Среднее арифметическое значение случайной величины

Математическое ожидание характеризует некоторое среднее значение случайной величины, вокруг которого группируются все возможные значения случайной величины. Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значений случайной величины [c.40]

Среднее (среднее арифметическое) значение случайной величины. Пусть х , х ... х обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой а. На основании закона нормального распределения случайных ошибок доказывается, что при п измерениях одинаковой точности среднее арифметическое [c.25]

Z—среднее арифметическое значение случайных величин [c.283]

Общая ошибка анализа складывается из систематической и случайной ошибок определения. Систематическая ошибка зависит от постоянных причин и повторяется при повторных измерениях она связана с постоян ными методическими ошибками анализа, например, с загрязнениями применяемых реактивов, с потерями осадка вследствие его некоторой растворимости и т. п. Все это может быть учтено при анализе. Величина систематической ошибки характеризует правильность метода. Случайные ошибки анализа вызваны неопределенными причинами и изменяются при повторных измерениях (или при повторных анализах) в ту или другую сторону. Если повторить измерение несколько раз, и вгл-числить среднее арифметическое значение из полученных данных, то средний результат будет точнее, чем отдельные измерения. Отклонение отдельных результатов измерений от среднего значения измеряемой величины характеризует воспроизводимость ( точность ) метода. [c.15]

Медианой Me (или срединным значением) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая — большее, чем Me. Для вычисления Me результаты располагают в порядке возрастания, т. е. образуют так называемый вариационный ряд. Если число измерений нечетное, то значение медианы равно значению среднего члена ряда. Если же число четное, значение Me равно полусумме значений двух средних результатов. При малых объемах выборки вместо среднего арифметического для оценки центра совокупности предпочтительнее пользоваться медианой. [c.60]

В аналитической работе часто приходится ограничиваться сравнительно небольшим числом определений. Это небольшое количество наблюденных величин можно рассматривать как случайную выборку из некоторого гипотетического бесконечного множества—генеральной совокупности, которая является математической моделью реально наблюдаемых величин. Задача свертывания информации с математической точки зрения сводится в этом случае к тому, что по выборке определяют некоторые величины (выборочную дисперсию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных параметров (соответственно дисперсии и математического ожидания) функции распределения этой генеральной совокупности. При оценке (определении) параметров генеральной совокупности по выборке, естественно, вносится известный элемент неопределенности, который можно учесть методами математической статистики. Среди экспериментаторов распространено совершенно неправильное мнение о том, что математическая статистика применима только к большому цифровому материалу. Современная математическая статистика дает возможность оценивать параметры генеральных совокупностей и устанавливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам,—в некоторых случаях всего по двум измерениям. Но при этом, естественно, что чем меньше экспериментальный материал, тем менее точно может быть произведена оценка параметров генеральной совокупности по их выборочным значениям. Таким образом, математическая статистика, с одной стороны, дает возможность компактным образом представить результаты эксперимента, а с другой стороны, позволяет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов. [c.12]

Выразим ошибку определения среднего арифметического значения = ц—х в единицах 5-. Пусть = zJs , где t — отношение двух случайных величин и само является случайной величиной. Отличие от I [последнее определено соотношением (1.2)1 в том, что с характеризует ошибку средней величины, а — единичного измерения. [c.16]

Среднее арифметическое значение случайной величины X. Пусть Х2, Х обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой Предполагается, что все измерения проведены одним методом и с одинаковой тщательностью. Такие измерения называют равноточными. [c.5]

Среднее арифметическое отклонение, или иначе, средняя арифметическая ошибка, является абсолютным центральным моментом (см. [9], [14]) первого порядка, в отличие от начального момента первого порядка — среднего значения случайной величины и от центрального момента второго порядка — дисперсии случайной величины. [c.74]

В случае нормального распределения параметры распределения оцениваются по результатам испытания выборки (серии) образцов или деталей с помощью выборочных характеристик — среднего арифметического значения случайной величины (х) и среднего квадратического отклонения (5 -) [c.28]

Случайные ошибки могут быть абсолютными и относительными. Случайную ошибку, имеющую размерность измеряемой величины, называют абсолютной ошибкой определения. Среднее арифметическое значение абсолютных ошибок всех отдельных измерений называют абсолютной ошибкой метода анализа. [c.6]

Среднее отклонение — ориентировочное значение случайной величины Ахи выраженное ее средним значением ср. Поскольку сумма всех случайных ошибок при многократных измерениях с учетом знака стремится к нулю, среднее отклонение ср вычисляют как среднее арифметическое значение всех случайных величин без учета знака [c.233]

На практике при экспериментальном изучении различных явлений исследователи не имеют в своем распоряжении истинных значений характеристик случайных величин. Поэтому им приходится оценивать характеристики на основании опытных данных. Ввиду ограниченности экспериментальных данных такие оценки являются приближенными и их называют выборочными оценками-, выборочная дисперсия 2, выборочное математическое ожидание и т. д. Выборочное математическое ожидание для набора параллельных определений вычисляют как среднее арифметическое ( ). Весь набор значений случайной величины называют генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности, получаемую исследователями из экспериментов, называют выборкой. [c.12]

Наибольшее отклонение случайной величины от среднего арифметического значения ts.x = х — х, где х — первый или последний член ранжированного ряда. [c.14]

На основании закона нормального распределения случайных ошибок доказывается, что при измерениях одинаковой точности среднее арифметическое значение является наиболее вероятным и наилучшим значением измеряемой величины. Среднее арифметическое значение х рассчитывают по формуле [c.299]

Выше уже отмечалось, что набор из п параллельных результатов химического анализа следует рассматривать как выборочную со вокупнрсть неравномерно распределенной случайной величины Однако неравномерность распределения результатов обнаружи вается лишь при достаточно большом числе параллельных анали зов и проявляется в том, что для отдельных групп значений, за ключенных внутри промежутков равной ширины, частота их появ дения оказывается разной. В предельном случае, когда выбранная ширина промежутков равна естественному пределу точности метода анализа, а объем выборки хотя и конечен, но достаточно велик,, все результаты разбиваются на группы дискретных значений, и неравномерность распределения результатов анализа ста-ловится очевидной. Выборочную совокупность результатов такого анализа можно представить двояким образом 1) в виде набора отдельных, отличных друг от друга значений случайной величины, характеризующихся неравномерным распределением в силу своей разнократности 2) как выборочную равномерно распределенную совокупность отдельных результатов, часть.из которых совпадает друг с другом. Очевидно, что математическое ожидание такой выборочной совокупности совпадает со средним арифметическим всех результатов. Следовательно, среднее арифметическое ряда параллельных анализов наилучшим образом характеризует центр рассеяния полученных результатов и отягощено минимальной случайной ошибкой. Естественно, что конечный результат химического анализа, по данным ряда параллельных определений, должен в качестве оптимальной оценки содержать именно среднее арифметическое. Вполне очевидно также, что единицы измерения этой величины совпадают с единицами измерения результатов отдельных анализов. [c.75]

Среднее значение случайной величины (среднее арифметическое). Пусть ... , х ,.. . , х [c.226]

В частном случае равномерно распределенной дискретной случайной величины, принимающей п значений с вероятностями р, =Р2=. .. =рп— п, математическое ожидание совпадает с обыденным понятием среднего арифметического значения [c.816]

С подобной ситуацией мы встречаемся при прямых измерениях. Для того чтобы компактным образом представить множество значений случайной величины, полученной в том или ином измерительном процессе, обычно пользуются средним арифметическим значением результатов отдельных измерений. Среднее арифметическое обладает тем свойством, что сумма квадратов отклонений от него отдельных измерений имеет минимальное значение. Это чрезвычайно важное для метрологии утверждение легко доказать. Приравняем нулю первую производную по Q от суммы квадратов отклонений отдельных измерений от некоторой величины Q [c.259]

Первая важнейшая числовая характеристика определяет среднее значение случайной величины. Ее называют математическим ожиданием, или иногда просто средним значением. Математическое ожидание М(и), как нетрудно показать, является обобщением понятия среднее арифметическое. Оно получается сложением всех возможных значений случайной величины (от —оо до +оо), причем каждое значение умножается на соответствующую ему вероятность. Для дискретной величины [c.52]

Предположим, что при определении характеристик объектов управления построение доверительного интервала для математического ожидания производится при наличии среднего квадратичного отклонения случайной величины. Тогда доверительный интервал для математического ожидания случайной величины М находится по среднему арифметическому значению X, среднему квадратичному отклонению а, объему выборки п и доверительной вероятности [c.306]

Табличные данные х , ш делились на три множества следующем образом. Определялись отклонения случайных величин х от среднего арифметического значения, далее ординаты жг, обладающие наибольшими отклонениями, помещались в Мд, — наименьшими — в остальные — в Л/д. В различных вариантах расчетов число 2 принималось равным 10 20 30 при этом d— з) всегда оставалось равным 20. [c.315]

При более точной статистической обработке результатов анализа среднее арифметическое значение х относят к среднему значению X в генеральной совокупности. Генеральной совокупностью называют гипотетическую (идеализированную) систему 6 бесконечно большом числе измерений и всех мыслимых наблюдений над измеряемой величиной а при данных условиях эксперимента. Из генеральной совокупности выводят закономерности для процессов, кажущихся наблюдателю чисто случайными. В этом случае принимают х за приближенное значение р. и пишут [c.300]

При статистической обработке материалов наблюдений (анализов) для характеристики распределения (рассеивания) случайной величины от ее среднего обычно используется понятие дисперсия , представляющее собой средний квадрат отклонения частных значений показателя от его среднего арифметического значения. Дисперсия генеральной совокупности называется общей дисперсией и вычисляется по формуле [c.218]

Так как в значениях случайной величины, получаемых непосредственно прн наблюдении, трудно заметить какую-либо закономерность, результаты испытаний располагают в возрастающей вариационный ряд и определяют среднее арифметическое значение выборки X и среднее квадратическое отклонение выборки х по формулам [c.237]

Информацию об истинном значении измеряемой величины (а) несут результаты измерений, полученные отдельными независимыми наблюдениями. Наиболее вероятной оценкой определяемого параметра а является среднее арифметическое значение результатов измерений. Но х, выраженное одним числом, представляет точечную оценку измеряемой величины, тогда как при решении практических задач X вычисляют на основании опытных данных — случайных величин, следовательно, среднее арифметическое значение также является случайной величиной. Отдельные наблюдения эксперимента разбросаны относительно среднего арифметического значения, но это не значит, что х ближе к истинному значению, чем результаты каждого отдельного наблюдения. Выделить эти результаты из общего числа наблюдений невозможно, поэтому более правильной оценкой истинного значения определяемой величины является доверительный интервал. [c.237]

Более полное представление о точности дозирования дает метод вероятностного суммирования погрешностей звеньев сборочных размерных цепей, поскольку погрешности являются случайными величинами. В отличие от расчета по предельным отклонениям при вероятностном методе определения погрешности массы дозы оперируют средними арифметическими значениями размеров и средними квадратическими их отклонениями. [c.107]

Из формулы (П,16) видно, что оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение выборки, которое в дальнейшем обозначается, как и исследуемая случайная величина, с чертой сверху, т. е. для рассматриваемого случая при несгруппированных данных оно составляет [c.302]

В тех случаях, когда необходимо сравнивать несколько функций распределения, относящихся к различным абсолютным значениям случайной величины, их трансформируют в безразмерный вид, для чего текущие значения случайной величины делят на среднее. арифметическое их значение. Среднее время пребывания частиц в проточном аппарате можно принять [c.76]

Например, при расчете выборочной дисперсии, характеризующей разброс измеренных значений случайной величины относительно их среднего арифметического, имеется одна связь, определяемая уравнением, по которому вычисляют среднее [c.12]

Поскольку в аналитической химии число параллельных определений невелико (обычно выполняют два, три или пять определений), совокупность полученных результатов называют выборочной говокупностью или случайной выборкой то, следовательно, величины X и 5 будут соответственно именоваться выборочное среднее арифметическое значение и выборочное стандартное отклонение. Необходимо помнить, что систематические погрешности, выявленные при меньшей выборке, на фоне большей могут стать случайными и что математические ожидания (X) для различных по объему выборок также не совпадают. [c.128]

Поскольку результаты отдельных измерений являются случайными, среднее арифметическое значение тоже будет случайным. Действительно, разобьем результаты измерений (см. рис. 1.1) на отдельные группы (выборки) от а до а от 05 до аг от ад до 012 и т. д. и вычислим для каждой группы среднее арифметическое (01-4, аз-8, 9-12). Из рис. 1.1 видно, что групповые значения средних арифметических будут, так же как и результаты отдельных измерений, располагаться на числовой оси вокруг истинного значения данной величины, хотя их разброс и будет несколько меньше. Поэтому, как и в случае отдельных измерений, можно рассматривать доверительный интервал и доверительную вероятность для средних арифметических. Из сказанного вытекают два вывода [c.17]

При построении графиков необходимо учитывать точности экспериментальных и расчетных данных. Это достигается рациональным выбором масштаба, размеров графика и способов нанесения на него числовых значений исследуемых величин. Числовое значение функции, отвечающее данному значению аргумента, часто обозначают на графике кружком. Диаметр этого кружка должен соответствовать значению систематической погрешности функции. Если при каждом значении аргумента измерено несколько значений функции, можно вычислить не только систематическую, но и случайную погрешность. Значение погрешности в этом случае указывают на графике вертикальным отрезком длиной 2 (Деист + Аслуч), СврСДИНа КОТОрОГО располагается в точке, отвечающей среднему арифметическому значению функции, как изображено на рис. 2.1. [c.23]

Каждое из уравнений (3.80), построенное на множестве случайньгх величин и поэтому отображающее случайную поверхность, используется для расчета термодинамических функций. При этом для каждой пары заданных значений температуры и давления по всем уравнениям состояния, описывающим опытные данные с приемлемой точностью, вычисляется множество значений плотности, энтальпии, энтропии, изохорной и изобарной теплоемкостей и других свойств. Для каждого из таких множеств находится среднее арифметическое (центр множества), дисперсия (мера рассеяния значений случайной величины относительно среднего), среднее квадратическое отклонение и другие характеристики. [c.191]

НИЯ. Такое определение величины 5 основано на анализе кривой распределения ошибок, показанной выше, и, следовательно, на более реалистическом подходе к установлению меры точыссти результатов измерений. Можно показать, что при случайном распределении ошибок (или, правильнее сказать, отклонений) одно стзидартиое отклонение s указывает границы выше и ниже среднего арифметического значения, в которых заключено 68,26% вероятности обнаружить результат любого измерения. Стандартное отклопепне вычисляется по формулам [c.515]

Как показано в работе [7], при п = 2 член Лз os (2ф-Ь02) характеризует оклонение формы поперечного сечения, называемое овальностью Аов = 4Л2 при л = 3, 4, 5. .. члены Лз os (Зф-f -Ь0з) Л4СОЗ (4ф + 04), Лз os (бф + Оз)... характеризуют отклонения формы, называемые огранкой соответственно с трех-, четырех-, пятивершинным профилем (Дог = 2Л ). Исследования профиля поперечных сечений обечаек разных размеров, изготовленных по установившемуся технологическому процессу, показали, что составляющие спектра амплитуд являются случайными величинами как у одного экземпляра, так и у партии обечаек. Характеристика профиля поперечного сечения партии обечаек (среднее арифметическое значение. / о = 500,10 мм, а = = 0,96 мм) приведена в табл. 6. [c.20]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология