Теплопроводности задача с начальным распределением температуры

Наряду с прямой задачей теплопроводности — отысканию температурного поля (2.1) путем решения уравнения (2.3) с известными краевыми условиями — возможна постановка и обратной задачи, где по заданному в пространстве и во времени распределению температур требуется определить соответствующие краевые условия (либо начальное распределение температур, либо граничные условия) или коэффициенты уравнения (физические свойства вещества). Подробно об обратных задачах теплопроводности см. [114]. [c.128]

Нестационарные задачи. Аналитические решения нестационарных задач теплопроводности получают, решая (1.3). При отсутствии внутренних источников тепла оно сводится к (1.4). Процедура аналитического решения очень похожа на использованную при решении двумерной стационарной задачи. Рассмотрим плоскую пластину, неограниченную в направлениях у и 2. Пусть координата х=0 соответствует одной поверхности плг.стины, а х=Ь — другой (т. е. толщина пластины равна Ь). В начальный момент вся пластина имеет однородную температуру 1о. Требуется определить распределение температуры в пластине, после того как ее поверхности мгновенно охлаждаются до =0. [c.20]

В качестве примера здесь приводится центрально симметричная задача о нестационарной теплопроводности шара, в каждой точке которого непрерывно действует источник теплоты объемной мощностью д . Соответствующее дифференциальное уравнение было приведено ранее — см. уравнение (2.17). Условия однозначности принимаются в обычной простой форме симметрия искомого температурного профиля в центре, конвективная теплоотдача между наружной поверхностью шара и окружающей средой и равномерное распределение температуры внутри шара в начальный момент [c.43]

Рещить задачу теплопроводности, формулируемую уравнением (У.19) с нелинейными граничными условиями на боковой поверхности кристалла, при заданной температуре на криволинейном фронте кристаллизации и произвольном начальном распределении температуры в общем виде практически не представляется возмол<-ным. Поэтому для решения задачи принимают, что физические параметры материала не зависят от температуры, на боковой поверхности кристалла задают граничное условие третьего рода, а фронт кристаллизации считают плоским. [c.132]

Одномерная задача теплопроводности для кристалла, рассматриваемого совместно с затравкой длиной I как одно целое, при плоском фронте кристаллизации, независимости физических параметров от температуры, постоянных температурах на торце затравки 4 и на фронте кристаллизации граничных условиях 3-го рода на боковой поверхности, постоянной скорости кристаллизации дак п произвольном начальном распределении температуры, может быть с помощью тепловых потенциалов сведена к интегральным уравнениям Воль-терра I рода [57]. [c.133]

Полный расчет регенеративного теплообменного аппарата, как правило, сложнее, чем расчет рекуперативного TOA, поскольку, во-первых, необходимо определение величин коэффициентов теплоотдачи от обоих теплоносителей при непрерывном изменении температуры стенки теплоаккумулирующей массы и массы теплоносителей во-вторых, необходимо решать задачу нестационарной теплопроводности кладки с переменным критерием Bi = aR K, в котором коэффициенты теплоотдачи а зависят от температуры поверхности стенки. В свою очередь, температура поверхности может быть определена из решения задачи теплопроводности. Кроме того, начальным распределением температуры внутри теплоаккумулирующей массы для каждого цикла служит неравномерный профиль температуры, соответствующий окончанию предыдущего цикла. Поэтому общая формулировка задачи расчета регенеративного TOA оказывается весьма сложной и в литературе описываются, как правило,, некоторые упрощенные методы [108]. [c.227]

Для решения практических задач теплопроводности в твердых телах сложной формы используются аналитические и численные методы. Решения возможны при известных краевых условиях, включающих начальное распределение температур в теле и граничные условия на поверхности тела, которые могут быть заданы одним из трех способов температурой поверхности, тепловым потоком и коэффициентом теплоотдачи. [c.143]

Постановка задачи. Дан неограниченный цилиндр радиуса R при температуре Т . В начальный момент времени он помещается в неограниченную среду с температурой Т <СТд. Теплообмен между поверхностью цилиндра и средой происходит по закону теплопроводности. Найти распределение температуры внутри цилиндра и в среде в любой момент времени. [c.393]

Постановка задачи о нестационарном охлаждении (или нагреве) протяженного цилиндра основана на предположениях о пренебрежимой малости осевых потоков теплоты по сравнению с радиальными, постоянстве коэффициента конвективной теплоотдачи а от наружной поверхности и температуры окружающей среды 11, а также существовании симметрии начального распределения температуры 0о(г) по радиусу цилиндра. Внутренние источники теплоты полагаются отсутствующими ( = 0). Сделанные предположения соответствуют следующей математической модели процесса нестационарной теплопроводности тел цилиндрической формы [c.35]

Для практических расчетов существенна скорость сходимости рядов, которая быстро увеличивается по мере возрастания численного значения безразмерного времени процесса о = ax/R . Можно считать, что решение задач нестационарной теплопроводности методом разделения переменных Фурье предпочтительнее других методов при неравномерном начальном распределении температуры в теле и в тех случаях, когда нет необходимости в расчетах для очень малых времен от начала процесса, поскольку при больших значениях Ро ряды сходятся достаточно быстро, а неравномерность начальной температуры для других аналитических методов (например, для метода интегральных преобразований) представляет большие трудности. [c.37]

После процесса собственно кристаллизации раствора, т. е. образования твердой фазы, обычно производится охлаждение массы кристаллизовавшегося продукта. Задачи об эволюции поля температуры в твердом слое соответствуют имеющимся решениям нестационарных задач теплопроводности с неравномерным начальным распределением температуры, соответствующим температурному профилю в закристаллизовавшемся слое в момент окончания процесса кристаллизации. [c.149]

Для случаев, когда опытную зависимость средней температуры материала от среднего влагосодержания можно приближенно аппроксимировать одной прямой линией, решения уравнения (1.47) с условием (1.48) и дополнительным условием симметрии нестационарных температурных полей в центре дВ(0,х)/дх = 0 и известным начальным распределением температуры внутри тела (чаще равномерным) приводятся в литературе по теории теплопроводности (см., например, [17]) и практически не отличаются от решений аналогичных диффузионных задач [8 . [c.18]

На основе проведенного анализа была решена задача о распределении температурных полей в цилиндрическом сварном патрубке реактора ВВЭР-440 в режиме эксплуатационного расхолаживания со скоростью 30° С/ч.. Изменение температуры теплоносителя во времени показано на рис. 5.1. Коэффициент конвективного теплообмена с корпусом реактора определялся в соответствии с выражением (3.36). Внешняя поверхность реактора теплоизолирована. Начальная температура корпуса принята равной 300 С. Теплофизические свойства материалов на рассматриваемом интервале времени В, 2,5 ч меняются незначительно и составляют для материала корпуса реактора Л = 33 ккал/м ч-°С, р = 7,8-10 кг/м , с = 0,14 ккал/кг °С, для остальной части конструкции (наплавка, сварной шов) = 15 ккал/м ч °С, р = 7,9 - 10 кг/м , = 0,13 ккал/кг °С, коэффициент конвективного теплообмена Л = 0,097 кал/см - с . Задача нестационарной теплопроводности решалась в линейной постановке с использо- [c.175]

Вычисление хода теплового последействия сводится к вычислению процесса выравнивания температур в пластинке при заданном начальном распределении. Что же касается условий на пограничных поверхностях, то задачу нетрудно решить при двух крайних допущениях 1) коэффициент внешней теплопроводности А=0 и [c.54]

Описанный в начале гл. II подход к решению задач математической теории теплопроводности для областей с перемещающимися границами позволяет, в принципе, найти температурное поле в одномерной области, если одна из границ этой области неподвижна, а другая движется по заданному закону. Кроме того, предлагается метод решения задач теплопроводности для полупространства, ограниченного движущейся поверхностью и имевшего в начальный момент известное распределение температур. [c.14]

Особенности распространения фронта реакции в совмещенном процессе. Исследования фронтальной полимеризации проводились на основе теории горения конденсированных систем [226—227]. При этом, предполагая, что распределение температуры является одномерным, распространение фронта реакции описывали дифференциальным уравнением теплопроводности с источником при соответствующих начальных и граничных условиях. Волновые процессы в стационарном или автоколебательном режимах, описываемые таким образом, подробно исследованы применительно к распространению пламени, к задачам диффузии, а также в других системах с различными источниками. [c.149]

Аналитическое решение сопряженной задачи теплопроводности для первого пе-риода сушки с неподвижной границей (см. 6-2) является начальным (при т=0) о.(г) — распределением температур по толщине тела 1,2(л , 0) = [c.161]

Метод эквивалентной задачи представляет собой, по-видимому, наиболее четкую и наименее обременительную в отношении физических и математических допущений форму использования для расчетных целей давно обратившей на себя внимание схожести кривых распределения скорости (импульса) в поле течения турбулентных струй и температуры в задачах нестационарной теплопроводности. Сравним, например, распространение круглой струи с охлаждением нагретого относительно остального тела цилиндрического слоя. Пусть в обоих случаях начальное распределение будет однородным и граничные условия будут подобными. По длине струи будет происходить постепенное выравнивание импульса, профиль его, постепенно деформируясь, будет все более размываться, т. е. охватывать все более широкую область при непрерывно падающем уровне на оси. На некотором удалении от устья поперечные распределения будут хорошо аппроксимироваться формулой вида и ехр (— Аналогичное будет наблюдаться и при [c.28]

Постановка задачи. Дана неограниченная пластина при темпера-туре Тд. В начальный момент времени она помещается в среду с температурой Тс < Тд. Охлаждение пластины происходит путем теплопроводности. Найти распределение температуры в любой момент времени. [c.384]

Физическая постановка задачи. Даны однородные тела с коэффициентом теплопроводности к, удельной теплоемкостью с и плотностью р в форме неограниченной пластины (стенки) толщиной 2Я, цилиндра или шара радиуса Я, имеющие равномерную по всему телу начальную температуру То и подвергающиеся внешнему тепловому воздействию, в результате которого устанавливается равномерное по всей поверхности нестационарное изменение температуры по закону функции ф(0- Необходимо найти поле температуры внутри тела. В некоторых случаях тело получает дополнительные температурные возмущения под действием внутренних источников теплоты с локальным распределением мощности qv(i, О- [c.48]

Помимо прямых задач теплопроводности, т. е. нахождения температурных полей по известным значениям начальных распределений температур и известным теплофизическим коэффициентам и другим параметрам процесса (теплофизические свойства материалов, коэффициенты внешней теплоотдачи), в некоторых случаях существенно решение так назьшаемой обратной задачи , когда по измеренному температурному полю отыскиваются начальное распределение температур или, что встречается чаще, определяются численные значения теплофизических свойств исследуемых материалов (X, а) или коэффициента теплоотдачи а от наружной поверхности тела к окружающей среде. Характерной особенностью обратных задач (не только теплопроводности, но также конвективного и лучистого теплообмена) является их принципиальная неоднозначность и неустойчивость их возможных решений [16]. Последнее обстоятельство требует разработки специальных математических методов и вычислительных алгоритмов, а также оптимального планирования и должной технической организации экспериментальных измерений. Общим методом анализа некорректно поставленных обратных задач теплообмена является метод регуляризации с помощью вариационного принципа. [c.235]

В некоторых производствах находят применение регенеративные ТА, которые имеют только одно рабочее пространство, куда горячий (греющий) и холодный (нагреваемый) теплоносители поступают поочередно. Такой ТА содержит некоторую массу (кирпичную или металлическую, как в холодильной технике) большой общей теплоемкости, которая воспринимает теплоту от греющего теплоносителя и затем отдает ее нагреваемому теплоносителю. Преимуществами регенеративных ТА являются сокращение их общего рабочего объема, что существенно при теплообмене больших газовых объемов, и относительная простота конструкции. Однако поочередность выхода теплоносителей обусловливает и основной недостаток аппаратов регенеративного типа — непрерывное изменение температур теплоносителей на выходе из аппарата в пределах каждого цикла нагревание—охлаждение. Расчет регенеративных ТА значительно отличается от расчетов рекуперативных аппаратов непрерывного действия (см. ниже), поскольку здесь необходимо определять величины коэффициентов теплоотдачи от обоих теплоносителей к теплообменной поверхности при непрерывном изменении ее температуры, а также необходимо решать задачу нестационарной теплопроводности насадки с переменным критерием Био (см. 4.1.4), в котором коэффихщенты теплоотдачи зависят от переменной температуры поверхности стенки. Кроме того, начальным распределением температуры внутри теплоаккумулирующей массы насадки для каждого цикла работы ТА здесь служит неравномерный профиль температуры, соответствующий [c.338]

Во всех примерах, рассмотренных в этом разделе, предполагалось, что начальная температура среды постоянна или, без ограничения общности, рав-иа нулю. Задачи, в которых задано начальное распределение температуры, не рассматривались. Причина этого заключается в том, что в настоящее время невозможно с помощью интегрального метода решать задачи такого типа. В качестве возможного метода решения этих задач можно указать на использование теоремы Гудмена [20], которая гласит, что решение любой линейной задачи всегда может быть выражено в терминах задачи сопряженной. Сопряженная задача также является обычной задачей теплопроводности, но только для времени, отсчитываемого в обратную сторону и обязательно с нулевым начальным распределением температуры. Таким образом, для решения линейной задачи с неоднородной начальной температурой косвенно можно применить интегральный метод, ибо, решая сопряженную задачу интегральным методом и используя затем теорему Гудмена, связывающую прямую и сопряженную задачи, можно получить интересующее нас решение. Другие приемы, применимые как к линейным, так и к нелинейным задачам, рассматриваются в разд. VH, где изложены различные обобщения интегрального Metofla. [c.54]

Для рещения конкретной задачи нестационарной теплопроводности (например, нагрев или охлаждение футеровки ДСП) необходимо знать начальное распределение температуры по слоям стенки (в виде ломаной линии) и задать граничные условия. Например, для геплсвоспринимающей поверхности стен и свода задают граничное краевое условие первого рода в виде постоянной (для отдельной стадии плавки) или переменной во времени температуры Т (О, т) = /(т) как по ходу плавки, так и в период подготовки ДСП к плавке (см. рис. 3.6), при загрузке металлошихты для теплоотдающей поверхности удобнее задать, граничное краевое услойИе третьего рода [c.78]

Зависимости теплофизических параметров от температуры X(t), (i), a(t) и р(0 должны быть известны. Для формулировки задачи теплопроводности необходимо задать краевые условия. Начальное условие дает распределение температуры в начальный момент времени в функции координат г и 2. При вытягивании монокрис- [c.131]

Рассмотрим одну из простейших задач данного класса — плавление (затвердевание) при мгновенном контакте двух полуогра-ниченных сред магма —горная порода. Пусть в начальный момент времени = 0 область хсО занимает магма при температуре Тю, большей температуры плавления Тал пород, а в области х>0 находятся твердые породы при температуре Гао- Благодаря теплопроводности происходит либо плавление пород, либо кристаллизация магмы. Требуется определить распределение температуры Т, 2 х, ) в магме и породе, а также координату границы фазового раздела l t) в любой момент времени [c.82]

Как отмечалось (см. [7, 20]), для расчета турбулентных струй со сложным начальным профилем заслуживает внимания переход к эквивалентной задаче теории теплопроводности, предложенный для автомодельных задач несжимаемой жидкости Рай-хардтом [21 ] и др. В основу его кладут обычно внешнюю близость профиля скорости в поперечном сечении струн и распределения температуры, полученного из решения уравнения теплопроводности. [c.160]

Оно известно как уравнение теплопроводности Фурье. Это задача с начальными условиями относительно времени t. Начальный профиль температуры Т = T z) должен быть задан при t = to для того, чтобы начать численное решение (см. рис. 8.3). Кроме того, это и краевая задача относительно переменной z, поскольку распределение T z) должно быть задано на границе для любого времени t, т.е. Та = T za) иТе = T ze) [Forsythe, Wasow, 1969]. [c.140]