Пробная собственная функция линейная

Для того чтобы можно было воспользоваться вариационным методом, необходимо оценить интегралы в выражении (2.68). Это немедленно накладывает ограничения на форму пробных функций, так как эти функции содержат неизвестные величины (параметры а,), что, разумеется, делает невозможным использование численных методов для оценки интегралов. Конечно, можно выбрать пробные собственные функции так, чтобы интегралы можно было выразить в аналитической форме, однако это накладывает слишком большие ограничения на выбор пробных функций. В качестве альтернативы можно представить получающиеся интегралы в виде произведения параметров на другие интегралы, не содержащие параметров. Для достижения этого наиболее естественно было бы прибегнуть к линейной функции вида [c.60]

При сравнении с (2.91) видно, что мы получили вековое уравнение вариационной процедуры [см. (2.130)], где в качестве пробной собственной функции использована линейная комбинация п-кратно вырожденных функций фь фг,. .., фп. Соответствующие коэффициенты в этих функциях определяются из- набора совместных уравнений [ср. с (2.90)] [c.76]

Для высших состояний заданного типа ситуация в этом пункте не столь ясна. Практическая ценность результата 6 из 2 невелика, так как обычно невозможно гарантировать необходимую ортогональность. Можно сказать, конечно, что, расширяя класс пробных функций, мы делаем высшее значение Е более стационарным , но эта процедура может приводить, а может и не приводить к уточнению численного результата. Однако в одном из последующих параграфов мы обсудим практически применяемый способ выбора пробных функций (линейный вариационный метод), который дает регулярным образом уточняемые верхние границы также и к высшим собственным значениям. [c.20]

В процессе нашего анализа неявно будет предполагаться, что читатель знаком с соответствующими теоремами для точных собственных функций. Но это не столь уж обязательно, поскольку паши достаточные условия всегда будут формулироваться для гильбертова пространства в целом (в случае вариационного принципа — для множества пробных функций), а значит, наши выводы оказываются справедливыми в качестве частного случая и для точных собственных функций. В этой связи нужно очень четко представлять себе следующее. При выводе здесь и в дальнейшем результатов для собственных функций г[ и собственных значений Е всегда достаточно считать, что в качестве множества пробных функций используется линейное многообразие г з = 4, где А — произвольная (или произвольная с точностью до определенных требований симметрии) функция всех переменных, ибо в этом случае, очевидно, кчк мы того и желали, вариационный метод будет давать ф (= 4) = 1 ) и = Е. [c.102]

Если множество пробных функций образует линейное пространство, то, как уже говорилось в 6, г]) обладают теми же свойствами, что и собственные функции. С другой стороны, мы увидим, что в нелинейных случаях при наличии вырождения могут возникать весьма экзотические ситуации. Но рассмотрим сначала невырожденный случай и докажем, что всегда справедливо следующее утверждение. Если множество пробных функций инвариантно относительно унитарного преобразования 11 и если и коммутирует с Я, то при условии невырожденности Е функция Ф автоматически будет собственной функцией оператора 11. [c.119]

Обратимся теперь к линейным пространствам. Величина (2), и любая кратная ей (вещественная или комплексная), заведомо будет допустимой вариацией если пространство инвариантно по отношению к действию Так, например, в -волновом приближении для атома гелия все равенства (4), (7) и (8) будут выполняться для всякого чисто радиального оператора Однако конечномерные линейные пространства пробных функций редко бывают инвариантными по отношению к действию представляющих физический интерес Как нетрудно показать, для инвариантности конечномерного линейного пространства требуется существование конечного набора собственных функций "" , образующего базис в этом пространстве. Но дело в"том, что большинство интересующих нас операторов (за очевидным исключением орбитального момента) обладают лишь ненормируемыми собственными функциями, тогда как пробные функции должны быть нормируемыми. В качестве последнего замечания, касающегося линейных пространств, можно отметить, что если пространство инвариантно относительно то оно инвариантно также" относительно. 9 ,. . ., а стало быть, и относительно преобразования (1). [c.134]

Как указывали в конце 11, чтобы вывести результаты для собственных функций р и собственных значений Е из полученных нами результатов для и , достаточно воспользоваться в качестве множества пробных функций линейным многообразием ур — А с совершенно произвольными А. Проделаем теперь эту процедуру для некоторых формул из 24 и 26. Если в определениях (10) и (И) из из 24 и т. д. записать гр вместо гр, то мы увидим, что из всех б "гр отлично от нуля только б гр, причем [c.257]

В следующей главе мы увидим, что величина (4.8.27) не только удовлетворяет принципу Паули, но и является собственной функцией операторов S , принадлежащей значениям 5 = 2 Ms = V2. Однако, согласно (4.8.23), (4.8.24), этим значениям квантовых чисел в действительности соответствуют две линейно независимые собственные функции, выражаемые через коэффициенты Фц, Ф12, Ф21, Ф22, которые не обязательно должны иметь форму линейных комбинаций произведений одноэлектронных функций Ф1, Фз (4.8.29), (4.8.30). Поэтому величину (4.8.27) надо рассматривать лишь как одну из допустимых пробных функций, имеющую весьма специальную форму. [c.104]

В этой главе рассмотрен ряд характерных примеров использования методов идентификации линейных систем для описания гидродинамической структуры потоков в технологических аппаратах на основе модельных представлений. При описании ФХС с помощью типовых моделей функциональный оператор ФХС обычно состоит из двух частей части, отражающей гидродинамическую структуру потоков в аппарате (как правило, линейная составляющая оператора), и части, отражающей собственно физико-химические превращения в системе (как правило, нелинейная составляющая оператора). Линейная составляющая оператора ФХС, соответствующая так называемому холодному объекту (т. 8. объекту без физико-химических превращений), допускает эффективное решение задач идентификации линейными методами. При этом поведение ФХС отождествляется с поведением такой динамической системы, весовая функция которой совпадает с функцией РВП исследуемого объекта. Такой подход открывает возможность при описании гидродинамической обстановки в технологических аппаратах широко применять метод нанесения пробных возмущений, который в сочетании с общими методами структурного анализа ФХС представляет эффективное средство решения задач системного анализа процессов химической технологии. [c.432]

В итоге мы приходим к несколько обобщенной задаче на собственные значения определенной матрицы (которая, очевидно, переходит в обычную задачу на собственные значения матрицы, если, как это всегда можно сделать, не изменяя множества функций , ортонормировать в результате чего S станет единичной матрицей). Обращаясь теперь к более общему случаю, мы докажем следующее утверждение. Пусть множество пробных функций образует некоторое линейное пространство. Тогда всякий раз, хотя 4 ь и Ejf могут служить всего лишь приближе- [c.44]

Мы уже дважды упоминали, что все значения Е , поставляемые линейным вариационным методом, обладают граничными свойствами. Теперь мы хотим доказать это утверждение [13]. Сформулируем его на более общем языке мы покажем, что всякий раз, когда множество пробных функций образует линейное нространство, носле-довательные Е дают нам верхние границы для соответствующих последовательных собственных значений гамильтониана Н. [c.52]

Здесь автор, не оговаривая этого, переходит к рассмотрению того сл чая, когда приближенные собственные функции ищут в виде линейных комбинаций исходных пробных одноэлектронных функций. — Ярил1. ред. [c.14]

Покажем, наконец, что, когда Q обладает только положительными собственными значениями, соотношение (30) эквивалентно утверждению, согласно которому некоторый детерминант Грама (детерминант определенной матрицы перекрывания), как это и должно быть, неотрицателен. Поэтому для таких операторов Q при оптимизации функционалов типа Хиллерааса использование линейных пробных функций [30] полностью эквивалентно использованию методики детерминантов Грама (см. работу [291 и имеюш иеся там многочисленные ссылки на ранние работы). [c.291]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология