Вероятностное пространство

Вероятностное пространство и случайные величины [c.42]

Основным понятием теории вероятностей является вероятностное пространство—упорядоченная тройка ( 2, , Р), состоящая из пространства элементарных событий й, поля событий и вероятностной меры Р. В определении случайной величины участвуют только первые два элемента вероятностной тройки. [c.42]

Обратимся теперь к третьему элементу Р вероятностного пространства Q, 5 , Р , которому мы до сих пор не уделяли должного внимания, поскольку он не входит в определение случайной величины. Здесь Р — мера частоты появления события Л, т, е. то, что мы интуитивно понимаем под вероятностью. На более точном математическом языке Р — функция, отображающая о-поле на интервал [О, 1], т. е. Р ->[0, 1]. Заметим, что функция Р определена на а-поле М, а не на пространстве элементарных событий Q, т. е. вероятность определена для событий Л, а не только для элементарных исходов со. Это различие становится существенным, если Q содержит несчетное множество [c.47]

Такая функция множества Р называется вероятностной мерой. Три свойства (2.9—11) отражают на математическом языке наши интуитивные представления о вероятностях то, что невозможное событие 0 имеет нулевую вероятность, достоверное событие й имеет вероятность, равную единице, и вероятность объединения взаимно исключающих событий получается (разумеется, на интуитивном уровне) суммированием вероятностей отдельных событий. Третье условие требует, чтобы это свойство сохранялось и для счетного объединения взаимно исключающих событий. В конкретных приложениях мера Р, входящая в вероятностное пространство, получается либо с помощью априорных соображений, либо выводится из длинной серии испытаний, в которой определяется относительная частота события А. (В частотной интерпретации вероятности существуют математические тонкости, в которые нам не хотелось бы здесь вдаваться.) [c.48]

Тем самым вероятностная мера определена на пространстве состояний. Определение имеет смысл, поскольку отличительное свойство случайной величины как раз и состоит в том, что Х (В)—событие в основном вероятностном пространстве. Та- [c.48]

Не стремясь к особой строгости, мы могли бы сказать, что вещественнозначная случайная величина есть величина, характеризуемая изменяющейся по определенному закону вероятностью, а именно функцией распределения. Именно с такой ситуацией мы обычно встречаемся в практических приложениях, когда основное вероятностное пространство неизвестно или недоступно. Однако с теоретической точки зрения использование вероятностного пространства дает очень большие преимущества, в особенности когда приходится иметь дело более чем с одной случайной величиной X/, 1, п (например, при рассмотрении вопросов сходимости). В таких случаях при использовании одной и той же вероятностной меры теоретические соображения становятся значительно более прозрачными различные распределения становятся при таком подходе преобразованиями вероятностной меры Р различными случайными величинами. Именно поэтому даже в чисто практических приложениях обращение к неизвестному основному вероятностному пространству ( 2, Ф, Р) часто бывает полезным, позволяя значительно упростить весь ход рассуждений. [c.50]

Функция распределения или плотность вероятности полностью характеризует (с вероятностной точки зрения) случайную величину X. Но столь полная информация не всегда необходима часто бывает достаточно лишь некоторых численных характеристик случайной величины. Почетное место среди таких характеристик занимают так называемые моменты. Первый момент, обычно известный как среднее значение, или математическое ожидание, равен взвешенной сумме состояний случайной величины (каждое состояние входит в сумму с весом, равным вероятности, с которой реализуется состояние). Подчеркнем, однако, что случайная величина X и вероятность Р определены на двух различных объектах X задана на пространстве элементарных событий 2, Р — на а-поле Ф. В связи с этим необходимо сказать несколько слов об интегрировании по вероятностному пространству Q,sФ,P). Начнем с рассмотрения случайных величин особенно простого вида так называемых случайных ступенчатых функций [c.51]

Зададим случайные процессы Хг и Xt на том же вероятностном пространстве, положив по определению [c.66]

Обычно вложенные точки определяются самим процессом 2 (Т), т. е. поведением рассматриваемой системы. Например, могут быть моментами пересечения процессом 2 (О некоторого заданного уровня или моментами вхождения процесса 2 (О в некоторое заданное подмножество С Е (если С = то Тп будут моментами отказов системы). Однако могут быть и моментами вмешательства извне , например моментами изменения режима, в котором работает система, и т. д. фраза на одном и том же вероятностном пространстве означает лишь, что [c.482]

Вторым элементом э-1 вероятностного пространства является а-поле (или а-алгебра) событий. Вопреки своему, возможно, несколько устрашающему названию, это очень простое, доступное для понимания понятие. Рассмотрим множество элементарных исходов, имеющих смысл или представляющих интерес в данном эксперименте. В приведенных выше примерах это могло бы быть множество всех молекул со скоростью меньше (йГ/т) / или множество всех чашек Петри, содержащих популяции, которые состоят более чем из N бактерий. Такое подмножество А пространства элементарных событий Q (ЛсгЙ) называется событием. Событие происходит, если элементарный исход со принадлежит подмножеству Л, т. е. если скорость молекулы [c.43]

Как бы то ни было, мы, следуя Арнольду [2.2, с. 4], хотели бы подчеркнуть, что предмет теории вероятностей состоит не в определении вероятностной меры Р основного пространства элементарных событий Й, а в вычислении новых вероятностей по данным . В частности, вероятность событий борелевского а-поля, связанного с пространством состояний К случайной величины Х(со), может быть выражена непосредственно через вероятность Р событий а-поля вероятностного пространства ( 2, Р). Действительно, рассмотрим случайную величину Л ( 2, Р)- (К,. ). Функция X осупдествляет, так сказать, перенос вероятностной меры Р из основного пространства элементарных событий 2 на пространство состояний К. Если В— наблюдаемое событие в пространстве состояний, т. е. если то его вероятность можно определить из соотношения [c.48]

Так как С не зависит от винеровского процесса и Wt имеет независимые приращения, под-а-поля и независимы. Слу чайный процесс Gt называется процессом без упреждения относительно если Gt измерим относительно I при всех / е 0. Иначе говоря, Gt — случайная величина не только относительно полного а-поля основного вероятностного пространства, но и остается случайной величиной, даже если от Ф перейти к под-а-полю событий, связанных только с предысторией винеровского процесса. Это означает, что Gt можно представить в виде функции или функционала от винеровского процесса вплоть до момента времени /. Например, Gt = шгxo sслучайный процесс с упреждением. [c.123]

Рис. П.8.6. Уровень креатинкиназы при мышечной дистрофии Дюшенна. Пример информация из родословной дает риск носительства 0,5 и неносительства 0,5. Линия (А) делит общее пространс7во вероятностей на две равные по размеру части. Поскольку две трети носителей имеют повьппенный уровень креатинкиназы, то вероятностное пространство делится линиями (Б) и (В) на три равные части. Носители, которые имеют аномальный уровень фермента, локализуются в области с косой штриховкой (это 2/3 носителей). Среди тех, кто имеет нормальные уровни креатинкиназы, один из четырех (белые квадраты) будет носителем.

Рис. П.8.6. <a href="/info/1354892">Уровень креатинкиназы</a> при <a href="/info/1354524">мышечной дистрофии Дюшенна</a>. <a href="/info/1714061">Пример информация</a> из родословной дает <a href="/info/1353948">риск носительства</a> 0,5 и неносительства 0,5. Линия (А) <a href="/info/1748138">делит общее</a> пространс7во вероятностей на две равные по <a href="/info/171823">размеру части</a>. Поскольку две трети носителей имеют повьппенный <a href="/info/1354892">уровень креатинкиназы</a>, то вероятностное пространство делится линиями (Б) и (В) на три <a href="/info/975746">равные части</a>. Носители, которые имеют аномальный <a href="/info/1320612">уровень фермента</a>, локализуются в области с косой штриховкой (это 2/3 носителей). Среди тех, кто имеет нормальные уровни креатинкиназы, один из четырех (белые квадраты) будет носителем.

Следует учесть, что, согласно (2), п — а1, будем иметь два случая отображения вероятностного пространства в пространстве состояний и соответственно этому получим два семейства эволюционных функций, описывающих определенные свойства саморазвивающейся системы. [c.64]

Как следует из выражений (9), (>14), условий (12) и постоянства tiij по уравнению (30), переменная вероятность (29) во всех точках вероятностного пространства принимает одно и то же значение [c.64]

Совпадение реальной диаграммы саморазвития каталитйческих систем с идеализированной при ее построении на основании статистического закона будет действительно полным и в том смысле, в котором она может рассматриваться как отражение вероятностного пространства совокупности ряда случайных процессов в измеримом пространстЦ состояний, если перейти к средним величинам элементарной вероятности р . [c.83]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология