Временные ряды и случайные процессы

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [c.15]

Естественно, что временные ряды, подверженные нерегулярным флуктуациям, можно изучать только статистически — на основе широкого использования аппарата теории вероятностей и математической статистики. При таком подходе ряд x t) рассматривается как одна реализация, выбранная нз статистического ансамбля функций, описываемого определенным распределением вероятностей в функциональном пространстве, т. е. как выборочная функция случайного процесса X t), зависящего от непрерывного или дискретного аргумента. Тем самым, анализ временных рядов оказывается частью [c.5]

Метод Монте-Карло получил широкое применение для решения разнообразных задач кинетической теории газов. Одним из перспективных подходов к решению уравнения Больцмана лля многокомпонентного химически реагирующего газа является метод нестационарного статистического моделирования. Этот подход основан на результатах Каца [296] о существовании статистических моделей, асимптотически эквивалентных уравнению Больцмана. Суть методики состоит в построении случайного процесса, моделирующего решение кинетического уравнения. Вместо непосредственного решения уравнения Больцмана построенный случайный процесс многократно моделируется на ЭВМ, и по полученной статистике определяется искомая функция распределения. В работа) [70, 71] с помощью метода нестационарного статистического моделирования рассматривались процессы максвеллизации смеси газов, электронное возбуждение атомов, установление ионизационно-рекомбинационного равновесия. Метод предъявляет не слишком высокие требования к памяти и быстродействию ЭВМ, однако с его помощью, по-видимому, невозможно описывать кинетические процессы с существенно различными характерными временами и системы с большим числом уровней. В монографии Г. Берда [18], посвященной моделированию кинетических процессов методом Монте-Карло, приведен ряд полезных программ для ЭВМ. [c.204]

Технологический объект, как правило, представляет фильтр низких частот, спектр выходного сигнала которого практически ограничен некоторой частотой среза <ид. Следовательно, случайный процесс на выходе системы на конечном интервале времени (О, п) может быть приближен степенным рядом со случайными коэффициентами [c.482]

В этой главе мы рассмотрик основные понятия теории временных рядов Наиболее важными среди них являются понятия случайного процесса, стационарного процесс , линейного стационарного процесса и ковариационной функции стационарного процесса. В разд 5 1 показано, что для описания статистической природы наблюденного временрого ряда нужно рассматривать его как элемент абстрактного мг жества функции, называемого случайным процессом Простейшие, типом случайного процесса является линейный процесс, котс ыч можно получить в результате линейной операции над чисто случайным процессом Большое практическое значение имеют два частных случая линейного процесса процесс авторегрессии и процесс скользящего среднего В разд 5 2 показано, что стационарный случайный процесс общего типа удобно описывать с помощью его ковариационной функции, в то время как линейный сгационарный процесс лучше всего описывается его параметрами. В разд 5 3 рассматривается оценивание ковариационной функции по наблюдаемому временному ряду, а в разд 5 4 — оценивание параметров процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.175]

Известно, что погрешности размеров являются результатом совместного действия ряда факторов, носящих случайный характер (изнашивание и затупление режущего инструмента, тепловые и силовые деформации технологической системы), степень влияния которых на процесс механической обработки изменяется в процессе обработки, т. е. с течением времени. При моделировании действия этих факторов использование аппарата случайных процессов (случайных функций) позволяет получить гораздо больший объем интересующей информации, чем использование для этой цели лишь одной реализации случайной величины. Теорию случайных процессов применяют также при создании различного рода систем автоматического регулирования, следящих систем. [c.116]

Публикуемые в периодических изданиях работы по спектральному анализу рассчитаны на специалистов, хорошо знакомых с методами статистической обработки данных, они описывают новейшие методы обработки информации, устройства для вычисления спектральных характеристик по сравнительно сложным алгоритмам, связь которых с выводами теории иногда трудно проследить, особенно для новичка в этой области. Многие авторы используют большое число методических и терминологических приемов и ухищрений, затрудняющих чтение статей для неспециалиста. Знакомство с методами измерения спектральных характеристик случайных процессов осложняется и рядом других обстоятельств. Нет установившихся терминологии и обозначений. Статьи по данной тематике встречаются в журналах самых различных направлений. По некоторым вопросам нет единства мнений даже среди специалистов. Последнее касается вопросов определения и измерения спектральных характеристик, интерпретации полученных данных и некоторых методических вопросов. Этим объясняется и то обстоятельство, что в чисто прикладной литературе, например в ряде книг по статистической радиотехнике и автоматике, вплоть до настоящего времени содержались ошибочные утверждения относительно определения спектральной плотности мощности случайного процесса. [c.4]

Поведение временного ряда при всех значениях времени может быть описано множеством случайных величин (г ) , где временная переменная t может принимать любые значения от —оо до - -оо Таким образом, статистические свойства этого ряда описываются с помощью распределений вероятностей, связанных с любым набором значений времени 2,, IN Упорядоченное множество случайных величин Х( ) и связанных с ними распределений вероятностей называется случайным процессом Наблюденный временной ряд х 1), таким образом, рассматривается как одна из дважды бесконечного множества функций, которые могли бы быть порождены этим случайным процессом Это множество дважды бесконечно, так как возможно бесконечное множество значений в любой заданный момент времени и имеется бесконечно много моментов времени [c.16]

В разд 1.1 утверждалось, что случайный процесс, порождающий наблюдаемый временной ряд, может быть описан распределениями вероятностей, связанными со всеми возможными множествами моментов времени Определение природы этих распределений вероятности по одному или по малому числу рядов представляет собой невозможное или даже бессмысленное занятие. В этом разделе мы обсудим некоторые из наиболее важных упрощений, которые приняты в анализе временных рядов для того, чтобы сделать этот анализ выполнимым и в то же время плодотворным [c.17]

Важнейшие предположения о временных рядах заключаются в том, что соответствующий случайный процесс является стационарным и может быть адекватно описан с помощью младших моментов его распределения вероятностей Младшие моменты включают в себя среднее значение, дисперсию, ковариационную функцию и преобразование Фурье ковариационной функции — спектр мощности. Другой подход к вышеизложенной проблеме основывается на [c.17]

Результат (12 6) показывает, что если ДГ( можно считать состоящим из смеси косинусоидальных волн, то его дисперсию можно разложить на компоненты со средней мощностью, или дисперсией, а /2, соответствующие различным частотам г. В гл. 6 будет показано, что если Хг является стационарным временным рядом, то дисперсию соответствующего случайного процесса можно разложить на компоненты, интегрируемые по непрерывной области частот, согласно формуле [c.21]

Стационарность. В общем случае свойства случайного процесса будут зависеть от времени. Часто ради упрощения предполагают, что ряд достиг некоторой формы устойчивого состояния, или равновесия, в том смысле, что статистические свойства ряда не зависят [c.182]

В разд 5 1 5 было указано, почему нужно изучать ковариационные функции, во-первых, они входят в уравнения для синтеза линейных систем и, во-вторых, их можно использовать при оценивании функций отклика на единичный импульс С более общей статистической точки зрения одна из важных причин изучения временных рядов заключается в том, чтобы дать возможность построить модель для лежащего в основе явления случайного процесса Эту модель можно затем использовать для прогноза, синтеза систем или для других целей, таких, как имитация систем В таких случаях эмпирический анализ ковариационной функции или спектра может дать полезные наводящие идеи относительно " рго, какие модели должны были бы соответствовать временному ряду. [c.223]

В разд 6 1 говорится о том, что классический анализ Фурье не применим к временным рядам Так, оценка спектра, полученная по формулам анализа Фурье, а именно выборочный спектр, обладает тем нежелательным свойством, что ее дисперсия не уменьщается при увеличении длины временного ряда Поэтому для временных рядов методы гл 2 нужно видоизменить В результате мы приходим в разд 6 2 к такому определению спектра, которое подходит для случайных процессов В этом разделе рассматриваются также спектры процессов авторегрессии и скользящего среднего [c.255]

Необходимость критерия. На практике часто возникают ситуации, когда требуется проверить гипотезу о том, что наблюдаемый временной ряд является реализацией белого шума Пример такой ситуации приведен в разд. 5 3 5, где критерий для проверки того, что шум белый, был применен к случайным гауссовским числам, полученным с помощью вычислительной машины Другим примером служит проверка подобранной модели, например процесса авторегрессии (5 2 39) Модель можно считать адекватной, если остаточные ошибки (между подобранной моделью и данными) образуют белый шум [c.283]

Вып. 1 издан в 1971 г. Вып. 2 включает спектральную теорию стационарных процессов, спектральные оценки, полученные с помощью сглаживания периодограмм, спектральный анализ двух временных рядов, методы статистической оценки характеристик линейного фильтра, обобщение изложенных методов на случай многомерных случайных процессов. [c.3]

В разд 6 2 2 было показано, что случайный процесс, спектр которого есть б-функция, является синусоидальной или косинусоидальной волной Таким образом, этот результат показывает, что если белый шум подвергать суммированию и взятию разностей достаточное число раз, то получится синусоидальная волна Эта теорема принадлежит Слуцкому [И], который отмечал, что в некоторых случаях периодическое или квазипериодическое поведение экономических временных рядов объясняется процедурой сглаживаний, примененных к этим рядам [c.50]

В этой главе понятия, введенные в гл. 5 и 6 (вып 1), распространяются на случай пары временных рядов и случайных процессов Первым таким обобщением, приведенным в разд 8 1, является взаимная корреляционная функция двумерного стационарного случайного процесса Эта функция характеризует корреляцию двух процессов при различных запаздываниях Второе обобщение представляет собой двумерный линейный процесс, образуемый с помощью линейных операций над двумя источниками белого щума Важными частными случаями такого процесса являются двумерный процесс авторегрессии и двумерный процесс скользящего среднего [c.77]

В этой главе мы будем иметь дело со второй из обсуждавшихся в начале гл 8 задач для двумерных временных рядов, а именно с задачей, в которой известно, что случайные процессы Х2Ц) являются соответственно входом и выходом некоторой физической системы Имея реализации этих процессов х, 1), Х2 1) на интервале О 7, требуется оценить характеристики этой [c.186]

В разд 8 2 1 было показано, что при спектральном анализе нескольких временных рядов появляются комплексные случайные величины, например случайная оценка, соответствующая выборочному взаимному спектру двух процессов Хотя можно обойтись действительными величинами, рассматривая отдельно синфазную и сдвинутую по фазе компоненты, большее математическое изящество достигается при их совместном использовании как вещественной и мнимой частей некоторой комплексной величины В этом разделе излагается исчисление комплексных случайных величин [c.228]

Зная стандартное отклонение а и среднее временного ряда (должны быть учтены все случайности процесса производства, включая возможные сезонные колебания), а также при отсутствии достаточно частых грубых ошибок можно указать вероятность Р того, что отдельный результат измерения показателя качества Т превысит, скажем, верхнюю границу То допуска. Из уравнения (3.9) получается, что [c.234]

Обработка данных наблюдений показала, что при одном и том же количестве осадков в бассейне моря при современном климате существуют два устойчивых равновесных значения Q (320 и 270 км /год) и соответственно два значения Н (-25,47 и -27,92 м абс.) (см. рис. 2.1). В нижней части рисунка приведены зависимости величин эффективных осадков (осадки минус испарение) и речного стока от влагозапасов точки 1, 2, 3 являются решениями уравнения водного баланса бассейна моря. Подчеркнем, что бимодальность распределения стационарной плотности уровня моря объясняется водными процессами на водосборе, а не зависимостью слоя испарения с поверхности моря от уровня. По существу, система нелинейных уравнений (2.2.1) связывает колебания уровня Каспийского моря с изменениями климата его бассейна. Известно, что случайный процесс, характеризуемый бимодальным распределением плотности вероятности - смесь двух гауссовых случайных процессов (каждый из этих процессов порождается небольшими колебаниями Я вблизи одного из устойчивых состояний равновесия), поэтому временной ряд многолетних колебаний стока Волги должен быть нестационарным и неоднородным. Детальный анализ статистических характеристик годового стока Волги у Волгограда подтвердил приведенный выше анализ [Исмайылов, Федоров, 2001]. [c.76]

До сих пор мы предполагали, что интервал отсчетов Д/ достаточно мал для удовлетворительной аппроксимации оцениваемой характеристики дискретным рядом ее значений. На практике возникает основной вопрос, как определить М, при котором точность результата не намного уступает точности, получаемой при обработке непрерывных случайных процессов. Нами были рассмотрены статистические погрешности спектрального анализа применительно к непрерывному и дискретному случайным процессам. Здесь же речь идет о погрешностях анализа, обусловленных процессом дискретизации функции времени. Важным параметром непрерывно-дискретного преобразования является шаг дискретизации по времени Ы. Слишком частое расположение точек отсчета дает избыточность и коррелированность данных, уве-9 131 [c.131]

Такой результат отнюдь не является неожиданным если бы у среды была конечная память, то информация о прошлом способствовала бы более точному предсказанию будущей стохастической эволюции системы. Эти эвристические соображения вплотную подводят нас к правдоподобному предположению относительно того, что система является марковской в том и только в том случае, если внешние флуктуации белые. Пока мы еще не в состоянии сформулировать свою гипотезу в виде математической теоремы. Напомним, что белый шум — чрезвычайно нерегулярный процесс, не обладающий непрерывными траекториями. Разложение в ряд Тейлора (3.32), призванное определить состояние системы в момент времени I + Л, вполне может оказаться не имеющим смысла. Иначе говоря, так как среда немедленно забывает, в каком состоянии она находилась в предыдущее мгновение, едва лп будет иметь какое-то отношение к состоянию системы в некоторый момент времени / + Л. Таким образом, для гауссовского белого шума эта ситуация оказывается еще более деликатной, и анализ ее требует большой осторожности. Кроме того, как уже подчеркивалось в разд. 1.5, необходимо тщательно следить за тем, в каком смысле надлежит понимать СДУ (3.30) и утверждение о том, что Хг — решение уравнения (3.30) . Для тех читателей, кто не желает оставаться в неведении до тех пор, пока не станет ясен исход строгого математического анализа, скажем, что справедлива следующая математическая теорема процесс удовлетворяющий уравнению (3.31), является марковским в том и только том случае, если внешний шум t белый. Эта теорема объясняет, почему так важна и чем так привлекательна идеализация белый шум . Если система, связанная с флуктуирующей средой, может быть описана марковским процессом, то мы сразу получаем в свое распоряжение целый арсенал математических средств, разработанных для анализа таких случайных процессов. Мы видим, что наши оптимистические надежды на успешное преодоление трудностей, с которыми сталкивается анализ влияния внешнего шума на нелинейные системы, имеют под собой известное основание. Но если бы система допускала описание только с помощью немарковского процесса, то шансы на успех были бы самые незначительные. Методы работы с немарковскими процессами того типа, который встречается в приложениях разработаны пока да- [c.92]

Как мы уже подчеркивали, в общем случае невозможно получить точное решение, например, для стационарной плотности вероятности системы, когда рассматривается шум произвольной формы. Дело обстоит так даже в довольно простом случае марковского гауссовского шума. Следовательно, общий случай внешнего цветного шума может быть рассмотрен лишь приближенными методами. Методы, развитые в гл. 8, позволяют исследовать два предельных случая — низкочастотного и высокочастотного внешнего шума. В частности, для последнего случая малых корреляционных времен в нашем распоряжении имеется метод разложения в ряд по теории возмущений. Этот метод использовался, чтобы показать, что фазовые переходы, индуцированные внешним шумом с малым временем корреляции, могут быть идентифицированы с переходами, исследованными в случае применения идеализации белого шума. Однако благодаря различию между двумя приближенными методами, используемыми для описания высокочастотного и низкочастотного шума, остается не ясным, каким образом переходы, предсказанные для случая быстрого шума, связаны с переходами, имеющими место в случае медленного внешнего шума. Желательно поэтому дополнить ту информацию, которая получается с помощью общих приближенных методов, информацией, полученной из изучения специальных классов внешнего цветного шума. Другими словами, полезно найти такие примеры Цветного шума, которые позволяют для произвольной системы с одной переменной точно вычислить по крайней мере стационарную плотность вероятности при любом значении времени корреляции. Как говорилось выше, гауссовский шум не принадлежит к этому классу. Следует обратиться к случайным процессам с более простой структурой, и вполне естественным кандидатом оказывается марковский процесс с дискретным пространством состояний. Простейшим процессом такого типа является дихотомический марковский шум, известный так же, как случайный телеграфный сигнал. В данной главе мы покажем, что он действительно позво ляет получить точные результаты и построить полную картину влияния корреляций. [c.324]

Дискретная случайная последовательность или дискретный случайный процесс описывается непрерывной случайной функцией дискретного аргумента, получающейся в результате операции квантования по времени непрерывного случайного процесса X t). Будем обозначать эту случайную последовательность через X(iAt). Заметим, что реальный временной ряд соответствует непрерывной реализации случайного процесса, заданной на конечном интервале времени (0,7), либо детерминиро- [c.95]

Повышение эффективности энергетических машин и установок, в том числе центробежных компрессоров, является важной народнохозяйственной задачей. Основные усилия специалистов чаще всего направлялись на повышение максимальных значений КПД центробежных компрессоров, причем успехи в этой области были настолько значительными, что эти значения достигают в настоящее время 80—84 % и вплотную приближаются к верхнему пределу, который вообш,е может быть достигнут в машинах такого класса. Дальнейшие изыскания в этой области будут все более трудоемкими и дорогостояш,ими, а в результате максимальный КПД центробежных компрессоров в лучшем случае может быть повышен еще на 1—2 %, а то и на доли процента. Однако создание центробежного компрессора с высоким максимальным КПД вовсе не означаег что в условиях эксплуатации он будет реализован. Опыт показывает, что точка совместой работы компрессора и сети чаще всего не соответствует максимальному КПД, причем положение этой точки зависит от ряда факторов—таких, как параметры окружающей среды, потери в элементах сети, увеличивающиеся по мере загрязнения аппаратов или изменения технологического режима их работы, и т. п. Эти факторы могут изменяться периодически в течение суток или по временам года, случайно или нарастать постепенно в процессе работы компрессорной системы. Снижение КПД может составлять проценты или даже десятки процентов и сопровождаться резким снижением эффективности системы. Этим сводятся на нет- все усилия завода-изготовителя по повышению КПД центробежного компрессора. [c.3]

Уравнение (I) отражает дискретно-стадийный характер сушки, при этом первое слагаемое описывает протекание процесса в периоде постоянной скорости сушки, второе - в дериоде падалхцей скорости, стретье - учитывает частичную конденсацию влаги из сушильного агента, происходящую в верхней части слоя. Уравнение (2) описывает динамику прогрева слоя влажного материала, происходящего 1фи удалении влаги. Этот гфоцесс весьма сложен даже при чистом теплообмене вследствие, например, случайного расположения частиц в слое, колебания их размеров, формы и пр. [4 ], Поэтому процесс прогрева слоя при сушке имеет смысл рассматривать кая многомерную динамическую систему с несколькими детерминированными входами и наложенным стохастическим щумом. Это позволяет использовать для расчета теорию стохастических временных рядов. [c.111]

Временные ряды, зависящие от нескольких переменных. В некоторых случаях ряд является функцией x t , /2,. , 4) нескольких физических парэуетров /а,, (и В этом случае он называется случайным полем Например, х(( , /г) может представлять измерения локальных флуктуаций магнитного поля Землп в точке с координатами tl, 2 В других случаях изучаемый процесс может быть многомерным, а также зависеть ст нескольких переменных Например, геофизики заинтересованы в исследовании соотнощения между магнитньг Л полем Земли Xi(ti, /2) и глубиной океана л 2(/1, /г). [c.178]

Распределения вероятностей, связанные со случайным процессом. Если ансамбль ясно определен, то поведение временного ряда в данный момент времени можно описать до сбора данных с помощью случайной величины X t) и ее плотносги вероятности хц)(х) > Как подчеркивалось в гл 3, выбор функции хи) х) является делом здравого суждения или опыта [c.181]

Для описания изменчивости функции Сх-сЦ), продемонстриро ванной в разд 6.1 2, необходимо рассмотреть запись х () —7 /2 I Г/2, как один из многих возможных временных рядов которые могли бы быть наблюдены, т е как реализацию случай ного процесса Таким образом, изменчивость записи будет охарак теризована случайными величинами Х 1), —Т/2 ( Т/2, как указывалось в гл 5 При этом выборочная спектральная плотность СххЦ) в некоторой точке ( рассматривается как реализация случайной величины Схх ), точно так же, как Схх и) считается реализацией случайной величины Схх(и) > Получив распределение Схх Схх [c.263]

Так же, как и в одномерном случае в гл 5, полезное средство описания пары случайных процессов дают их младшие моменты Как и раньше, наблюденный двумерный временной ряд Х1( ), Х2 () рассматривается как реализация двумерного случайного процесса 2 () Четыре случайные величииы [c.80]

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области Будет показано, что обсуждав-наяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных компонент в двух рядах на определенной частоте Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров,- полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8 1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса. [c.98]

Под временным рядом понимают набор данных, которые наблюдаются во временной последовательности. Этими данными могут быть результаты анализа X, (например, процентные содержания) или обычные измерения у, (например, экстинкции) или также (для простоты сравнения) относительные величины (например, ж,/ж). Эти временные ряды называют дискретными, если наблюдения происходят только в определенные моменты. Обычно выбирают эквидистантные (равноотстоящие) интервалы. Временные ряды такого типа часто встречаются в контроле качества, при описании технологических процессов или при мониторинге данных из области охраны окружающей среды. Но временные ряды возникают также в любой лаборатории при контроле работы аналитического метода (например, при наблюдении за величинами и знаками разностей параллельных определений или при сравнении фактических и ожидаемых значений). В большинстве случаев временньхе ряды демонстрируют случайные флуктуации — шум , параметр которого нужно вычислить и оценить. Кроме того, во временных рядах могут содержаться также вполне детерминированные компоненты (скачки, смещения, периодичности). Их надо выделить из шума и соответствующим образом интерпретировать. Более того, часто требуется прогноз будущих значений. Подобное прогнозирование с определенной вероятностью возможно благодаря внутренним связям временного ряда. [c.207]

Для автокоррелированных временных рядов было возможно, исходя из прогнозируемого результата, определить потребность в следующем анализе и время его проведения [уравнение (12.27)]. Но и для чисто случайных процессов (At = Тс рис. 12.8,а) тоже можно снизить плотность проб. Однако надо застраховаться, чтобы риск ошибочной, не охваченной анализом пробы оставался минимальным и чтобы были известны точные границы, внутри которых могут возникать случайные колебания качества. Для выборочного контроля поэтому Вс1Жно соблюдать условие, что среднее р. и стандартное отклонение а известны из достаточно большого числа анализов. Другое важное условие для выборочного контроля — стабильный ход производства и отсутствие грубых отклонений от требуемого качества. [c.234]

Со времени выхода в свет в 1971 г. нашей предыдущей книги (см. перевод Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. — М. Мир, 1974) методы корреляцион ного и спектрального анализа получили широкое применение при решении инженерных задач. Это обусловлено в первую очередь появлением сравнительно недорогих вычислительных устройств, способных быстро производить расчеты, а также разработкой новых идей в области численного моделирования и интерпретации результатов анализа, которые сделали возможным решение многих сложных задач. Материал, изложенный в этой монографии, является дополнением к теоретическим основам и методам обработки данных, приведенным в упомянутой выше работе здесь рассмотрены практические вопросы и инженерные приложения методов корреляционного и спектрального анализа, причем эта книга никоим образом не заменяет предыдущей монографии. Содержащиеся в ней результаты получены в основном при осуществлении различных проектов частных и государственных предприятий, с которыми мы были связаны с 1971 г. Подготовке книги способствовали также курсы лекций, которые авторы прочли в США и ряде стран Европы. [c.7]

Каждая из реализаций xrit) может быть периодически продолжена за пределами рассматриваемого временного интервала и разложена в ряд Фурье с основным периодом Т. Для периодизи-рованного таким образом случайного процесса Хгр(0 можно записать [c.64]

На рис. 4-8,а схематически изображено поведение этих функций для одного из возможных видов низкочастотных случайных процессов. При вычислении спектральной оценки по дискретным данным значения корреляционной функции оцениваются в дискретных точках, отстоящих одна от другой по параметру т на величину А1, определяемую из условия максимально допустимой погрешности наложений при дискретизации. Корреляционная функция, заданная своими значениями в дискретных точках, и ее преобразование Фурье изображены на рис. 4-8,6. Значения корреляционной функции не могут быть оценены в бесконечном числе точек отсчета кроме того, как мы видели, получение сглаженных оценок спектральной плотности мощности преобразованием Фурье оценки корреляционной функции предполагает то или иное усечение этой оценки. Поэтому рассмотрим значения функции Кх(т)к х), заданной в 2т+ точках отсчета, что соответствует усечению Кх х) при помощи выделяющей функции (т). Известно, что преобразование Фурье прдизведения /(ж(т) (т) представляет собой свертку 8х( ) с преобразованием Фурье ё(() заданной выделяющей функции (т). В соответствии с этим на рис. 4-8,в изображены временной ряд Kx hAt) k hAt) и его преобразование Фурье 5хр /) еа)- [c.141]

Рассмотрим систему, состоящую из одного сорта радиоактивных атомов, в которой N — среднее число атомов, расщепляющихся за данный промежуток времени А , и в то же время число частиц, зарегистрированных счетчиком. При этом будем считать, что общее число радиоактивных атомов остается практически постоянным. После ряда повто рных измерений получается совокупность значений Л ь N2,. ..,. .., Л п. Вопрос теперь заключается в том, можно ли подсчитать частоту распределения этих счетов исходя из предположения, что радиоактивный распад является случайным процессом Утвердительный ответ на этот вопрос был получен впервые Швайдлером [c.284]

Перейдем теперь к примепепию уравнений диффузии и случайных процессов к различным физико-химическим процессам. В этой главе мы рассмотрим ряд процессов, связанных с соударением диффундирз ющих частиц в неподвижной жидкости или газе диффузию молекул или ионов к зерну сорбента, рост капель в пересыщенном паре, коагуляцию коллоидных частиц и химическую реакцию, скорость которой определяется диффузией. Теория этих процессов основывается на задаче о диффузии частиц к сфере, которая поглощает всякую частицу, хотя бы раз коснувшуюся ее поверхности. Поэтому рассмотрим эту задачу. Положим, что в начальный момент времени поглощающая сфера радиуса К окружена диффундирующими частицами, концентрация которых вначале всюду постоянна и равна Со и радиус которых мал по сравнению с В. Такой поглощающей сферой в экспериментальных условиях может быть зерно сорбента. Требуется определить число частиц, поглощаемых сферой за определенное время. В главе I мы видели, что имеется два метода решения таких задач. Первый метод основан на решении уравнения диффузии (1.7) или эквивалентного ему по форме уравнения Планка—Фоккера (2.10). Второй метод состоит в решении уравнения для вероятности хотя бы одного достижения границы (3.7). Проведем решение задачи двумя этими способами и покажем их эквивалентность. [c.30]