Собственные функции операторов

Математический аппарат квантовой механики построен таким образом, что экспериментально наблюдаемыми значениями физической величины могут быть только собственные значения уравнения (21), а волновыми функциями системы — только фигурирующие в этом уравнении собственные функции оператора С. Чтобы это условие выполнялось, должен обладать -определенными свойствами, а именно он должен быть линейным и самосопряженным эрмитовым ). [c.38]

Если — собственная функция оператора С (т. е. [c.50]

Вернемся теперь к поставленному выше вопросу. Для того, чтобы две величины А а В могли иметь определенные значения в некотором состоянии, описываемом волновой функцией п х, у, г), эта волновая функция, очевидно, должна быть собственной функцией операторов Л и 5, т. е. должны иметь место два уравнения [c.47]

Собственные функции оператора отвечающие его собственным значениям (28) и условию нормировки [c.45]

Как уже отмечалось, точное решение уравнения Шредингера получить невозможно, а среди приближенных способов важная роль принадлежит разложению по базисам. Ранее (см. гл. 2, 2) были построены базисные функции (слейтеровские детерминанты), которые отражают лишь свойства антисимметрии полной волновой функции. Продвинемся на один шаг дальше и построим такую систему базисных функций Фs,Ms, (р) > каждая из которых была бы не только антисимметричной, но и собственной функцией операторов 8 и 8 . Для этого рассмотрим полную систему ортонормированных функций 1Рр(т), например систему собственных функций [c.67]

Если состояние микросистемы описывается волновой функцией 1 3п, являющейся одной из собственных функций оператора , то в этом состоянии физическая величина I имеет определенное значение п, которое мы и должны получить экспериментально. [c.49]

Когда же волновая функция г1) не совпадает ни с одной из собственных функций оператора С, то в этом состоянии величина не имеет определенного [c.49]

Но перевод атома в валентное состояние не сводится только к его возбуждению (промотированию). Следует учесть также неопределенность в ориентации спинов неспаренных электронов, участвующих в образовании химических связей. А если говорить точнее, то необходимо принять во внимание, что волновая функция валентного состояния атома не является собственной функцией операторов квадрата полного спина атома (5 ) и его проекции на ось квантования 2 Зг) — равно как она не является и собственной функцией операторов квадрата полного орбитального момента количества движения ( ) и его проекции [c.172]

Полную волновую функцию линейной молекулы представим, как и ранее, в виде детерминанта Слэтера, составленного из МО, являющихся собственными функциями оператора (для простоты воспользуемся однодетерминантным приближением). В цилиндрической системе координат эти МО примут вид [c.193]

Л ) собственная функция оператора 2, то и ОаФ также будет его собственной функцией, но с про-тивоположным по знаку собственным значением [c.196]

В уравнении (3.1) оператор Я предполагается известным, а определению подлежат собственные значения энергии Е и собственные функции г (х) = 1з(х1, Х2,. .., х ), зависящие от координат х , х ,. .., х . На функцию г з =г з(х) при решении уравнения (3.1) накладываются определенные условия требуется, чтобы она была конечна, непрерывна и однозначна и обращалась в нуль на границах области. Решая уравнение (3.1), находим собственные значения Е , Е ,. .., которые являются уровнями энергии. Вместе с уровнями энергии определяются собственные функции. Уровни энергии могут быть невырожденными или вырожденными, причем степень вырождения часто называется весом уровня. Собственные функции оператора энергии, принадлежащие разным уровням, являются ортогональ- [c.14]

Определим вид собственных функций оператора для одного электрона. Таких функций существует две а(т]) и Р(т]). Область изменений выбранного переменного ц = состоит только из двух точек т = и т] = — /2. Если электрон находится в состоянии а(т]), проекция его спинового момента s г равна /2 (в единицах /г/2л), а значение т) = = l/g невозможно. Поэтому функция а(т]) имеет вид (l/g) = 1 и (—Va) = 0. По аналогичным соображениям получим (1/2) = О, а Р(—1/2) = 1. Если спин s частицы равен единице, = = 1,0, —1, необходимо ввести три спин-функции a(i]), Р(т)), -f(Ti). Значения этих функций существуют только в точках т) =1, т] =0 и т] = —1. Так, например, функция a(ri) будет иметь вид а(1) = 1, а(0) = 0 и а(—1) =0. Так определяются спин-функции для одной частицы. Если система состоит из нескольких частиц, спин-функцию всей системы 5(ti) можно представить с достаточной точностью в виде произведения спин-функций, составляющих систему частиц [c.19]

Пусть - собственная функция оператора J3, соответствующая собственному значению т Тогда функция(Д либо [c.13]

Так как - собственные функции оператора J3, отвечающие собственному значению/и, то [c.14]

Собственные функции оператора з должны удовлетворять уравнению [c.20]

Соотношение (1.100) позволяет провести классификацию собственных функций оператора Й, т.е. выяснить кратность вырождения собственных шачений и определить, какой симметрией обладают его собственные функции. [c.37]

Исключение составляют два оператора - полный орбитальный момент количества движения Ь и полный спиновой момент количества движения 8. Они симметричны, коммутируют между собой, с оператором Но и поэтому могут быть использованы для классификации базисных состояний конфигурации. Особое значение такой классификации связано с тем, что операторы Ь и 8 коммутируют не только с оператором Но, но и с оператором кулоновского взаимодействия электронов. Любой базис конфигурации, в котором операторы и 8 оказываются диагональными, носит название схемы А5-связи, здесь конфигурация представляет собой прямую сумму Г/, 5-подпространств совместных собственных функций операторов и 8 . Схема 15ч вязи - это такой базис конфигурации, который получается объединением базисов, представляющих подпространства Г/,5. На базис / 5 никаких ограничений не наклады- [c.130]

Таким образом, у операторов Н и% есть общая полная система собственных функций. Собственные функции оператора Iz известны. Например, в цилиндрической системе координат они имеют вид Ат<р [c.37]

При построении волновой функции (2.41) имеется произвол в выборе функций Хр(о1,. .., ом). В частности, в качестве функций Ху(< 1, ом) можно взять собственные функции операторов 8 и 8г. В этом случае полная функция (2.41) будет автоматически собственной функцией 8 и 82, а свойства симметрии координатной функции определяются требованием антисимметрии полной функции (х1,. .., хм). С другой стороны, в качестве функций х ( 1, ом) можно взять собственные [c.63]

Один из способов выхода за рамки приближения Хартри - Фока состоит в следующем. Пусть система уравнений Хартри — Фока (2.81) решена, найдены спин-орбитали фх, ф . Построим из них РМП-1 р(х д ) по формуле (2.73) и далее оператор/>1 и оператор Фока Р (2.80). Будем рассматривать Р и Р] как заданные линейные самосопряженные операторы. Собственные функции оператора Фока [c.91]

Это означает, что F, действуя на оставляет ее в R - Следовательно, собственные функции оператора Фока образуют ортонормированный базис в пространстве Лдг. Поэтому [c.98]

Выражение (2.135) не зависит от числа электронов в системе, эта зависимость содержится в функционале состояния IV- Последний может являться собственной функцией оператора числа частиц 7V, а в более общем случае — суперпозицией состояний. [c.112]

Стационарные состояния, т.е. собственные функции оператора энергии, могут быть одновременно и собственными функциями операторов П, Р,. Однако стационарных состояний с заданными квантовыми числами Д У, MJ бесконечно много, и для их разделения требуется детальное исследование уравнения Шредингера. [c.117]

Сферическая симметрия атома будет учтена более полно, если конфигурация будет представлена базисом, состоящим из общих собственных функций операторов и Такие представления называют УМу-пред-ставлениями. [c.128]

Набор собственных функций операторов и 2, полный в пределах конфигурации, есть объединение несколько канонических цепочек (см. 128 [c.128]

В соответствии с общей теорией собственную функцию операторов и 8 , с максимальными проекциями моментов, ищем в виде линейной комбинации этих определителей [c.140]

Система Хартри — Фока (51) является системой нелинейных интегродифференциальных уравнений. Нелинейность уравнений означает, что их решения ф1 есть собственные функции оператора Р, который, в свою очередь, определяется через эти орбитали ф/. Эта особенность уравнеций Хартри — Фока позволяет решать их методом итераций. Однако мы не будем останавливаться здесь на вычислительной стороне дела. [c.79]

До сих пор мы рассматривали симметрию одно электронных состояний. Теперь коснемся симметрии электронных термов. Можно доказать (мы здесь этого делать не будем), что детерминант Слэтера, построенный из орбиталей фт (которые, напоминаем, являются собственными функциями одератора ) будет собственной функцией оператора г. Естественно, при этом возникает следующий вопрос как связаны собственные значения Сг (мы обозначили их выше буквой Лi) с собственными значениями /г Иными словами, как связаны числа М и /п [c.195]

Если построить однодетерминантную волновую функцию Ф (хьх ) из спинюрбиталей Фк(х), являющихся решением системы (2.81), то Ф будет собственной функцией оператора [c.89]

Делая всевозможные выборки пофункций из ряда (3.13), получаем весь набор Линейно независимых собственных функций оператора (33) и весь спектр его собственных значений. Нетрудно подсчитать их кратность. Действительно, пусть в построении определителя (3.14) участвует одноэлектронных функций из оболочки и,/,, N2 одноэлектронных функций из оболочки П2/2 и тд. Собственное значение, которому отвечает такой определитель, равно Оно зависит [c.122]

В // / -представлении конфигурация естественным образом разлагается в прямую сумму подконфигураций. Очевидно, что такое разложение однозначно. Назовем схемой /7-связи любой базис конфигурации, который получается объединением базисов подконфигураций. Если к тому же базисы подконфигураций состоят из собственных функций операторов I и г, то такую схему будем называть ( j)JMJ-прел-ставлением. [c.132]

Представления индивидуальных квантовых чисел просты. Диагона лизация секулярной матрицы дает сразу все уровни конфигурации Однако неполный учет сферической симметрии атома ограничивает слож ность конфигураций, которые могут быть исследованы. Второе следст вие неполного учета симметрии — это безликость состояний и энергий получаемых при диагонализации секулярной матрицы. Приходится дополнительно решать задачу их идентификации. /Л/у тредставления свободны от этих недостатков. Однако собственные функции оператора [c.135]

Этот метод позволяет построить собственные функции операторов 1 , Лг или 8, Ьг, 8г в представлении индивидуальных квантовых чисел. Допустим, что функция Щ18М1М5) заданного терма 18 при каких-то значениях проекгщй М/, и Мз уже известна в виде разложения в -представлении [c.135]

Рассмотрим задачу построения молекулярных термов. Терму принадлежат многоэлектронные собственные функции оператора энергии заданной электронной конфигурации, которые а) являются собственными функциями оператора 8 , б) преобразуются по одному и тому же неприводимому представлению Г пространственной группы симметрии молекулы. [c.200]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология