Определение собственных значений матрицы

Выше была доказана основная теорема линеаризации, содержание которой заключается в том, что устойчивость нелинейных систем определяется свойствами матрицы А в линеаризованном уравнении (IV, 22). Очевидно, что те же свойства определяют и устойчивость линейных систем вида (IV, 12). Условия устойчивости можно сформулировать не только с помощью введенных ранее Р и О матриц. Из содержания раздела Основная теорема линеаризации ясно, что стационарное состояние устойчиво, если все собственные значения матрицы А имеют отрицательную действительную часть. В принципе, собственные значения матрицы А можно найти из характеристического уравнения (III, 28). Однако для определения знаков собственных значений разработаны и более эффективные приемы. [c.86]

В соответствии с упомянутым критерием стационарное состояние будет устойчиво только в случае отрицательной определенности собственных значений матрицы [c.385]

Определение собственных значений матрицы [c.203]

Константа скорости мономолекулярной реакции и квазистационарная функция распределения, могут быть найдены также и с помощью решения задачи на собственные значения. В случае дискретной задачи вычисление этих величин сводится к определению минимального по модулю собственного значения матрица А и соответствующего ему собственного вектора. Для поиска собственного значения и соответствующего собственного вектора используется метод обратной итерации с релеевским сдвигом [142] [c.197]

Небольшое расхождение было обусловлено, по-впдимому, разными методами определения собственных значений матрицы А, которые в нашем случае находились методом наискорейшего спуска [9]. [c.250]

Некоторые трудности в вычислениях возникают при определении собственных значений вследствие того, что матрица (УП, 626) в общем случае несимметрична в отличие от матрицы (УП, 31). Собственные значения симметричной матрицы — всегда действительные числа, поэтому могут применяться и более простые вычислительные методы. Уравнения, которые дают симметричные матрицы А, называются самосопряженными. [c.174]

Определение собственных значений матриц см. в книге [2]. Результирующее уравнение (18) следует из уравнения (1) разд. 4,081 [2] при й,(, = 1, 1 = к, ад = 0, I Ф к. [c.102]

Вычисление собственных значенией. Для численного определения собственных значений воспользуемся методом ортогональных коллокаций. Для этого, как и в разд. 2, введем аппроксимацию решения задачи (23), (24) с помош,ью (12), для определения мД ) используем граничные условия (24). Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка г = 4Л + 1 с постоянной матрицей А(п X п). Имеем [c.122]

Вековой определитель матрицы смежности известен как характеристический полином или спектральный полином графа. Собственные значения матрицы смежности образуют спектр графа. Спектральный полином графа является инвариантом графа в том смысле, что он не зависит от нумерации вершин. Характеристические полиномы, спектральные моменты и подсчет случайных блужданий настолько связаны между собой, что изучение одного может привести к определению свойств другого. [c.283]

Способ 3 (определение числа ненулевых собственных значений). Вычислим матричное произведение А А или АА и для полученной симметрической матрицы найдем собственные значения Хи. .. и т. д. (см. раздел 8.1.3). Число ненулевых собственных значений матриц А А или АА равно нх рангу, который совпадает с рангом матрицы А. Если это удобно для расчета, все элементы матрицы А А или АА можно разделить на любое число, например ва число строк или столбцов в матрице А. [c.163]

Для определения собственных значений мы воспользуемся методом, который носит название метода Якоби и подробно рассмотрен в учебниках по математике (в разделах, посвященных теории чисел). Согласно этому методу, исходная матрица преобразуется [c.204]

Задача о численном определении точных значений собственных векторов и собственных значений матрицы НА для динамических моделей цепи с гидродинамическим взаимодействием, в которых учитывалась конечность цепи и менялся параметр гидродинамического взаимодействия, решалась в работах [61, 85, 88, 89]. Результаты этих расчетов нашли применение в теориях динамической вязкости [90] и внутримолекулярных столкновений [85]. Однако для качественного и наглядного суждения о влиянии объемных и гидродинамических взаимодействий на времена релаксации можно использовать более простое приближение (11.17). [c.66]

В 39—43 неявно подразумевалось, что матрицы L и Я невырожденные. Действительно, если квадратичные формы (VII.57) и (VII.59) положительно определенные, то и матрицы Ь и Р должны быть положительно определенными. Все собственные значения матриц L и Я положительны. Поэтому показатели степени в экспоненциальных выражениях отрицательны. Отсюда следует, что система устойчивая. Она с течением времени неограниченно приближается к состоянию термодинамического равновесия. [c.259]

В итоге мы приходим к несколько обобщенной задаче на собственные значения определенной матрицы (которая, очевидно, переходит в обычную задачу на собственные значения матрицы, если, как это всегда можно сделать, не изменяя множества функций , ортонормировать в результате чего S станет единичной матрицей). Обращаясь теперь к более общему случаю, мы докажем следующее утверждение. Пусть множество пробных функций образует некоторое линейное пространство. Тогда всякий раз, хотя 4 ь и Ejf могут служить всего лишь приближе- [c.44]

Матрицу > (д) принято называть динамической. Равенство нулю детерминанта системы уравнений (15) дает уравнение для определения собственных значений параметра со . [c.17]

Вычисление этих характеристик матриц является одной из распространенных операций, выполняемых над матрицами. По сложности реализации определение собственных векторов является весьма трудоемким, поскольку при известных значениях характеристических корней вычисление собственных векторов сводится к поиску ненулевых решений систем однородных уравнений. [c.282]

Неравенство (4.48) должно выполняться при любых с , и поэтому матрица, соответствующая квадратичной форме, стоящей в левой части этого выражения, должна быть положительно определенной. Для этого, как известно, необходимо и достаточно, чтобы все ее собственные значения были положительными. [c.245]

Отсчеты счетчика Гейгера, попадание электронов на анод вакуумной лампы или появление покупателей у прилавка — это все события, которые могут быть отмечены точками на оси времени. В качестве других примеров можно привести собственные значения случайной эрмитовой матрицы, принадлежащие действительной оси и отмеченные точками на энергетической шкале значения энергии частиц в космических лучах. Случайный характер расположения этих точек приводит к изучению определенного класса стохастических переменных, называемых случайным множеством точек (или событий) [6, гл. 6] или точечными процессами . [c.38]

Использованный в этом разделе способ определения спектра не является единственно возможным Другой способ, основанный на собственных значениях ковариационной матрицы случайного процесса, приводится в разд. 11.1.2 [c.269]

Собственные значения >.1, I = 1,, Л , и соответствующие правосторонние собственные векторы г г матрицы А по определению должны удовлетворять уравнению [c.279]

Известны методы определения ранга матрицы оптических плотностей, основанные на нахождении ненулевых собственных значений одной из симметрических матриц вида [c.46]

При оценке числа компонентов желательно принимать решение на основании не одного, а нескольких способов определения ранга матрицы оптических плотностей [70, 71]. Если использование нескольких способов не представляется возможным, следует применить несколько критериев, возможных в рамках данного способа (например, несколько критериев, подтверждающих число ненулевых собственных значений). [c.55]

Из определения (8.4) вытекает, что, если не существует каких-либо дополнительных условий, то каждый из п собственных векторов матрицы п-го порядка может быть определен лишь с точностью до коэффициента пропорциональности. В самом деле, если уравнению (8.4) удовлетворяет вектор Х то ему будет удовлетворять и вектор СХ , где С — любое число, отличное от нуля. При решении многих задач удобно придать постоянному множителю С такую величину, чтобы сумма квадратов всех элементов собственного вектора X/ была равна соответствующему собственному значению При этом Х[Х =0 (ортогональность собственных векторов), а Х[Х = Х. (условие нормировки). Для симметрической матрицы при такой нормировке справедливо разложение [c.160]

По определению все волны Va .. (р) е, входящие в функцию еде(р, К) (14.14), являются собственными функциями матрицы Грд (К — К ) II относятся к одному и тому же собственному значению (к ) = Поэтому функция гas(p, К) также является собственной функцией матрицы р9(К — К ), отвечающей собственному значению [c.146]

Определение собственных функций и собственных значений операторов, задаваемых в виде матриц [c.138]

Как уже отмечалось ранее, вследствие зашумленности реальных данных различного рода экспериментальными ошибками матрица наблюдений всегда является матрицей полного ранга. Это в данном случае означает, что в упорядоченной последовательности собственных значений может отсутствовать четкая граница, позволяющая отделить значимые собственные значения от незначимых ( нулевых ). Вследствие этого возникает трудность в определении размерности факторного пространства и, следовательно, числа компонентов в наборе смесей. Поскольку основным источником этих затруднений являются экспериментальные ошибки в данных, из анализа этих ошибок и характера их влияния на различные этапы решения извлекают информацию для установления истинной размерности факторного пространства. [c.75]

Если результат многозначен, матрица Р — положительно определенная и все собственные значения Р являются положительными, а собственные векторы — действительными и ортогональными. Рассмотрим гиперэллипсоид е, для которого направления главных осей совпадают с направлением собственных векторов Р, а длина половин диаметров его главных осей равняется корню квадратному из соответствующего собственного значения Р. Этот гиперэллипсоид определяется следующим образом [c.278]

Известно, что при заданном виде уравнения движения, т. е. при заданной силовой матрице А (п) в уравнении (1.17), для определения спектра собственных значений необходимо сформулировать некоторые граничные условия. Однако оказывается, что конкретный вид разумных ( корректных ) граничных условий мало влияет на спектр возможных значений к в кристалле, состоящем из очень большого числа атомов. Исходя из этого интуитивно ясного положения, мы выберем граничное условие так, чтобы оно максимально упрощало решение задачи. Таким условием является требование цикличности, согласно которому [c.40]

Подстановка этого выражения в (VII, 29) делает возможным численное интегрирование и нахождение собственных значений матрицы А. Макговин (1969 г.) провел необходимые вычисления при различных значениях п. для каждого из стационарных состояний (табл. УИ-1). Хотя для определения наибольшего собственного значения необходимо приближенное решение с шестью членами для всех стационарных состояний, ясно, что л = 2 было бы Д0стат0Ч1 0, если бы нас интересовали только знаки. Несколько иным образом аналогичный результат был получен Вэйем (1965 г.). [c.163]

В теории колебаний молекул кинематическая характеристика молекулы представлена матрицей G, являющейся матрицей кинетической энер-гр и в импульсном представлении. Потенциальная функция задается матрицей силовых постоянных F. При ручном счете решение прямой задачи обычно сводилось к определению собственных значений и собственных векторов оператора колебаний W =GF, однако, при выполнении расчетов на ЭВМ наиболее удобным оказывается метод раздельной диаго-нализации матриц G и F [3]. Определяя собственные значения и собственные векторы матрицы G, [c.12]

Однако структура кинетических моделей, как правило, такова, что оценки кинетических констант сильно коррелируют между собой. Это ведет к тому, что функции меры, характеризующие степень совпадения экспериментальных и расчетных данных, обнаруживают в пространстве параметров в окрестности точки минимума наличие оврагов, затрудняющих определение точечных оценок констант. Детерминантные критерии значительно уменьшают объем доверительного эллипсоида, не изменяя коэффициентов корреляций и, следовательно, не исправляя овражной ситуации. В этом отношении критерий формы, максимизируюпщй наименьшее собственное значение информационной матрицы Л/(е), представляется более предпочтительным, так как стремится придать доверительной области сферичность посредством минимизации длины большой полуоси доверительного эллипсоида. [c.189]

В работах [68 65 показано, что в определенном смысле формула BFGS (111,84) является наилучшей в семействе (111,107) при 0 > 0 соответствующие матрицы Hi обладают наибольшей величиной минимального собственного значения и, кроме того, при минимизации квадратичной функции с положительно определенной матрицей G эвклидова норма матрицы т. е. = Тг определенной в виде Е. = [c.97]

Таким образом, задача поиска минимума тесно связана с задачей интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, причем "овражный" характер поверхности Ф(к) соответствует "жесткой" системе ОДУ, так как матрица Гессе Э Ф/Э ,Э/Гу целевой функции одновременно является якобианом системы обыкновенных дифференциальных уравнений, В том случае если эта матрица имеет различающиеся между собой на несколько порядков собственные значения, то возникают определенные математические трудности при численном решении задач минимизации и интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. [c.163]

Выражение матричных элементов секулярной матрицы через радиальные интегралы кулоновского и спинюрбитального взаимодействий — это в определенном смысле законченный этап исследования. Возможности упрощения задачи, вытекающие из ее сферической симметрии, использованы полностью. Не зная численных значений радиальных интегралов, найти собственные значения секулярной матрицы в общем случае невозможно. Однако во многих интересных для физики случаях задача фактически содержит малый параметр. Если воспользоваться этим обстоятельством, можно написать приближенное решение секулярной задачи, все еще оставляя радиальные интегралы свободными параметрами. [c.171]

Каждому графу для которого выполнены свойства 1—5, можно сопоставить периодическую матрицу смежности А1, которая может быть записана в блочном виде с элементами (А,)у, причем (А,) = А, (А,)(,,+1 = В, (А,) -1,,-= В , (А1) . = 0 при I/ —г >1. Здесь А — матрица смежности подграфа , В — матрица, описывающая отношение инцидентности для графов и 4.1, В — транспонированная матрица. А и В не зависят от номера I (г = О, 1, 2,. ..). Граф удовлетворяющий свойствам 1—5, назовем периодическим графом. Аналогичным образом может быть определен и полунериодический граф (в этом случае = 1, 2,. ..). В отличие от конечных графов, спектры которых состоят из конечного числа изолированных собственных значений конечной кратности, спектры периодического и полупериодического графов, вообще говоря, состоят 1ИЗ отрезков вещественной прямой. Спектр полупериодического графа может иметь, кроме того, и дискретную компоненту. [c.60]

Для определения остаточного с. о. спектрофотометра За по способу Верпимонта [69] следует несколько раз снять спектры поглощения растворов одного вещества — например, бихромата калия с различными концентрациями. Из полученных данных следует составить матрицу М [уравнение (2.17)] и описанным выше способом определить для нее первое собственное значение Я . Теоретически ранг матрицы М должен быть равен единице. Поэтому остаточное с. о. [c.49]

Хотелось бы остановиться на еще одном, редко используемом, но эффективном методе определения числа значимых факторов. Этот метод применим главным образом для обработки однородных данных, полученных с помощью одного спектрального метода, например ИК-спектроскопии [28]. В этом случае рекомендуется, наряду с исследованием сложной системы (нанример, снятием ИК-снектров последовательных порций элюирования продуктов неполного разделения смеси в жидкостном хроматографе), провести несколько дублирующих наблюдений одного и того же объекта, качественный состав которого неизменен, в тех же самых условиях (например, снять несколько ИК-спектров заведомо синглетного однокомпонентного хроматографического пика) для оценки ошибок воспроизводимости применяемого спектрального метода. Из спектров однокомпонентного хроматографического пика формируется матрица наблюдений и производится ФА этих данных. Поскольку число компонентов в этом случае известно и строго равно единице, можно определить процентную долю первого (и единственного) значимого в этом случае собственного значения сответствующей ковариационной матрицы, получив тем самым границу значимости суммарной доли собственных значений для применения первого из рассмотренных методов установления числа значимых факторов. [c.77]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология