Макроскопические уравнения движения

Это уравнение отождествляется с макроскопическим уравнением движения системы, которое предполагается известным. Таким образом, функция А (у) определяется из наших сведений о макроскопическом поведении. Затем получаем В (у), отождествляя (8.1.4) с равновесным распределением, которое, по крайней мере для замкнутой физической системы, известно из обычной статистической механики. Таким образом, для вывода уравнения Фоккера — Планка и, следовательно, для вычисления флуктуаций достаточно знать макроскопический закон и равновесную статистическую механику. [c.198]

Упражнение. Вращение частицы, имеющей форму эллипсоида и взвешенной в жидкости, описывается макроскопическим уравнением движения [c.207]

Глава 1 МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [c.7]

Как и ранее, начнем построение теории с вывода макроскопических уравнений движения. Учитывая условие нормировки (11.4.7), запишем массовую плотность д, гидродинамическую скорость V и внутреннюю энергию единицы массы и в виде [c.331]

Моментные методы. Здесь к обычным макроскопическим уравнениям движения добавляются уравнения, полученные путем построения моментов уравнения Больцмана с помощью других функций скоростей молекул. Поскольку таким путем никогда нельзя получить замкнутой системы уравнений, ее замыкают произвольным образом, полагая равными нулю некоторые члены в уравнениях. Для линеаризованного уравнения метод приводит к системе уравнений, аналогичной уравнениям методов полиномиальных разложений. Подробное описание моментных методов содержится в книге Бюргере [16]. [c.468]

Дифференциальные уравнения сохранения массы и импульса могут быть получены либо феноменологически, т. е. исходя из общих соображений и известных физических законов, либо путем осреднения уравнений сохранения, описывающих однофазное движение на уровне отдельных частиц. Методы осреднения, используемые для вывода макроскопических уравнений сохранения, различны осреднение по времени, по физически малому объему, статистическое или ансамблевое осреднение. Как правило, уравнения, полученные различными методами, имеют в основном один и тот же вид. Число публикаций, посвященных выводу уравнений сохранения достаточно велико. Читатели, интересующиеся данным вопросом, могут воспользоваться библиографией, приведенной в работах [95-98]. [c.59]

Таким образом, макроскопическое рассмотрение движения броуновской частицы массы т, помещенной в жидкость, приводит к уравнению [c.49]

Очевидно, что из (7.12) должно следовать уравнение (7.1), т.е. из уравнения, определяющего поведение плотности вероятности в /-пространстве, должна быть получена система детерминистических уравнений для можно сделать следующим образом пусть/ (с/, t) есть узкий пик, расположенный в определенной точке /-пространства. Если шириной пика пренебречь, то можно рассматривать его положение в (/-пространстве как макроскопическое значение (/, . В то время как Р изменяется во времени согласно (7.12), пик движется в /-пространстве согласно (7.1). Заметим, что уравнение (7.12) линейно, а уравнение (7.1) может быть и нелинейным. В этом нет противоречия ситуация аналогична тому, как от линейного уравнения Шредингера осуществляется переход к нелинейным классическим уравнениям движения в приближении, в котором частицы достаточно тяжелы для того, чтобы пренебречь распространением волновой функции. Математический аппарат для такого описания был развит в работах [266, 350, 429, 436]. [c.177]

В принципе задачу ВЭВ экструдата можно решить, используя макроскопические уравнения сохранения массы и сохранения момента движения в объеме, ограниченном плоскостью выхода капилляра и плоскостью, расположенной ниже по потоку в сечении с прямоугольным профилем скоростей [28]. Этот метод был успешно применен для решения проблемы разбухания струи ньютоновских жидкостей (см. Задачу 13.4). Результаты, полученные при помощи таких уравнений для полимеров, не согласуются с экспериментальными данными. [c.473]

Мы отказываемся от однозначного определения переменных ряд для данного момента времени путем решения уравнений движения как вследствие сложности задачи (требуется решить систему очень большого числа уравнений), так и в силу того, что начальные условия задачи неизвестны. Постановка задачи, диктуемая опытом, состоит в том, чтобы определить свойства системы, для которой задано небольшое число макроскопических параметров (в термодинамике достаточно задать к- -2 переменных, чтобы определить состояние равновесной -компонентной системы и ее массу). При этом точное поведение частиц не представляет интереса, но требуется найти некоторые усредненные характеристики системы. [c.83]

Безусловно, решение частных механических задач представляет чрезвычайный интерес для теории макроскопических систем и, если оно практически осуществимо, позволяет описать все процессы в индивидуальной системе на языке механики. Кстати, метод численного решения уравнений движения с применением быстродействующих машин успешно используется молекулярной динамикой, — правда, в основном лишь для сравнительно простых систем в расчеты включаются не более нескольких сотен частиц. [c.8]

Приравняв силы, представленные уравнениями (3.16.58) и (3.16.59), находим макроскопическую скорость движения молекул полиэлектролита [c.744]

Еще более перспективен и интересен метод молекулярной динамики для исследования структуры и расчета термодинамических свойств различных молекулярных моделей [7]. Этот метод также стал возможным лишь в век новой вычислительной техники. Сущность его заключается в интегрировании уравнений движения системы многих частиц, т. е. в использовании только механической модели молекулярной структуры вещества. Усреднение различных микроскопических величин вдоль траектории точки в фазовом пространстве позволяет найти макроскопические термодинамические величины. Но важнее всего то, что таким образом мы можем построить картину молекулярного строения газа или жидкости и исследовать ее флюктуацию и ее мелкие детали с большей точностью и более тонко, чем это можно сделать при анализе экспериментальных данных по рассеянию излучений. [c.333]

При использовании этого метода встречаются новые, только ему свойственные трудности, большая часть которых связана с тем, что невозможно провести интегрирование системы уравнений движения для заведомо макроскопической системы взаимодействующих частиц. Нами вместе с Э. Э. Шнолем были проведены некоторые исследования методического характера, необходимые на данном этапе. Они показали, что сформулированные ниже гипотезы, которые используются в этом методе, по-видимому, правдоподобны. Вот эти гипотезы. [c.347]

Различают два механизма переноса энергии 1) молекулярный и 2) конвективный. По первому механизму передача энергии осуществляется в результате соударений микрочастиц (электронов, ионов, молекул и т. д.), т. е. путем молекулярной теплопроводности. При этом изменяется кинетическая энергия микрочастиц. Скорость молекулярного переноса зависит от физических свойств среды. По второму механизму энергия переносится макроскопическими количествами движущейся жидкости. Скорость конвективного переноса энергии тоже является функцией свойств среды, но основную роль при этом играют условия движения. Вывод уравнения, описывающего перенос энергии в движущейся среде, аналогичен выводу уравнений движения, и сводится к составлению энергетического баланса для элементарного объема жидкости [c.60]

Диффузия в ламинарном потоке. При ламинарном движении, несмотря на отсутствие макроскопического перемешивания соседних слоев жидкости, в случае наличия разностей концентраций, происходит молекулярная диффузия, приводящая к поперечному молекулярному перемещению компонентов в слоях и между слоями жидкости. Если уравнение движения жидкости известно, уравнение (V, 11) можно проинтегрировать, чтобы получить общую зависимость для скорости массопереноса. [c.189]

Общие уравнения движения жидкости в неподвижном зернистом слое. Итак, пусть имеется и.з.с., через который течет поток жидкости. Предположим, что н.з.с. неизменен во времени и изотропен в макроскопическом смысле, т. е. на масштабах L порядка многих диаметров зерен d L d). [c.108]

Произвольность объема Й позволяет окончательно получить макроскопические дифференциальные уравнения движения жид- [c.112]

В излагаемой теории не учитываются эффекты диэлектрического отображения вблизи иона и затухания в макроскопическом уравнении для поляризации в растворе проведено лишь приближенное рассмотрение относительного движения реагентов. Теория включает три основных предположения, общих для всех теорий. [c.306]

В настоящее время метод кинетических уравнений получил широкое развитие и применение в механике жидких и газообразных сред, при исследованиях плазмы, в задачах о движении газовых смесей при наличии протекающих в них релаксационных или химических процессов. Делаются более или менее удачные попытки использовать кинетические методы также в механике аэрозолей, при изучении дисперсных и многофазных сред. Вопросы обоснования применяемых макроскопических уравнений наиболее удобно и просто разрешаются путем обращения к методам, истоки которых лежат в основополагающих работах Больцмана по кинетической теории газа. Вычисление коэффициентов переноса (коэффициентов вязкости, теплопроводности, диффузии) для простых и сложных систем также является прерогативой кинетических подходов. [c.5]

Возможны три способа описания процессов в макроскопических системах 1) использование уравнений движения микроскопических компонент системы (атомов, молекул, электронов или других микрочастиц), что дает полное описание макросистемы все уравнения такого типа обратимы 2) использование обычных феноменологических соотношений (например, уравнений гидродинамики достаточно для правильного описания неравновесного поведения многих жидкостей) уравнения такого типа неинвариантны относительно обращения времени 3) использование кинетических уравнений различного типа примерами являются кинетические уравнения Больцмана (1872 г.) и управляющее уравнение Паули (1928 г.). Важным для нас свойством последних уравнений является то, что они предсказывают [c.37]

Блох с сотр. [1] нашли, что движение вектора макроскопической намагниченности во внешнем магнитном поле можно описать с помощью феноменологических дифференциальных уравнений. Исходным пунктом является классическое уравнение движения [4] магнитного момента в магнитном поле Н, направление которого пока никак не фиксируется [c.25]

В настоящей работе рассматривается общая проблема получения замкнутого гидродинамического описания течения газа на основе систем макроскопических уравнений движения и соответствующих граничных условий, следующих из исследования кинетической постановки задачи об обтекании тел разреженным газом при малых значениях числа Кнудсена К (К 1, К = IL , где [c.108]

Скорость gi можно разложить на две компоненты v — среднюю макроскопическую скорость движения в пространстве и Vio — пространственную скорость i-x частиц относительно всей массы газа. Компонента Vip представляет собой часть обш,ей скорости движения i-x частиц, которая обусловлена диффузией частиц в реагирующей смеси. Он определяется градиентом концентраций частиц, который в свою йчередь определяется уравнением [c.401]

Не рассматривая вид функции распределения, а учитывая только некоторые основные свойства оператора усредаения (2.31), можно от исходных микроскопических уравнений сохранения и соответствующих условий на N поверхностях частиц перейти к макроскопическим уравнениям, описывающим усредненное движение сплошной и диспер сной фаз. [c.69]

При рассмотрении закрытых химических систем, уравнения движения которых (3.6) построены согласно (3.7), основной динамической аксиомой является принцип детального равновесия существование такого вектора с е F+ с положительными компонентами с > О, i = = 1,. . ., 7V, что Wj( ) = О при любом / = 1,. . R. Как указывалось в гл. 1, принцип детального равновесия Фаулера есть макроскопическое проявление принципа микроскопической обратимости Толмепа. Чтобы точнее сформулировать следствия этого принципа, введем следующее определение. [c.117]

Под влиянием каждого отдельного столкновения происходит очень малое отклонение частицы от ее макроскопической траектории. Эти столкновения весьма многочисленны и чрюзвычайно нерегулярны как по силе, так и по направлению. При этом предсказать положение или скорость броуновской частицы в любой момент времени невозможно, но можно предсказать средний результат большого числа экспериментов, выполненных в одинаковых условиях. Уравнение (2.52) есть уравнение класса стохастических уравнений движения. [c.49]

Однако для решения задач термодинамики необходимо ответить на другой вопрос — установить, как в среднем будет вести себя система, построенная из N молекул, независимо от численных значений координат и импульсов отдельных молекул. Опыт экспериментальной физики говорит о том, что все макроскопические системы ведут себя в среднем одинаково, если они рассматриваются за достаточно большой промежуток времени. Это означает, что для определения макроскопических свойств системы последовательность смены микросостояиий частиц по уравнениям движения может вообще ие иметь значения. Тогда не нужно решать очень сложную математическую задачу — интегрировать уравнения движения для большого числа частиц. Все это приводит к новой физической концепции при вычислении средних значений макроскопических величин Р р, д). Оно проводится не путем решения задачи механики (усреднение по траектории), а непосредственным усреднением Р р, q) по всему Г-пространству, независимо от порядка расположения точек па фазовой траектории. Такой подход лежит в основе статистической физики. [c.191]

Чтобы по формуле (III. 1) рассчитать лГт, надо решить механическую задачу о движении системы, т. е, определить фазовую траекторию системы при заданных начальных условиях. Как уже отмечалось во введении, подобный путь решения в применении к макроскопической системе наталкивается на огромные практические трудности, хотя развитие вычислительной техники открывает здесь широкие перспективы. Решением уравнений движения (если практически такое решение доступно) можно получить наиболее полные, в рамках классической теории, сведения о поведении конкретной рассматриваемой системы. Однако чисто механический подход имеет ограничения принципиального характера, о которых говорилось ранее, и не достаточен для анализа общих закономерностей наблюдаемого на опыте поведения макроскопических систем (термодинамических закономерностей). Такие фундаментальные термодинамические параметры, как температура, энтропия, химический потенциал, не являются средними значениями механических величин и по формуле (III. 1) рассчитать эти параметры нельзя (в формуле (III.1) интересующие нас параметры просто отсутствуют). [c.44]

В настоящее время осуществляют расчеты, основывающиссп иа решении уравнений движения (расчеты по методу молекулярной динамики), для систем с небольшим числом частиц, порядка нескольких сотен. При этом можно с помощью специальных приемов оценивать характеристики макроскопической системы. Область применения метода молекулярной динамики в последние годы значительно расширилась, однако расчеты, как правило, относятся к сравнительно простым системам. [c.44]

Согласно микроскопическому уравнению (9.4.1), это означает, что Ф (т) = onst = ф (0). Небольшие отклонения бф(0) от начального значения приводят к таким бф(т), которые остаются постоянными, вместо того чтобы стремиться к нулю. Таким образом, макроскопические уравнения неустойчивы и можно ожидать нарастания флуктуаций. Действительно, согласно (9.4.2), их дисперсия линейно возрастает, как в броуновском движении [c.259]

Обратимся теперь к развитой И. Пригожиным нелинейной неравновесной термодинамике, важнейшими составными элементами которой являются, как отмечалось, теория диссипативных систем и теория бифуркаций [43]. К непременным условиям возникновения упорядоченной структуры в диссипативной системе следует отнести, во-первых, наличие обмена с окружающей средой веществом и/или энергией во-вторых, состояние системы должно находиться далеко от положения равновесия, где наблюдается нелинейность термодинамических уравнений движения, нарушение соотношения взаимности Онсагера и принципов локального равновесия и минимума производства энтропии Пригожина в-третьих, отклонение системы от равновесного состояния не может быть представлено путем непрерывной деформации последнего и, следовательно, отнесено к одной термодинамической ветви. Это условие будет соблюдаться в том случае, если малые изменения на входе вызывают большие отклонения на выходе или, иными словами, когда значения градиентов соответствующих термодинамических параметров (температуры, давления, концентрации) превышают критические величины. И, наконец, в-четвертых, организация упорядоченной макроскопической структуры должна быть результатом как случайного, так и детерминистического кооперативного (согласованного, синэргетического) движения микроскопических частиц. [c.91]

