]

Н. Н. Туницкий указал, что можно воспользоваться выводом Смолуховского, согласно которому соответствующ-ие коэффициенты диффузии просто складываются. Между тем доказательство Смолуховского относится к движению тяжелой частицы в среде из легких молекул. При каждом соударении тяжелая ча-стица получает небольшой импульс. Это—-условие перехода от интегрального уравнения теории случайных блужданий к дифференциальному уравнению Фоккера — Планка. Оно не выполняется, когда масса частицы близка к массе молекул. Аналогичным образом в теории замедления нейтронов нельзя переходить от кинетического уравнения к уравнению возраста в водород-содержащих средах. Поэтому учитывать движение молекул ингибитора, суммируя коэффициенты диффузии, нельзя. [c.145]

В пределе бесконечно частых и бесконечно малых скачков (А.—>0) уравнения (6.120) переходят в уравнения второго порядка — уравнение диффузии и уравнение Шредингера для свободной частицы. Не останавливаясь на деталях анализа /96 - 98/, отметим, что через коэффициенты уравнения, получаемого в диффузионном пределе (А.->0), можно определить лишь произведение Кс (пропорциональное коэффициенту диффузии или обратно пропорциональное массе частицы), но не А. и с по отдельности. В предельном случае А.—>оо решение псевдодифферен-циального уравнения Фоккера-Планка является распределением Коши. Так же, как и в случае нормального распределения, возникающего в пределе A.—>0, оно является устойчивым и существуют предельные теоремы сходимости к этому распределению. Соответствующая ему кривая (лоренциан) появляется во многих физических задачах, связанных с рассеянием, распадом и другими скачкообразными процессами. [c.281]

Задача теоретического анализа диффузионного переноса вещества, изложенная в разделе 6.2, является примером, иллюстрирующим те большие возможности, которые дает исследователю применение уравнения Фоккера — Планка при изучении гидродинамической стадии эволюции неравновесных макросистем, т. е. в этом разделе будет не только выведено классическое уравнение диффузии, но и получено явное выражение для коэффициента диффузии, а также предложен метод построения уравнений, более точно описывающих процесс диффузии. [c.260]

Все граничные члены обращаются в нуль, так как функция ь у) тождественно равна нулю вне некоторого ограниченного интервала. Прямое уравнение (4.45) следует из выведенного нами соотношения, если учесть, что v y)—произвольная функция. Этб эволюционное уравнение для р у,1 х,8), как и обратное уравнение Колмогорова, линейно по плотности вероятности перехода в отличие от уравнения Колмогорова — Чепмена, из которого выводятся оба этих уравнения. В математической литературе оно получило название прямого уравнения Колмогорова, так как вариация в нем берется относительно будущего состояния у и временного аргумента 1. В физической литературе за ним закрепилось название уравнение Фоккера—Планка (УФП). ОУК и УФП показывают, что марковский диффузионный процесс действительно полностью определяется двумя первыми дифференциальными моментами ОУК и УФП являются дифференциальными уравнениями в частных производных для плотностей вероятностей перехода с коэффициентами, зависящими от дрейфа и диффузии Следовательно, плотность вероятности перехода как решение ОУК или УФП полностью и однозначно определяется двумя первыми дифференциальными моментами при определенных условиях регулярности на / и Именно это удивительное свойство делает понятие диффузионного процесса столь мощным. [c.109]

Когда концентрации различных веществ, скажем А и В, в системе соизмеримы, поведение всякой из частиц может зависеть от того, в какой пропорции окружена она частицами двух типов. В этом случае предпосылки, которые делались при выводе уравнения Планка — Фоккера, уже не справедливы. Однако уравнение- диффузии обобщается и на этот случай принимается, что коэффициент диффузии О зависит от концентрации частиц. Поток диффузии определяется тогда соотношением [c.36]

Попытаемся теперь рассмотреть стационарный диффузионный процесс, когда скорость потока v есть функция радиуса г, используя по аналогии с (14.21) вместо молекулярного коэффициента диффузии сумму эффективного коэффициента диффузии Одф (14.1) И коэффициента молекулярной диффузии D. Воспользуемся для плотности вероятности w уравнением Планка—Фоккера применительно к стационарному распределению [c.72]

Итак, процесс окисления Сн является конформационно контролируемым. Это значит, что он может происходить, например, за счет образования л-мостика при движении одного из ароматических аминокислотных остатков (тирозина). Если положение этого мостика зависит от значения обобщенной конформационной координаты, то существует наиболее благоприятная ситуация для его порогового образования и, следовательно, для переноса электрона на Р+. Анализ уравнений типа Фоккера—Планка (ХП1, 11) показал, что это происходит при нерегулярном, случайном характере зависимостей коэффициентов диффузии от конформации системы или при достаточно широком распределении высот потенциальных барьеров, преодолеваемых конкретной белковой группой при конформационной релаксации. Причина этой нерегулярности в конечном счете заключается в очень сложном характере гиперповерхности конформационной энергии биополимеров. [c.373]

Таким образом, в рассматриваемом приближении газокинетическое уравнение Больцмана (У.142) переходит в уравнение Фоккера — Планка ( .149)—( .151), описывающее диффузию ротаторов в пространстве Е, е). Для определения коэффициентов в уравнении ( .149)—( .151) необходимо рассмотреть динамику столкновения ротатора с атомом массы т. Согласно исходным предположениям считаем, что при столкновении налетающий атом взаимодействует лишь с одним из атомов молекулы. Это справедливо, если межъядер-ное расстояние с в молекуле достаточно велико по сравнению с эффективным радиусом I сил взаимодействия молекулы и атома. Это условие соблюдается, например, при столкновении молекул 1а, Вгз, С1з с атомами Не, поскольку й для этих молекул оказывается равным 2,0 —2,6 А, я I =0,2 —0,5 А. При вычислении передаваемого импульса можно считать молекулу неподвижной вследствие большого различия в массах сталкивающихся частиц и сильной неадиабатичности столкновений. [c.149]

Из кинетического уравнения Фоккера — Планка следует, что монотонно убываюш ая функция. Она перестает уменьшаться, когда становится распределением Максвелла. Все это верно Ри условии, что коэффициент диффузии имеет вид (4.271). [c.253]

При фазовом разделении по нуклеационному механизму, т.е. в области фазовой диаграммы вблизи бинодали (для полимер-полимерных композитов - обычно при малом содержании одного из компонентов), зародыши новой фазы представляют собой микрокапли, коалесценция которых происходит, согласно Лифшицу [515], по механизму поедания мелких капель более крупными. При сохранении в системе достаточной подвижности происходит дальнейшая коалесценция капель и образование из них разнообразных структур (агрегатов-флокул, рети-кз лярных структур типа непрерывных сеток и т.д.). С учетом временной зависимости функции распределения зародышей по размерам рост их можно выразить через кинетическое уравнение типа уравнения Фоккера - Планка. Такая картина возможна только в том случае, когда система в течение всего времени разделения фаз поддерживается в метастабильной области вблизи бинодали. Устойчивость процесса нуклеации и роста для всей системы в целом обеспечивается вследствие сохранения положительного знака коэффициента диффузии. Постепенный переход системы в стеклообразное состояние при сохранении нуклеационного механизма разделения приводит к замораживанию неравновесных состояний и формированию диффузных областей, не являющихся термодинамически равновесными, т.е. к образованию межфазных областей между микрообластями фазового разделения [516]. [c.208]

Однако в отличие от обычного уравнения Фоккера - Планка для одномерного случая в (XI.5.1) коэффициент диффузии и потенциальная энергия являются случайными величинами. Вид распределения высот барьеров на пути частицы определяется деталями строения гиперповерхности потенциальной энергии и конкретным видом степени свободы. В зависимости от этого возможны весьма разнообразные динамические эффекты. Простая аррениусовская зависимость скорости перехода от Т будет наблюдаться только для узких распределений, что практически означа- [c.339]

Книга состоит из четырех глав. В первой главе, посвященной качественному анализу структуры процесса массовой кристаллизации как сложной ФХС, вскрываются особенности данной ФХС как на языке смысловых, лингвистических построений, так и на языке точных математических формулировок, причем в последнем случае обсуждаются два подхода — феноменологический (детерминированный) и стохастический. На уровне детерминированного подхода формулируется обобщенная система уравнений термогидромеханики полидисперсной смеси с произвольной функцией распределения кристаллов по размерам с учетом роста, растворения, зародышеобразования, агрегации и дробления кристаллов. Особое внимание уделено описанию процесса вторичного зародышеобразования. На основе термодинамического подхода получены теоретические зависимости для структуры движущих сил вторичного зародышеобразования при бесконтактном и контактном зародышеобразовании. Стохастический подход представлен методом пространственного осреднения, развитого в последние годы в механике гетерогенных сред, а также методами фазового пространства и стохастических ансамблей для описания стохастических свойств процессов массовой кристаллизации. На основе метода пространственного осреднения получено уравнение типа Колмогорова— Фоккера — Планка с коэффициентом диффузии, учитываю- [c.5]