В настоящей работе будут получены и обсуждены общие уравнения движения для макроскопического потока жидкости через н.з.с. исходя из осреднения микроскопических движений в лабиринте. Будут предложены также простые решеипя и оценки, имеющие отношение и влияние границ в н.з.с. и к вопросу о равномерности макроскопического движения в нем. [c.108]

Для описания течений газа с малыми значениями числа Кнудсена (в так называемом режиме сплошной среды), когда макроскопические параметры газа мало меняются на длине свободного пробега и в интервалах времени порядка времени соударения молекул, в работах Гильберта, Чепмена, Энскога, Н. Н. Боголюбова, В. В. Струминского были предложены асимптотические методы решения кинетических уравнений [2 — 5]. В последние годы в работах [6 — 12, 17, 26] эти исследования были продолжены развиты соответствующие модифицированные асимптотические методы малого параметра, применимые к рассмотрению сильно неравновесных высокотемпературных течений газа за ударными волнами, в пограничных и энтропийных слоях и т. д. Эти методы позволяют определить единственный вид гидродинамических уравнений движения и соответствующих граничных условий, рассчитать необходимые параметры, содержащиеся в уравнениях и краевых условиях (такие, как диссипативные коэффициенты [c.108]

В разделе 3.1 мы показали, что все гвдродинамические переменные можно получить, зная функцию i. Отсюда следует, что из верного кинетического уравнения доляшы получаться уравнения движения для гидродинамических переменных (уравнения гидродинамики). Таким образом, первое испытание , которое должно пройти предлагаемое кинетическое уравнение, состоит в том, что оно должно привести к уравнениям гидродинамики. Их также называют макроскопическими уравнениями, гидродинамическими уравнениями и уравнениями сохранения. Для того чтобы получить их из уравнения Больцмана, необходимо сначала ввести понятие сумматорных инвариантов. [c.216]

Обычная линейная феноменологическая неравновесная термодинамика применима к любой системе при условии, что система слабо неравновесна, т. е. находится вблизи состояния полного статистического равновесия. В ней не реализуется единая последовательная макроскопическая точка зрения. Наряду с аксиоматическим термодинамическим методом она суп ественно использует аргументацию на микроскопическом уровне, а именно то обстоятельство, что частицы подчиняются уравнениям движения механики (например, так выводятся соотношения Онзагера из инвариантности уравнений движения относительно обраш ения времени). Однако используется лишь суш ествование уравнений движения, а не конкретный вид гамильтониана. В неравновесной статистической термодинамике, которая в отличие от равновесной еш е находится в процессе развития и далека от своего завершения, вводится с самого начала описание системы с определенным гамильтонианом и используются уравнения движения. Поэтому здесь отчетливо выступает несколько завуалированное в обычной статистической термодинамике противоречие между обратимостью уравнений движения отдельных частиц и необратимостью поведения макросистемы. [c.37]

На практике обычно нет необходимости в нахождении полного распределения вероятности. Интерес представляют корреляции < 8x1 (г) 8xj (0)> вокруг стационарных состояний. Вычисление их производится в два этапа 1) определяются статические корреляции при одном и том же времени i8xi ( ) 8xj ( )> 2) находятся динамические корреляции, для чего используются уравнения движения. Определение статических корреляций полезно начать с так называемого 1/Л -разложения, где N — некоторый принадлежаш ий системе экстенсивной параметр. Как показали ван Кампен [53] и авторы,,[54], для макроскопической системы должна быть экстенсивной ве -личиной, пропорциональной 7 , а так как N пропорционален объему У, то [c.102]

В основе метода ЦД лежит исходное положение классической молекулярной теории наблюдаемые макроскопические явления могут быть объяснены движением молекул, подчиняющихся законам классической механики. Численное реиение уравнений движения взаимодействующих частиц термодинамической системы и вычисление средних по времени функций динамических переменных и составляют содержание метода МД. [c.128]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология